Revisión del 19:51 24 nov 2023

1 Introducción

[Intro]

1.1 Definición

Se define la clicoide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

[math] γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t))[/math], [math]t∈I=(a,b)[/math].

Donde

[math]γ:t\to\mathbb{R}^2[/math]

[math]I[/math] es el intervalo de [math]a[/math] hasta [math]b[/math]

[math]a,b∈\mathbb{R}[/math]

1.2 Interpretación

La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

Figura 1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R

2 Representación de la curva

Figura 2: Representación gráfica de la curva.

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: [math]R=1, a=0, b=2\pi[/math]. Por tanto, la curva se expresa según:

[math] γ(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))[/math], [math]t∈(0,2\pi)[/math]

2.1 Código

%Representación de la cicloide

t=0:0.1:2*pi;  %Valores del intervalo
x=t-sin(t);    %Coord. X de la curva
y=1-cos(t);    %Coord. Y de la curva

plot (x,y);    
axis equal;   
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
grid on
box off
legend("Cicloide")

3 Vectores Velocidad y Aceleración

Figura 3: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración

Se obtiene el vector Velocidad como la derivada de la función [math]γ(t)[/math], según la expresión:

[math] γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j[/math], [math]t∈(0,2\pi)[/math]

Y su módulo según

[math] |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}[/math], [math]t∈(0,2\pi)[/math]

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:

[math] γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j[/math], [math]t∈(0,2\pi)[/math]

Y su módulo vale

[math] |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1[/math]

Por tanto, la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando [math]t=0,2\pi,...[/math]

3.1 Código

%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:0.3:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);
figure
hold on
plot (x ,y ,'r') ; %curva
quiver (x , y , V1 , V2 , 'b') ; %velocidad
quiver (x , y , A1 , A2 , 'g') ; %aceleracion
axis equal
hold off;
legend("Curva","Velocidad","Aceleración");

Como se puede observar en la Figura 3, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, [math]t=0,2\pi,...[/math], la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo

[math] γ''(0)=(0,1)=\vec j[/math]

[math] γ'(0)=(0,0)=\vec 0[/math]

Cuando P está en el punto más alto,[math]t=\pi[/math], la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.

[math] γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j[/math]

[math] γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i[/math]

4 Longitud de la curva

[Cálculo]

4.1 Aproximación de la integral

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio^[1]

4.1.1 Código

5 Vectores Tangente y Normal

[Cálculo]

5.1 Representación

5.1.1 Código

6 Bibliografía

Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales

6.1 Referencias

1. ↑ Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida