Diferencia entre revisiones de «Flujo de Poiseuille (Grupo 9B)»

Revisión del 16:38 8 dic 2022

1 Introducción

La Ley de Poiseuille (o de Hagen-Poiseuille) es una ecuación hemodinámica fundamental. Debido a que la longitud de las tuberías y la viscosidad son relativamente constantes, el flujo viene determinado básicamente por el gradiente de presión y por el radio. Dicha ecuación está formulada para flujos laminares de fluidos homogéneos con viscosidad constante, si la velocidad del flujo es alta o si el gradiente de presión es elevado, se pueden generar remolinos o turbulencias que modifican el patrón del flujo.

Para la creación de este artículo, se ha hecho uso de programa informático Matlab para la representación gráfica de mallados, gradientes, etc.

2 Mallado de la sección

Este mallado de dimensión 2 muestra la mitad de la sección longitudinal de la tubería, centrada en el eje OZ.

x=0:0.2:2; %Vector X.
y=0:0.2:10; %Vector Y.
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Mallado XY.
hold on
mesh(xx,yy,0.*xx); %Representamos la tubería
axis([0,3,0,10]); %Rango de los ejes
xlabel('ρ') ;
ylabel('z') ;
view(2);
title ('Mallado de la sección');
hold off

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3 Ecuación de Navier-Stokes para fluidos incompresibles

En física, las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido viscoso. En este caso, la velocidad de las partículas del fluido viene dada por el campo vectorial [math]\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=f\left ( \rho \right )\overrightarrow{ez}[/math] y su presión [math]p\left ( x,y \right )=p1+\left ( p2-p1 \right )\left ( z-1 \right )[/math], donde [math]\mu[/math] es el coeficiente de viscosidad, p1 es la presión en los puntos z = 1, p2 la presión en los puntos z = 2.

Se utilizará la ecuación de Navier-Stoker estacionaria (independiente del tiempo), ya que [math]\left ( \overrightarrow{u},p \right )[/math] satisface dicha ecuación. Se va despreciar el primer término, la parte convectiva. [math]\left ( \overrightarrow{u}\cdot \bigtriangledown \right )\cdot u +\bigtriangledown p = \mu \Delta \overrightarrow{u}[/math].

Se comprueba que [math]f\left ( \rho \right )[/math] satisface la ecuación diferencial:

[math] \frac{1}{\rho } \frac{\partial }{\partial \rho } \left ( \rho \frac{\partial f(\rho )}{\partial \rho } \right ) = \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu }[/math]

Se supone previamente que la velocidad del fluido en [math] \rho =2[/math] es nula y en [math] \rho =0[/math] no se hace infinito. Multiplicando por [math] \rho [/math] e integrando dos veces se obtiene:

[math]f\left ( \rho \right )=\frac{p2-p1}{4\mu}\rho ^{2} +Cln\left (\rho \right )+K[/math]

[math]f\left (2\right )=0[/math], [math]K=\frac{p1-p2}{\mu}[/math]

[math]f\left ( 0 \right )=0[/math], [math]C=0[/math]

Entonces se obtiene:

[math]f\left ( \rho \right )=\frac{1}{\mu }\left [ \frac{p2-p1}{4 }\rho ^{2} +p1-p2\right ][/math]

Finalmente, se verificará que se cumple la condición de incompresibilidad (ya que el fluido siempre ocupa el mismo volumen). La divergencia del campo en un punto indica si una partícula de fluido sometida a la fuerza del campo se expande o se contrae, dependiendo del signo, o si el fluido es incompresible (siendo la divergencia cero, como es en este caso).

[math]\bigtriangledown \cdot \overrightarrow{u}=0=\frac{1}{\rho } \left\{ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho u_{\rho } \right )+ \frac{\partial }{\partial \theta }(u_{\theta })+ \frac{\partial }{\partial z}(\rho u_{z})\right\}[/math]

4 Campo de presiones y el campo de velocidades

Para este apartado las variables p1,p2 y [math]\mu[/math] tomarán los siguientes valores: [math]p1=2, p2=1 ,\mu=1[/math]

4.1 Campo de velocidades

Entonces la velocidad de las partículas del fluido viene dada por; [math]\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=\left ( \frac{-1}{4 }\rho ^{2} +1\right )\overrightarrow{ez}[/math]

4.2 Campo de presiones

Y la presión del fluido: [math]p\left ( x,y \right )=3-z[/math],dependiente única y exclusivamente de la altura z.

5 Líneas de corriente

Para dibujar las líneas de corriente del campo [math]\overrightarrow{u}[/math], es decir, las líneas que son tangenes a [math]\overrightarrow{u}[/math] en cad apunto, es necesario calcular el campo [math]\overrightarrow{v}[/math] que en cada punto es ortogonal a [math]\overrightarrow{u}[/math]. Siendo [math]\overrightarrow{v}=\overrightarrow{e_{\theta }}\cdot \overrightarrow{u}[/math]. El campo [math]\overrightarrow{v}[/math] es irrotacional por ser nula la divergencia de [math]\overrightarrow{u}[/math] y ,además, tiene un potencial escalar [math]\psi [/math],([math]\bigtriangledown \psi =\overrightarrow{v}[/math]), que se conoce como función de corriende de [math]\overrightarrow{u}[/math].

[math]\overrightarrow{v}=\begin{vmatrix} \overrightarrow{e_{\rho }} & \overrightarrow{e_{\theta }}&\overrightarrow{e_{z}} \\ 0&1 &0 \\ 0&0 &f\left ( \rho \right ) \end{vmatrix}=f\left ( \rho \right )\overrightarrow{e_{\rho }} \rightarrow \overrightarrow{v}=f\left ( \rho \right )\overrightarrow{e_{\rho }}[/math].

Sustituyendo [math]f\left ( \rho \right )[/math] se obtiene:

[math]\overrightarrow{v}=\left ( \frac{p2-p1}{4\mu }\rho ^{2} +\frac{p1-p2}{\mu }\right )\overrightarrow{e_{\rho }}[/math].

Para calcular [math]\psi [/math], obtenemos su gradiente e igualmaos al campo [math]\overrightarrow{v}[/math], [math]\bigtriangledown \psi =\overrightarrow{v}[/math].

[math]\bigtriangledown \psi=\frac{d\psi }{d\rho }\overrightarrow{e_{\rho }}+\frac{1}{\rho }\frac{d\psi }{d\theta }\overrightarrow{e_{\theta }}+\frac{d\psi }{dz}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{v}[/math].

En la siguiente imagen, con ayuda dle programa informático Matlab, se representan las líneas [math]\psi=cte [/math]. Posteriormente se comprueba que , efectivamente, son líneas de corriente de [math]\overrightarrow{u}[/math]. es decir, que son tangentes a dicho campo en cada punto.

6 Comportamiento del módulo de la velocidad

7 Rotacional

x=0:0.2:2;
y=0:0.2:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
rot=abs(-(xx.^2/4)-1);
hold on
surf(xx,yy,rot);
colorbar;
view(2);
axis([0,3,0,10]);
title('Rotacional del campo');
hold off

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8 Campo de temperaturas

8.1 Campo

x=0:0.2:2;
y=0:0.2:10;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
rho=sqrt(X.^2+Y.^2);
hold on
T=1+((rho-(1/2)).^2).*(exp(-(Y-1).^2));
surf(X,Y,T);
view
axis([0,3,0,10]);
colorbar
title('Campo de temperaturas')
hold off

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8.2 Curvas de nivel del campo

x=0:0.2:2;
y=0:0.2:10;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
rho=sqrt(X.^2+Y.^2);
hold on
T=1+((rho-(1/2)).^2).*(exp(-(Y-1).^2));
contour(X,Y,T,10);
axis([0,3,0,10]);
view(2);
title('Curvas de nivel de temperatura')
colorbar
hold off

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9 Gradiente de la temperatura

x=0:0.2:2;
y=0:0.2:10;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure(1);
rho=sqrt(X.^2+Y.^2);
T=1+((rho-(1/2)).^2).*(exp(-(Y-1).^2));
[TX,TY]=gradient(T);
hold on
quiver(X,Y,TX,TY)
axis([0,3,0,10]);
title('Gradiente de temperatura');
shading flat
grid on
hold off

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10 Caudal