Diferencia entre revisiones de «Flujo de Poiseuille (Grupo 27-A)»

Revisión del 20:39 5 dic 2022

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1 INTRODUCCIÓN

La ley de Poiseuille o ley de Hagen-Poiseuille es una ley que permite determinar el flujo laminar estacionario de un líquido incompresible y uniformemente viscoso (fluido newtoniano) a través de un tubo cilíndrico de sección circular constante.

Para la realización de este trabajo hemos utilizado el programa informático Matlab, para poder representar los resultados de una manera visual y ayudar al usuario a comprender mejor las interpretaciones.

2 CAMPO DE VELOCIDADES

Para la representación del campo se han tomado los siguientes valores:

Sustituyendo en la expresión del campo obtenemos:

Para su representación se ha implementado en Octave, el siguiente código:

x=0:0.1:2;
y=-1:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=(16*xx.^2)/3-6.*xx;
uy=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,5,0,12])
hold off
view(2)
title('CAMPO DE VELOCIDADES')

Campo de velocidades

2.1 CÁLCULO DE LA VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO

Los puntos de velocidad máxima se obtienen igualando a 0, la primera derivada parcial del campo:

donde:

Si igualamos a 0, [math] 2\rho(\rho-2)=0[/math] obtenemos que los puntos donde se produce la máxima velocidad son [math] \rho =0 \ {y} \ \rho = 2 [/math]

3 ROTACIONAL

Para la realización del cálculo del rotacional del campo, utilizaremos la siguiente fórmula:

Sustituyendo en la fórmula:

Obtenemos que [math]\nabla\times\vec{u}=(\frac{8\rho^2}{3}-3\rho)\frac{(p_1-p_2)}{μ}\vec{e_\theta}[/math], y dando los siguientes valores:

Tenemos que [math]\nabla\times\vec u=(\frac{16\rho^2}{3}-6\rho)\vec{e_\theta}[/math], siendo el módulo del rotacional, [math]\left | \nabla\times\vec u \right |= \frac{16\rho^2}{3}-6\rho[/math], como se observa en la expresión, depende del valor de [math]\rho[/math]. Tomando los valores mínimos en los extremos del intervalo en el que está definido [math]\rho[/math], [math] [0,1][/math].

Para visualizar esto de manera gráfica, nuevamente a Octave,

x=0:0.1:2;
y=-1:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
rot=abs((16*xx.^2)/3-6.*xx);
surf(xx,yy,rot)
colorbar
view(2)
axis([0,5,0,12])

Rotacional del campo velocidad

4 CAMPO DE TEMPERATURAS

La temperatura a la que está sometido el fluido viene determinada por el campo escalar:

Como se observa, la expresión del campo está en coordenadas porlares. Teniendo en cuenta que las relación para pasar de coordenadas polares a cartesianas es:

[math]x=ρcosθ[/math]

[math]y=ρsenθ[/math]

Pero como nosotros estamos en los ejes [math]\{\vec{j} {,} \vec{k} \}[/math], usaremos:

[math]y=ρcosθ[/math]

[math]z=ρsenθ[/math]

Podemos expresar el campo en coordenadas cartesianas, que es el sistema en el cual estamos trabajando, resultando:

REPRESENTACIÓN DEL CAMPO DE TEMPERATURAS

El campo de temperaturas es un campo escalar que representa la distribución espacial de la temperatura asociando un valor a cada punto del espacio. Depende de la posición del punto, y del tiempo (t). En nuestro caso, el campo de temperaturas como ya se a expuesto viene dado por la expresión [math] T(y{,}z)=1+(y^2+z^2-1/2) e^{-((z-1)^2)}[/math], por lo tanto no depende del tiempo, se dice que es estacionario, sino exclusivamente de las componentes espaciales [math](y{,}z)[/math]

Para la representación se ha implementado el siguiente código en Octave:

y=0:0.05:8;
 z=-2:0.05:10;
 [Y,Z]=meshgrid(y,z);
 figure (1) 
 p=1+(((Y.^2+Z.^2-(1/2)).^2).*exp(-((Z-1).^2)));
 pcolor(Y,Z,p);
 shading flat
 grid on
 axis([0,8,-1,10]);
colorbar 
figure(2)
contour(Y,Z,p,10,'k'); 
grid on
axis([0,8,-1,10]);

Campo de temperaturas del fluido

En el gráfico se puede observar que la temperatura es mayor cuándo se representa con colores cálidos, esto sucede en los valores próximos a [math]z=0[/math] y [math]z=1[/math].

REPRESENTACIÓN DE LAS CURVAS DE NIVEL

Curvas de nivel de campo

El código utilizado para la representación de este gráfico se incluyó con el de la representación del campo de temperaturas.

En el gráfico aparecen representadas las curvas de nivel, las curvas de nivel varían de manera geométrica estando más próximas entre sí cuando la temperatura aumenta, en torono a los puntos [math]z=1[/math] y más alejadas cuando la temperatura disminuya.

La representaciónes anteriores permite determinar que en el punto [math](y,z)= (8,1)[/math] la temperatura es máxima.

4.1 GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS

El análisis de la variación de la temperatura a lo largo del canal se realiza analizando el gradiente [math]\nabla T[/math], en nuestro caso:

Como observación, el gradiente analíticamente se calcula como [math]\frac{\partial T(y,z)}{\partial y}[/math] siendo ésta la compontente [math]\vec{j}[/math] del campo vectorial gradiente y [math]\frac{\partial T(y,z)}{\partial z }[/math] la componente [math]\vec{k}[/math].

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL GRADIENTE

El gráfico del gradiente de la temperatura, se ha representado utilizando el siguiente código:

y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=1+((Z.^2).*exp(-((Y.^2)+(Z.^2)-1/2).^2));
[pY,pZ]=gradient(p);
hold on
quiver(Y,Z,pY,pZ)
axis([0,8,-1,2]);
shading flat
grid on
hold off

Campo vectorial gradiente

Código Octave utilizado:

y=0:0.05:8;
z=0:0.05:10;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=1+(((Y.^2+Z.^2-(1/2)).^2).*exp(-((Z-1).^2)));
[pY,pZ]=gradient(p);
hold on
quiver(Y,Z,pY,pZ)
contour(Y,Z,p,'k');
axis([0,8,-1,10]);
shading flat
grid on
hold off

Gradiente ortogonal a las curvas de nivel

Con este gráfico afirmamos que las curvas de nivel son ortogonales al gradiente de la temperatura, es el mismo gráfico que el anterior pero más ampliado para poder observar mejor la ortogonalidad.

Para estudiar la variación de temperatura a lo largo del canal analizamos el gradiente que indica la direccion de crecimiento de la función temperatura en cada uno de los puntos. Como ya se ha mencionado antes, junto al gradiente aparecen las curvas de nivel de la temperatura. Se puede comprobar que en torno al punto [math]z=1[/math] el módulo del gradiente aumenta, lo que indica que la temperatura tendrá una variación más rápida en esta zona. Se aprecia claramente como el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel, esto se debe a que el gradiente indica la dirección de crecimiento y sentido de los valores del campo en cada punto y las curvas de nivel son el lugar geométrico de los puntos equipotenciales.

5 CAUDAL

El caudal es el volumen de un fluido que pasa a través de la tubería estudiada por unidad de tiempo y se calcula mediante la integral de superficie siguiente:

donde [math]\vec{v}[/math] es el campo de velocidades. Al tratarse de una integral de superficie hay que tener en cuenta el vector normal que es perpendicular a la superficie.

En nuestro caso, el campo de velocidades es:

Esa expresión resulta de sustituir los valores siguientes en la expresión incial del campo:

La profundidad del caudal es de 1 metro, por lo que al parametrizar nos da:

[math]\rho= 15 [/math]

[math]\theta=u[/math][math][0,2\pi][/math]

[math]z=v [/math] [math][0,\inf][/math]

Por lo que:

[math]ru=(0,1,0)[/math]

[math]rv=(0,0,1)[/math]

[math]|ru\times rv|=(1,0,0)[/math]

CÁLCULO DEL CAUDAL