Diferencia entre revisiones de «Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B)»

Revisión del 11:52 2 dic 2022

El trabajo correspondiente a nuestro grupo es el número 5, que consiste en el estudio de campos y deformaciones en dos dimensiones.

Consideraremos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|, por lo que trabajaremos en coordenadas cilíndricas. Físicamente representa la sección transversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada.

En ella, vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura [math] T(x,y) [/math], que viene dada por [math] T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 [/math], y los desplazamientos [math] \vec u(\rho,\theta) [/math], producidos por la acción de una fuerza [math] \vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } [/math].

De esta forma, si definimos [math] \vec r_{0}(x,y)=x \vec i+y\vec j [/math] como el vector posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto [math] (x,y) [/math] de la placa después de la deformación vendrá dada por [math] \vec r_{d}(x,y)=\vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y) [/math].

1 Dibujo del sólido

Comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/10 para las variables [math] x [/math] e [math] y [/math].

%Mallado interior placa rectangular
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Representación del mallado')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')

2 Dibujo curvas de nivel

Ahora dibujaremos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar [math] T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 [/math]. Podemos observar la variación de los colores en función de la temperatura. En la zona más fría se emplean tonos azules, mientras que en la zona más cálida se utilizan tonos amarillentos. En la gráfica, encontramos los puntos de máxima temperatura: [a,b] y [a,b].

u=1:0.1:2; %espesor de la curva y sus subdivisiones
v=pi/4:0.1:(3*pi)/4; %ángulos en los que se secciona la curva
[ro,teta]=meshgrid(u,v); %mallado
figure(1)
%aplicar las directamente las coordenadas cilindricas a la matriz
Mx=ro.*cos(teta); 
My=ro.*sin(teta);
Mz=0*My; %tiene que ser una matriz nula del mismo tamaño para estar en la cota 0
mesh(Mx,My,Mz); %dibujar el mallado

%Campo que define la temperatura
T=Mx.^2+(My-1).^2; %función en coordenadas cilindricas

%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1) %para que este gráfico se coloque en la parte de arriba
surf(Mx,My,T)%aplicar la función al mallado con colores degradados
axis([-3,3,-1,3]); %dibujar la curva entre esos ejes
view(2)%para verlo desde arriba
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(Mx,My,T) %líneas de nivel
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar

3 Cálculo y dibujo del gradiente

A continuación, calcularemos el gradiente y lo representaremos. Podemos ver gráficamente cómo los vectores resultantes son ortogonales a las curvas de nivel ahora ya conocidas. La razón de esto es que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto. [math] \nabla T=2x\vec i+2(y-1)\vec j [/math]

%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
 figure(1)
 xx=ro.*cos(teta);
 yy=ro.*sin(teta);
 mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
 colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
 figure(1)
 xx=ro.*cos(teta);
 yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis equal 
axis([-3,3,-1,3]);
 view(2)
 title('Gradiente de T')

4 Dibujo campo de vectores

Posteriormente, vamos a dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado de la placa, tomando el campo dado en el enunciado. Se ha realizado un cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas, conociendo la expresión del vector [math]\vec e_{\rho}\lt\math\gt: \vec e_{\rho}=\cos \theta \vec i+\sin \theta \vec j El campo en cilíndricas es el siguiente: \ltmath\gt \vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } [/math] El campo en cartesianas nos queda: [math] \vec u(x,\theta)= [/math]

%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
 xx=ro.*cos(teta);
 yy=ro.*sin(teta);
 mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
 axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')