Diferencia entre revisiones de «Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B)»

Revisión del 11:35 2 dic 2022

Consideraremos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|, por lo que trabajaremos en coordenadas cilíndricas. Físicamente representa la sección transversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada.

En ella, vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura [math] T(x,y) [/math], que viene dada por [math] T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 [/math], y los desplazamientos [math] \vec u(\rho,\theta) [/math], producidos por la acción de una fuerza [math] \vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } [/math]. De esta forma, si definimos [math] \vec r_{0}(x,y)=x \vec i+y\vec j [/math] como el vector posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto [math] (x,y) [/math] de la placa después de la deformación viene dada por [math] \vec r_{d}(x,y)=\vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y) [/math].

1 Dibujo del sólido

Comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/10 para las variables x e y.

%Mallado interior placa rectangular
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Representación del mallado')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')

2 Dibujo curvas de nivel

Ahora dibujaremos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar: [math] T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 [/math]. Podemos observar la variación de los colores en función de la temperatura. En la zona más fría se emplean tonos azules, mientras que en la zona más cálida se utilizan tonos amarillentos. En la gráfica, encontramos los puntos de máxima temperatura: [a,b] y [a,b].

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
 figure(1)
 xx=ro.*cos(teta);
 yy=ro.*sin(teta);
 mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
 axis([-3,3,-1,3]);
 view(2)
 title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
 axis([-3,3,-1,3]);
 view(2)
 colorbar

3 Cálculo y dibujo del gradiente

A continuación, calcularemos el gradiente y lo representaremos. Podemos ver gráficamente cómo los vectores resultantes son ortogonales a las curvas de nivel ahora ya conocidas. La razón de esto es que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto. [math] \nabla T=2x\vec i+2(y-1)\vec j [/math]

%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
 figure(1)
 xx=ro.*cos(teta);
 yy=ro.*sin(teta);
 mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
 colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
 figure(1)
 xx=ro.*cos(teta);
 yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis equal 
axis([-3,3,-1,3]);
 view(2)
 title('Gradiente de T')

4 Dibujo campo de vectores

Posteriormente, vamos a dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado de la placa, tomando el campo dado en el enunciado. Se ha realizado un cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas, conociendo la expresión del vector [math]\vec e_{\rho}\lt\math\gt: \vec e_{\rho}=\cos \theta \vec i+\sin \theta \vec j El campo en cilíndricas es el siguiente: \ltmath\gt \vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } [/math] El campo en cartesianas nos queda: [math] \vec u(x,\theta)= [/math]

%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
 xx=ro.*cos(teta);
 yy=ro.*sin(teta);
 mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
 axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')