Diferencia entre revisiones de «Flujo de Couette (Grupo 26A)»
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<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center> | <center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center> | ||
| − | En el primer sumando, aparece la divergencia, | + | En el primer sumando, aparece el gradiente de la divergencia, luego, en primer lugar, calculamos la divergencia. A modo de hipótesis, la divergencia ha de ser nula, ya que el fluido es incompresible. |
| + | <center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center> | ||
| − | <center> | + | Por lo tanto, se confirma la hiótesis, y tenemos la certeza de que se trata de un fluido incompresible. Además de esto: |
| + | <center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center> | ||
| + | , lo que concluye que el primer término en el calculo del laplaciano es nulo. | ||
| − | + | <center> <math>(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z}=[\frac{f(ρ)}{ρ}+ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center> | |
| − | <center> <math>\nabla\times\vec{u}= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ} \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}\frac{ \partial [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) }{\partial ρ}\vec{e_z}=[\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center> | + | Una vez hallado el rotacional del campo de velocidades, seguimos el procedimiento calculando el rotacional del vector hallado: |
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| + | <center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ} \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}\frac{ \partial [\frac{f(ρ)}{ρ}+ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) }{\partial ρ}\vec{e_z}=[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_z}</math></center> | ||
Revisión del 20:40 27 nov 2022
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Flujo de Couette. Grupo 26-A |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2022-23 |
| Autores | Héctor Sánchez Sánchez, Estela Serrano Briz, Ana Alejandra Rodríguez Falla, Ignacio Garrido Brito, Paula Ábalos Esteban |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos de manera que el exterior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el interior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje en OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la la circunferencia ρ = 2 y el interior sobre la circunferencia ρ = 1. La velocidad angular cilindro exterior es ω > 0
1 Dibujo de la sección trasversal
En primer lugar, con el fin de visualizar el flujo, cortamos los dos cilindros con el plano [math]x_3=0[/math], de forma que resulta la siguiente sección trasversal.
Para hallar esta figura, hemos ejecutado en MatLab el siguiente programa.
h=0.1; % definicion del intervalo
u=1:h:2; % pertenencia del parametro u [1,2]
v=0:h*pi/10:2*pi+h*pi/10; % pertenencia del parametro v [0,2*pi]
[U,V]=meshgrid(u,v); % Matrices de coordenadas de U y V
figure(1)
X=U.*cos(V); % parametrizacion
Y=U.*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); % Dibujo de la matriz
axis([-3,3,-3,3]) % Selección de los ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
2 Cálculo de la velocidad de las partículas
Conocemos por la física del problema, que la velocidad de las partículas viene dada por [math]\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} [/math], además de que su presión (p) es constante. Por otro lado, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:
Al ser la presión constante, su gradiente es nulo: ∇p=0; y si despreciamos la parte convectiva [math](\vec{u} · ∇)\vec{u}=0 [/math] tendremos:
Siendo µ el coeficiente de viscosidad del fluido y [math]∆\vec{u}[/math] el laplaciano vectorial del campo de velocidades. El laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas es relativamente sencillo de calcular, ya que:
Pero como el campo de velocidades está dado en coordenadas cilindricas, resulta más sencillo calcularlo con la siguiente fórmula:
En el primer sumando, aparece el gradiente de la divergencia, luego, en primer lugar, calculamos la divergencia. A modo de hipótesis, la divergencia ha de ser nula, ya que el fluido es incompresible.
Por lo tanto, se confirma la hiótesis, y tenemos la certeza de que se trata de un fluido incompresible. Además de esto:
, lo que concluye que el primer término en el calculo del laplaciano es nulo.
Una vez hallado el rotacional del campo de velocidades, seguimos el procedimiento calculando el rotacional del vector hallado:
