Diferencia entre revisiones de «Deformaciones de un anillo circular»
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Como se puede apreciar en la gráfica, el punto en el que la temperatura es máxima será (-2,0). Es importante notar que dado que nuetra temperatura solo depende de la variable <math> x </math> nuestras curvas resultarán lineas rectas verticales. | Como se puede apreciar en la gráfica, el punto en el que la temperatura es máxima será (-2,0). Es importante notar que dado que nuetra temperatura solo depende de la variable <math> x </math> nuestras curvas resultarán lineas rectas verticales. | ||
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T=log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura | T=log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura | ||
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=Dibujo del campo de Vectores= | =Dibujo del campo de Vectores= | ||
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=Solido antes y despues del desplazamiento= | =Solido antes y despues del desplazamiento= | ||
Aplicando a nuestro solido el campo <math>\vec u </math> tendrá este desplazamiento: | Aplicando a nuestro solido el campo <math>\vec u </math> tendrá este desplazamiento: | ||
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=Representación de la divergencia= | =Representación de la divergencia= | ||
Deberemos calcular la divergencia de <math> \nabla\cdot u </math> y determinar dónde esta es máxima,mínima y nula. Esta divergencia es un cambio de volumen local dado al desplazamiento pero dado que nuestra figura es una placa lo que observaremos será un cambio en su área. | Deberemos calcular la divergencia de <math> \nabla\cdot u </math> y determinar dónde esta es máxima,mínima y nula. Esta divergencia es un cambio de volumen local dado al desplazamiento pero dado que nuestra figura es una placa lo que observaremos será un cambio en su área. | ||
<math>\nabla\cdot u = 1/\rho\cdot[{\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\vec u_\rho)+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(\vec u_\theta)+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(\rho\vec u_z)]=0+\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}+0}</math> | <math>\nabla\cdot u = 1/\rho\cdot[{\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\vec u_\rho)+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(\vec u_\theta)+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(\rho\vec u_z)]=0+\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}+0}</math> | ||
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=Cálculo de determinante del rotacional= | =Cálculo de determinante del rotacional= | ||
Debemos calcular <math>|\nabla \times u|</math> siendo de esta forma un campo escalar y ver qué puntos sufren un mayor rotacional | Debemos calcular <math>|\nabla \times u|</math> siendo de esta forma un campo escalar y ver qué puntos sufren un mayor rotacional | ||
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=Cálculo de las tensiones= | =Cálculo de las tensiones= | ||
En este caso tenemos la parte simétrica del tensor u tal que <math>e(\vec u)=(\nabla u +\nabla u^t)/2</math> , esta e la usaremos para calcular los desplazamientos , estos viene dados por la siguiente formula: <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u+2\mu e(\vec u)</math> | En este caso tenemos la parte simétrica del tensor u tal que <math>e(\vec u)=(\nabla u +\nabla u^t)/2</math> , esta e la usaremos para calcular los desplazamientos , estos viene dados por la siguiente formula: <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot u+2\mu e(\vec u)</math> | ||
En la que <math> \lambda , \mu</math> son coeficientes de Lamé iguales a 1. | En la que <math> \lambda , \mu</math> son coeficientes de Lamé iguales a 1. | ||
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=Cálculo de la tensión tangencial a <math>\vec e_\theta</math>= | =Cálculo de la tensión tangencial a <math>\vec e_\theta</math>= | ||
Tendremos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math> | Tendremos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math> | ||
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=Representación y cálculo de la tensión de Von Miles= | =Representación y cálculo de la tensión de Von Miles= | ||
sacaremos los autovalores | sacaremos los autovalores | ||
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=Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas <math>\vec F</math>= | =Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas <math>\vec F</math>= | ||
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Revisión del 23:59 9 dic 2021
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Deformaciones de un anillo circular. Grupo C-19 |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2021-22 |
| Autores | Sandra Poza Diez
Eduardo Martinez Marinez Jaime Santi Alonso |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
En este articulo vamos a considerar una placa plana que ocupa medio anillo circular centrado en el origen, esta en el plano [math]y\le 0 [/math] y esta comprendido entre los radios 1 y 2 .
También disponemos de una función temperatura tal que : [math]T(x,y)=log((x-3)^2 +2)[/math]
Y un campo dado : [math]\vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow [/math]
Contenido
- 1 Mallado
- 2 Lineas de nivel de la temperatura
- 3 Cálculo del gradiente de la Temperatura
- 4 Dibujo del campo de Vectores
- 5 Solido antes y despues del desplazamiento
- 6 Representación de la divergencia
- 7 Cálculo de determinante del rotacional
- 8 Cálculo de las tensiones
- 9 Cálculo de la tensión tangencial a [math]\vec e_\theta[/math]
- 10 Representación y cálculo de la tensión de Von Miles
- 11 Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas [math]\vec F[/math]
1 Mallado
Realizaremos en Matlab un mallado de los puntos de la placa sobre la que vamos a trabajar. Dibujaremos la curva en los ejes [math](x,y) ∈ [-3,3]\times [-1,3][/math] con un paso de muestro [math]h=1/10[/math]. dado que nuestro solido es medio anillo circular debemos proceder usando coordenadas cilindricas.
h=0.1; %se define h para dividir los intervalos
u=1:h:2; %intervalo rho y teta
v=0:h:pi;
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %malla de u x v
xx=uu.*cos(vv); %parametrización con los puntos de la malla
yy=uu.*sin(vv);
zz=0.*uu;
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx); %dibujamos la grafica
axis([-3,3,-1,3]); %región de la grafica
2 Lineas de nivel de la temperatura
La temperatura nos viene dada por el campo [math]T(x,y)=log((x-3)^2 +2)[/math] que viene en coordenadas cartesianas, como nosostros estamos trabajando en coordenadas cilindricas debemos hacer un cambio. O cambiamos nuestras coordenadas a cartesianas o cambiamos el campo a cilindricas resultando en [math]T(\rho,\theta)=log((\rho\cdot cos\theta-3)^2+ 2)[/math]
Nosotros hemos optado por la primera opción. Como se puede apreciar en la gráfica, el punto en el que la temperatura es máxima será (-2,0). Es importante notar que dado que nuetra temperatura solo depende de la variable [math] x [/math] nuestras curvas resultarán lineas rectas verticales.
T=log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
figure(2)
hold on
contour(xx,yy,T,125) %contour para las superficies de nivel;
colorbar
hold off
3 Cálculo del gradiente de la Temperatura
Calculamos el gradiente del campo (escalar) de la temperatura que tenemos en el apartado anterior, siendo este:
[math]\nabla T=\frac{\partial T}{\partial\rho}\cdot e_\rho^\rightarrow+\frac{1}{\rho}\cdot\frac{\partial T}{\partial\theta}\cdot e_\theta^\rightarrow[/math]
T = log(((xx-3).^2)+2); %Campo escalar temperatura
GradienteX=(2*xx-6)./(xx.^2-6*xx+11); %derivada de la temperatura respecto a x
GradienteY= GradienteX.*0; %derivada de la temperatura respecto a y
figure(3)
subplot(1,2,1)
hold on
quiver3(xx,yy,T,GradienteX,GradienteY,0*T,0.5); %representación del gradiente en 3 dimensiones
surf(xx,yy,T); %surf para superficies
contour(xx,yy,T,20);
axis([-3,3,-1,3])
hold off
4 Dibujo del campo de Vectores
Dibujamos nuestro campo de vectores en el mallado del solido. Nuestro campo en cilindricas será:
[math]\vec u=\frac{\rho-1}{5}\cdot sin(\theta)e_\theta^\rightarrow [/math]
% Campo vectorial u(uu,vv)
ux=-(((uu-1)./5).*sin(vv)).*sin(vv);
uy=(((uu-1)./5).*sin(vv)).*cos(vv);
figure(4)
hold on
axis([-3,3,-1,3])
mesh(xx,yy,0*xx) %mallado del solido
quiver(xx,yy,ux,uy,1.5,'b'); %campo vectorial u(uu,vv)
hold off
5 Solido antes y despues del desplazamiento
Aplicando a nuestro solido el campo [math]\vec u [/math] tendrá este desplazamiento: {{matlab|codigo=
6 Representación de la divergencia
Deberemos calcular la divergencia de [math] \nabla\cdot u [/math] y determinar dónde esta es máxima,mínima y nula. Esta divergencia es un cambio de volumen local dado al desplazamiento pero dado que nuestra figura es una placa lo que observaremos será un cambio en su área.
[math]\nabla\cdot u = 1/\rho\cdot[{\frac{\partial }{\partial \rho}\cdot(\rho\vec u_\rho)+\frac{\partial }{\partial\theta}\cdot(\vec u_\theta)+\frac{\partial }{\partial z}\cdot(\rho\vec u_z)]=0+\frac{(\rho -1)cos(\theta)}{\rho 5}+0}[/math]
{{matlab|codigo=
7 Cálculo de determinante del rotacional
Debemos calcular [math]|\nabla \times u|[/math] siendo de esta forma un campo escalar y ver qué puntos sufren un mayor rotacional {{matlab|codigo=
8 Cálculo de las tensiones
En este caso tenemos la parte simétrica del tensor u tal que [math]e(\vec u)=(\nabla u +\nabla u^t)/2[/math] , esta e la usaremos para calcular los desplazamientos , estos viene dados por la siguiente formula: [math]\sigma=\lambda\nabla\cdot u+2\mu e(\vec u)[/math] En la que [math] \lambda , \mu[/math] son coeficientes de Lamé iguales a 1. {{matlab|codigo=
9 Cálculo de la tensión tangencial a [math]\vec e_\theta[/math]
Tendremos que calcular [math]|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|[/math] {{matlab|codigo=
10 Representación y cálculo de la tensión de Von Miles
sacaremos los autovalores {{matlab|codigo=
11 Calculo, dibujo e interpretación del campo de fuerzas [math]\vec F[/math]
{{matlab|codigo=
