Diferencia entre revisiones de «Circuitos eléctricos RL»

Revisión del 16:45 1 mar 2013

1 Introducción

El circuito eléctrico mas simple esta compuesto de una resistencia,un inductor o bobina y una fuente de alimentación.

• En una resistencia R, la Ley de Ohm establece:

 [math]i(t)={V(t)\over R}[/math]

• En un inductor L la Ley de Faraday dice:

[math] V(t)=L\cdot i'(t)[/math] Donde i(t)es la intensidad de corriente, V(t) el voltaje, R la resistencia y L la inductancia o bobina. Las leyes de Kirchoff dicen:

1. Ley de corrientes: En cada nodo, la suma de corrientes que entra es igual a la que sale.
2. Ley de tensiones: En cada ciclo cerrado, la suma de diferenciales de potencias es nula.

2 Ecuacion diferencial

En un circuito RL en serie se cumple según las leyes de Kirchoff la siguiente ecuación diferencial:

[math] i '(t)+{R\over L}i(t)-{V(t)\over L}=0 [/math]

Suponiendo que en t=0 se cierra el circuito; la intensidad de corriente en ese instante será nula [math] i(t=0)=0 [/math]. Resolviendo la ecuación con los siguientes datos : [math] V(t)=10V, L=0.2H, R=5Ω [/math] se obtiene:

    [math] i(t)=2-2e^{-25t} [/math]

que queda representada en la siguiente gráfica:

3 Método de Euler

t0=0;
tN=0.5;
y0=0;
N=100;
h=(tN-t0)/100;
yy=y0;
y(1)=yy;
for n=1:N;
yy=yy+h*(50-25*yy);
y(n+1)=yy;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,y,'x');

• El paso de discretización temporal para que el método sea estable ha de ser muy pequeño, del orden de h=1/100

4 Método del trapecio

t0=0;
tN=0.5;
y0=0;
N=50;
h=(tN-t0)/N;
yy=y0;
y(1)=yy;
for n=1:N;
yy=(yy+h*(50-12.5*yy))/(1+12.5*h);
y(n+1)=yy;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,y);

5 Euler con condiciones iniciales distintas

Si ahora tenemos un circuito por el que circula una corriente de 2A y desconectamos el generador del circuito, entonces la intensidad disminuirá progresivamente en el tiempo.

t0=0;
tN=0.5;
y0=2;
N=500;
h=(tN-t0)/500;
yy=y0;
y(1)=yy;
for n=1:N;
yy=yy+h*(-25*yy);
y(n+1)=yy;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,y,'x');

6 Circuito con dos mallas

Si a la bobina le conectamos en serie De acuerdo a las leyes de Kirchoff, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones correspondiente a la figura en cuestión:

[math] E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)[/math]:

[math] E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)[/math]:

[math] i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)[/math]

Sustituyendo la tercera ecuación en las otras dos se obtiene el sistema en términos de [math] i_2(t) [/math] e [math] i_3(t) [/math]:

[math] E(t)=(R_1+R_2)i_2(t)+R_1i_3(t)+L_2i'_2(t) [/math]:

[math] E(t)=R_1i_2(t)+R_1i_3(t)+L_1i'_3(t) [/math]

Suponiendo que la corriente en el circuito es nula en el instante en el que se cierra el circuito tenemos que [math] i_2(0)=i_3(0)=0 [/math]

Si añadimos una nueva malla (similar a la de [math] R_2 [/math],[math] L_2 [/math]) con una resistencia [math] R_3 [/math] e inductor [math] L_3 [/math] el sistema de ecuaciones sería el siguiente:

[math] E(t)=R_1i_1(t)+R_2i_2(t)+R_3i_4(t)+L_3i'_4(t)[/math]:

[math] E(t)=R_1i_1(t)+R_2i_2(t)+L_2i'_5(t)[/math]:

[math] E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)[/math]:

[math] i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)[/math]:

[math] i_2(t)=i_4(t)+i_5(t)[/math]

despejando:

[math] i'_3(t)={E(t)\over L_3}-{{R_1+R_2+R_3}\over L_3}i_3(t)-{{R_1+R_2}\over L_3}i_4(t)+{R_1\over L_3}i_5(t) [/math]:

[math] i'_4(t)={E(t)\over L_2}-{{R_1+R_2}\over L_2}i_3(t)-{{R_1+R_2}\over L_2}i_4(t)-{R_1\over L_2}i_5(t) [/math]:

[math] i'_5(t)={E(t)\over L_1}-{R_1\over L_1}i_3(t)-{R_1\over L_1}i_2(t)-{R_1\over L_1}i_5(t) [/math]

7 Sistema de ecuaciones: Euler

clear all
t0=0;
tN=0.3;
i0=[0 0]';
N=1000;
A=[-4800 -2400;-300 -300];
h=(tN-t0)/N;
ii=i0;
i2(1)=i0(1);
i3(1)=i0(2);
for n=1:N;
ii=ii+h*(A*ii+[4000;500]);
i2(n+1)=ii(1);
i3(n+1)=ii(2);
end
t=t0:h:tN;
figure(3)
plot(t,i2);
hold on 
plot(t,i3);

8 Sistema de ecuaciones: Trapecio

clear all
t0=0;
tN=0.3;
i0=[0 0]';
N=1000;
A=[-4800 -2400;-300 -300];
h=(tN-t0)/N;
ii=i0;
i2(1)=i0(1);
i3(1)=i0(2);
for n=1:N;
ii=ii+h*(A*ii+[4000;500]);
i2(n+1)=ii(1);
i3(n+1)=ii(2);
end
t=t0:h:tN;
figure(3)
plot(t,i2);
hold on 
plot(t,i3);