Diferencia entre revisiones de «Trabajo grupo 4»
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Recordamos la fórmula general del cálculo de <math>\nabla T</math> en coordenadas cartesianas | Recordamos la fórmula general del cálculo de <math>\nabla T</math> en coordenadas cartesianas | ||
| − | <math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math><br /> | + | <math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>.<br /> |
| − | Particularizándolo a nuestra temperatura <math>T(x,y)=log(y+2)</math>, obtenemos: | + | Particularizándolo a nuestra temperatura <math>T(x,y)=log(y+2)</math>, obtenemos: <br /> |
| − | <math>\nabla T=0\overrightarrow { i } \quad +\frac { 1 }{ y+2 } \overrightarrow { j } \quad +0\overrightarrow { k } </math> | + | <math>\nabla T=0\overrightarrow { i } \quad +\frac { 1 }{ y+2 } \overrightarrow { j } \quad +0\overrightarrow { k } \longrightarrow </math> |
| − | <math>\nabla T=\frac { 1 }{ y+2 } \overrightarrow { j } </math> | + | <math> \nabla T=\frac { 1 }{ y+2 } \overrightarrow { j } </math> <br /> |
== Campo de Desplazamiento == | == Campo de Desplazamiento == | ||
Queremos considerar un campo de desplazamiento <math>\overrightarrow { u } (\rho ,\theta )=f\left( \rho \right) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math> con las siguientes características: <br /> | Queremos considerar un campo de desplazamiento <math>\overrightarrow { u } (\rho ,\theta )=f\left( \rho \right) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math> con las siguientes características: <br /> | ||
:*Los puntos situados en <math>\rho =1</math> no sufren desplazamiento.<br /> | :*Los puntos situados en <math>\rho =1</math> no sufren desplazamiento.<br /> | ||
| − | :*El <math>\nabla | + | :*El <math>\nabla x\overrightarrow { u } =\frac { 3\rho -2 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ z }</math>.<br /> |
Para poder calcular el campo de desplazamiento <math>\overrightarrow { u } </math> debemos recordar el cálculo general del rotacional en las coordenadas cartesianas: | Para poder calcular el campo de desplazamiento <math>\overrightarrow { u } </math> debemos recordar el cálculo general del rotacional en las coordenadas cartesianas: | ||
| − | <math>\nabla | + | <math>\nabla x \overrightarrow { u } =\frac { 1 }{ \rho } \left| \begin{matrix} { \overrightarrow { g } }_{ \rho } & { \overrightarrow { g } }_{ \theta } & { \overrightarrow { g } }_{ z } \\ \partial \rho & \partial \theta & \partial z \\ { \overrightarrow { u } }_{ \rho } & { \overrightarrow { u } }_{ \theta } & { \overrightarrow { u } }_{ z } \end{matrix} \right| \quad </math><br /> |
Revisión del 17:17 27 nov 2019
Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen de coordenadas y comprendido entre los radios [1,3], en el primer cuadrante [math]x,y\geq 0[/math]. En este campo tendremos definidas dos cantidades físicas, la temperatura [math]T(x,y)[/math] y los desplazamientos [math]\overrightarrow { u } (x,y)[/math].
1 Introducción
2 Mallado de la placa
Con lo definido anteriormente podremos dibujar con ayuda del programa Matlab el mallado que represente los puntos interiores del sólido, consideramos como paso de muestreo h=1/10. Como se puede observar en el mallado se puede notar que el aro no está completamente cerrado en la coordenada [math]\theta =\pi [/math]. Esto se debe al muestreo que tenemos, ya que en el intervalo final correspondiente, este será mayor que [math]\theta [/math] por lo que se omite.
(colocar el código y figura del apartado 1)
3 Temperatura
Una de las funciones definidas al principio es la temperatura, cuya ecuación será [math]T(x,y)=log(y+2)[/math] que podemos observar como cambian las curvas de nivel y la barra de colores a lo largo del sólido.
(código de la temperatura y figura 2)
Al tener las curvas de nivel en nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma [math]\nabla T[/math]. Aprovechamos para verificar que nuestras ecuaciones y los diagramas están correctos al utilizar una de las propiedades del gradiente. Como podemos observar el [math]\nabla T[/math] es ortogonal a las curvas de nivel del anillo.
Recordamos la fórmula general del cálculo de [math]\nabla T[/math] en coordenadas cartesianas
[math]\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } [/math].
Particularizándolo a nuestra temperatura [math]T(x,y)=log(y+2)[/math], obtenemos:
[math]\nabla T=0\overrightarrow { i } \quad +\frac { 1 }{ y+2 } \overrightarrow { j } \quad +0\overrightarrow { k } \longrightarrow [/math]
[math] \nabla T=\frac { 1 }{ y+2 } \overrightarrow { j } [/math]
4 Campo de Desplazamiento
Queremos considerar un campo de desplazamiento [math]\overrightarrow { u } (\rho ,\theta )=f\left( \rho \right) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }[/math] con las siguientes características:
- Los puntos situados en [math]\rho =1[/math] no sufren desplazamiento.
- El [math]\nabla x\overrightarrow { u } =\frac { 3\rho -2 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ z }[/math].
- Los puntos situados en [math]\rho =1[/math] no sufren desplazamiento.
Para poder calcular el campo de desplazamiento [math]\overrightarrow { u } [/math] debemos recordar el cálculo general del rotacional en las coordenadas cartesianas:
[math]\nabla x \overrightarrow { u } =\frac { 1 }{ \rho } \left| \begin{matrix} { \overrightarrow { g } }_{ \rho } & { \overrightarrow { g } }_{ \theta } & { \overrightarrow { g } }_{ z } \\ \partial \rho & \partial \theta & \partial z \\ { \overrightarrow { u } }_{ \rho } & { \overrightarrow { u } }_{ \theta } & { \overrightarrow { u } }_{ z } \end{matrix} \right| \quad [/math]
