Diferencia entre revisiones de «Aproximación por Mínimos Cuadrados (grupo 3)»

Revisión del 12:28 12 nov 2019

"La estación que mide la calidad del aire en Moratalaz registra cada hora la densidad de partículas por metro cúbico en un fichero de datos. Por un error, el dispositivo ha fallado de 7:00 a 10:00, de manera que faltan los datos asociados a esas horas".

Se pide:

- 1º: "Dibujar los datos en una gráfica tiempo/concentración".

- 2ºa: "Ajustar los datos a una recta C = a + bt, donde C es la concentración, usando el método de mínimos cuadrados. Dibujar la recta y los puntos en la misma gráfica y calcular el error cuadrático medio de la aproximación. - 2ºb: Predicción de la recta para el valor de la concentración a las 10:00.

- 3º: "Ajustar los datos a una parábola C = a + bt + ct^2 usando el método de mínimos cuadrados. Responder a las mismas preguntas que en el apartado anterior."

- 4º: "Dado que uno espera una cierta periodicidad diaria y cada 12 horas (como consecuencia de las horas punta por la mañana y al mediodía), vamos a ajustar los datos a una función que contenga ambos periodos. Ajustar los datos a una función del tipo:

                                    C = a + b cos(2πt/24) + c sin(2πt/24) + d cos(4πt/24) + e sin(4πt/24)

donde a, b, c, d, e ∈ R son desconocidos, usando el método de mínimos cuadrados. Responder a las mismas preguntas que en el apartado anterior.

- 5º: "¿Cual de las aproximaciones tiene un menor error cuadrático medio? ¿Qué predicción te parece la más fiable?".

1 Creación de la tabla de valores

Empleando Mathlab, se nombran dos variables con el nombre "t" para las horas, y con el nombre "d" para la densidad de partículas y se representan en una gráfica. Hay datos "d" ausentes debido a la falta de registro para esas horas (Pudiendose omitir de los valores de dos formas: Saltando de los valores de la matriz esas posiciones, o escribiendo nan en lugar del número).

Tabla 1

figure (1)
t=[0,1,2,3,4,5,6,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23] %Para crear el eje X
d=[23.4,22.0,16.6,17.5,20.3,21.3,26.6,35.2,28.4,25.5,24.0,28.1,31.3,33.9,35.3,41.5,39.7,38.5,37.5,30.6]%Para crear el eje Y
plot(t,d,'r*') % Para ilustrar los valores

2 Cálculo y representación de una recta por mínimos cuadrados

Se quiere aproximar los valores a una recta que "pase lo más cerca posible de todos los valores".

2.1 Cálculo de la recta

Colocando a continuación de las líneas de código anteriores:

x1=[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1]'
x2=[t']
A=[x1,x2]
B=[d']
Z=(A'*A)\(A'*B)
a=18.7545561807951
b=0.835160646215284
plot(t,a+b*t)
hold on %

Tabla 2

3 Cálculo y representación de una parábola por mínimos cuadrados

El propósito de representar una parábola, es que en función de los datos obtenidos, puede que englobe menor error una figura basada en una ecuación de 2º grado (parábola) que una de 1º (recta).

3.1 Cálculo de la parábola

Al igual que con la recta, colocando bajo las líneas de código del primer apartado.

x3=[t.^2']
A1=[A,x3]
Z1=(A1'*A1)\(A1'*B)
c=19.0035116485221
d=0.756335637375577
e=0.00349790143540171
plot(t,c+d*t+e*(t.^2))
hold on %

Tabla 2

4 Cálculo y representación de una función trigonométrica por mínimos cuadrados

Una vez más, para tratar de reducir el error en lugar de una recta o una parábola, se basa en la suposición de la existencia de un periodo para la obtención de los valores.

Recordatorio: C = a + b cos(2πt/24) + c sin(2πt/24) + d cos(4πt/24) + e sin(4πt/24)

4.1 Cálculo de la función

Repitiendo el procaso anterior y colocando bajo las líneas de código del primer apartado.

m=(2*pi/24)
n=(4*pi/24)
x4=[cos(t*m)']
x5=[sin(t*m)']
x6=[cos(t*n)']
x7=[sin(t*n)']
A2=[x1,x4,x5,x6,x7]
Z2=(A2'*A2)\(A2'*B)
a=29.7322183227812
b=-2.15180938775857
c=-4.90253913577529
d=-2.46861102870589
e=-7.79309311015295
plot(a,b+g*cos(t*m)+c*sin(t*m)+d*cos(t*n)+e*sin(t*n))

Tabla 3