Diferencia entre revisiones de «Reacciones complejas GRUPO 1A»
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| + | · '''h'''=0.1(salto) | ||
| + | · '''t'''=[0,2] (segundos) | ||
Revisión del 13:23 28 abr 2016
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Reacciones complejas Grupo 1A |
| Asignatura | Ecuaciones Diferenciales |
| Curso | Curso 2015-16 |
| Autores | Pablo Medina Higueras
Jesús Caballero Pozo Jaime Delage Ramírez |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
1 Introducción
Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C,
A + B → C
Supondremos que se satisface la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.
2 Interpretación de las constantes y PVI para calcular la concentración de C
En primer lugar, interpretaremos las constantes y variables de la siguiente ecuación diferencial,esta ecuación diferencial será la de la ley de masas:
y'(t) = k1(a0 − y(t))(b0 − y(t)), siendo t>0
donde:
y'(t) = Representa la velocidad de la reacción química, es decir, la velocidad con que se produce C. k1 = Constante de proporcionalidad. a0 = Concentración inicial de A. y(t) = Evolución de la concentración de C a lo largo del tiempo. b0 = Concentración inicial de B.
Es conveniente mencionar que la concentración de A respecto al tiempo será de a0 - y(t), y para B será de b0 - y(t), tal y como nos indica el enunciado, tomaremos el tiempo como mayor que 0: t>0.
Además, sabemos que para t = 0, la concentración de C será nula, por lo que: y(t = 0) = 0.
Con todo lo deducido anteriormente, llegamos a la conclusión que estamos ante un Problema de Valor Inicial (PVI) o de Cauchy:
y'(t) = k1(a0 − y(t))(b0 − y(t)), siendo t>0
y(0) = 0
Ahora procederemos a ver si nuestro problema tiene solución única o no, a través del Teorema de existencia y Unicidad. Observamos que la función f(t,y) = y'(t) es continua en el intervalo (I = (0,∞) ∩ B(0,0),r>0), por lo que admite al menos una solución. Por otro lado, observamos la derivada parcial:
∂f/∂y=k(2y-a-b)
y vemos que no hay problemas de continuidad, porque la derivada parcial nos resulta un polinomio, así que podremos afirmar que tiene una única solución.
3 Resolución por el método de Euler
Ahora, resolveremos el problema de valor inicial con el método de Euler de primer orden (método explícito). Del enunciado, sabemos que f(t,y)=k1(a0-y(t))(b0-y(t)) , por lo tanto aplicamos la fórmula del método de Euler:
yn+1 = yn + h * f(tn, yn)
Cuando despejamos, obtenemos : yn+1 = yn + h * k1(a0-y(t))(b0-y(t))
Según los datos del enunciado, tenemos que:
·a0=3[mol/L] · b0=1[mol/L] · k1=1[mol/s] · h=0.1(salto) · t=[0,2] (segundos)
