Diferencia entre revisiones de «Enunciado del trabajo 6»

Revisión del 17:41 21 nov 2013

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos.

Mallado de un canal entre con frontera recta

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas. Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Se pide:

1. Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo [math][0,4]\times[0,1][/math] ocupado por un fluido. Fijar los ejes en la región [math][0,4]\times[-1,2][/math] (ver figura).
2. La velocidad de las partículas del fluido viene dada por [math]\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i[/math] y su presión [math]p(x,y)=p_1 + (p_2-p_1)(x-1)[/math], donde [math]p_1[/math] es la presión en los puntos [math]x=1[/math], [math]p_2[/math] la presión en los puntos x=2 y [math]\mu [/math] el coeficiente de viscosidad del fluido. Comprobar que [math](\vec u,p)[/math] satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:

[math] \vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu \Delta \vec u, [/math] junto con la condición de incompresibilidad (el flujo no se expande ni se contrae): [math] \nabla \cdot \vec u =0 [/math] Además, comprobar que la velocidad del fluido en las paredes y=0,1 es nula.

1. Suponiendo que [math]p_1=2[/math], [math]p_1=1[/math] y [math]\mu=1[/math]. Dibujar el campo de presiones y el campo de velocidades.
2. Vamos a dibujar ahora las líneas de corriente del campo [math]\vec u[/math], es decir las líneas que son tangentes a [math]\vec u[/math] en cada punto. Para ello calculamos el campo [math]\vec v[/math] que en cada punto es ortogonal a [math]\vec u[/math] (tomar [math]\vec v=\vec k \times \vec u[/math]). Observar que [math]\vec v[/math] es irrotacional (por ser [math]\vec u[/math] de divergencia nula) y tiene un potencial escalar [math]\psi[/math] que se conoce como función de corriente de [math]\vec u [/math]. Calcular [math]\psi[/math] y dibujar las líneas [math]\psi=cte[/math]. Comprobar que son efectivamente líneas de corriente de [math]\vec u[/math].
3. En qué puntos la velocidad del fluido es máxima?
4. Calcular el rotacional de [math]\vec u[/math] y dibujar el campo [math]|\nabla \times \vec u|[/math]. ¿Qué puntos tienen mayor rotacional? ¿Es razonable?
5. Supongamos que la temperatura del fluido viene dada por el campo [math]T(x,y)=(x-1)^2-y^2[/math]. Dibujar el campo de temperaturas.
6. Dibujar el gradiente de la temperatura. Comprobar gráficamente que el gradiente de temperaturas es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.