Diferencia entre revisiones de «Ecuación del calor. (Grupo A8)»
(→=Cambio de condiciones de contorno) |
(→Introducción y modelización del problema.) |
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*Para el primer caso a plantear la varilla estará infitamente aislada del entorno y por tanto no habrá flujo de calor sobre la superficie lateral de la misma. | *Para el primer caso a plantear la varilla estará infitamente aislada del entorno y por tanto no habrá flujo de calor sobre la superficie lateral de la misma. | ||
*Al estar considerando el caso unidimensional de la ecuación del calor, asumiremos que al ser una varilla delgada la temperatura a lo largo de una sección ortogonal al eje <math>x</math> se mantiene constante en toda la sección. | *Al estar considerando el caso unidimensional de la ecuación del calor, asumiremos que al ser una varilla delgada la temperatura a lo largo de una sección ortogonal al eje <math>x</math> se mantiene constante en toda la sección. | ||
| − | *Consideraremos que el calor específico del material, <math>c</math>, es constante y no depende de la temperatura | + | *Consideraremos que el calor específico del material, <math>c</math>, es constante y no depende de la temperatura, y por tanto la difusividad térmica,<math>\alpha=\frac{k}{c\rho}</math> también lo será. |
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| + | Si damos un valor a las constantes <math>c</math>,<math>k</math>,<math>\rho</math>, tal que <math>\alpha=2</math>; y no hay fuentes ni sumideros de calor dentro de la varilla, la ecuación en derivadas parciales que tendrá que cumplir la distribución de temperaturas a lo largo de la misma es:: | ||
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| + | <math>\frac{{\partial u}}{{\partial t}}-2\frac{{\partial^2 u}}{{\partial x^2}}=0</math> | ||
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| + | <math>u_t(x,t)-2u_{xx}(x,t)=0</math> | ||
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| + | Donde: | ||
| + | *<math>u(x,t)</math> nos define como evoluciona la temperatura a lo largo del eje <math>x</math>. | ||
| + | *<math>u_t(x,t)</math> es la derivada de la temperatura con respecto del tiempo. | ||
| + | *<math>u_{xx}(x,t)</math> es la segunda derivada de la temperatura con respecto de <math>x</math>. | ||
=Casos prácticos= | =Casos prácticos= | ||
Revisión del 18:03 14 may 2015
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Ecuación del calor (Grupo A8) |
| Asignatura | Ecuaciones Diferenciales |
| Curso | Curso 2014-15 |
| Autores | Valentina Salazar; Antonio Carrero; José Francisco Aguilera |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Introducción y modelización del problema.
En este artículo trataremos el comportamiento térmico de una varilla sometida a ciertas condiciones térmicas y físicas mediante diferentes métodos numéricos, daremos interpretación física a los resultados arrojados por estos métodos. Basaremos el estudio analítico y numérico necesario en la ecuación del calor propuesta por Jean-Baptiste Joseph Fourier en 1822.
Para estudiar el problema consideraremos una varilla delgada, de sección constante y de un material homogéneo, de longitud [math]L=4[/math]. La situaremos en el intervalo [math]x\in{(0,4)}[/math] de la recta real. Para llevar acabo esta modelización tendremos que asumir unas ciertas hipótesis y simplificaciones:
- Para el primer caso a plantear la varilla estará infitamente aislada del entorno y por tanto no habrá flujo de calor sobre la superficie lateral de la misma.
- Al estar considerando el caso unidimensional de la ecuación del calor, asumiremos que al ser una varilla delgada la temperatura a lo largo de una sección ortogonal al eje [math]x[/math] se mantiene constante en toda la sección.
- Consideraremos que el calor específico del material, [math]c[/math], es constante y no depende de la temperatura, y por tanto la difusividad térmica,[math]\alpha=\frac{k}{c\rho}[/math] también lo será.
Si damos un valor a las constantes [math]c[/math],[math]k[/math],[math]\rho[/math], tal que [math]\alpha=2[/math]; y no hay fuentes ni sumideros de calor dentro de la varilla, la ecuación en derivadas parciales que tendrá que cumplir la distribución de temperaturas a lo largo de la misma es::
[math]\frac{{\partial u}}{{\partial t}}-2\frac{{\partial^2 u}}{{\partial x^2}}=0[/math]
[math]u_t(x,t)-2u_{xx}(x,t)=0[/math]
Donde:
- [math]u(x,t)[/math] nos define como evoluciona la temperatura a lo largo del eje [math]x[/math].
- [math]u_t(x,t)[/math] es la derivada de la temperatura con respecto del tiempo.
- [math]u_{xx}(x,t)[/math] es la segunda derivada de la temperatura con respecto de [math]x[/math].
