Diferencia entre revisiones de «Nivel piezométrico de un acuífero confinado (A5)»
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Consideramos un acuífero confinado entre dos capas de terreno impermeables horizontales. Llamaremos h(x, y) al nivel piezométrico del acuífero, definido por la altura que alcanzaría el agua si hiciéramos un sondeo en el punto (x, y). Obviamente este valor depende de la presión a la que se encuentra el agua confinada en el acuífero. Supondremos | Consideramos un acuífero confinado entre dos capas de terreno impermeables horizontales. Llamaremos h(x, y) al nivel piezométrico del acuífero, definido por la altura que alcanzaría el agua si hiciéramos un sondeo en el punto (x, y). Obviamente este valor depende de la presión a la que se encuentra el agua confinada en el acuífero. Supondremos | ||
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<math> q = −K∇h </math> | <math> q = −K∇h </math> | ||
que es una ley experimental que modela el flujo de agua en un medio poroso. La ley de Darcy establece que el flujo de agua q a través de un medio poroso es proporcional a la diferencia de presión, que a su vez se puede escribir en términos del gradiente del nivel piezométrico en cada punto. La constante K se deduce experimentalmente para cada material y se conoce como la conductividad hidráulica o permeabilidad. Cuanto mayor es la constante K mayor es el flujo de agua provocado por un cambio | que es una ley experimental que modela el flujo de agua en un medio poroso. La ley de Darcy establece que el flujo de agua q a través de un medio poroso es proporcional a la diferencia de presión, que a su vez se puede escribir en términos del gradiente del nivel piezométrico en cada punto. La constante K se deduce experimentalmente para cada material y se conoce como la conductividad hidráulica o permeabilidad. Cuanto mayor es la constante K mayor es el flujo de agua provocado por un cambio | ||
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| − | La constante S en la ley de | + | La constante S en la ley de conservación de la masa se conoce como almacenamiento específico y se interpreta como la cantidad de agua que libera el acuífero al descender el nivel piezométrico en una unidad, por unidad de volumen. |
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| − | unidad, por unidad de volumen. | + | Combinando las ecuaciones de conservaci´on de la masa con la ley de Darcy, obtenemos la ecuación: |
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| − | + | <math> \frac{∂h}{∂t} - D∆h = 0, ρ > ρ0, θ ∈ (0, 2π), t > 0, (1) </math> | |
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| + | En este apartado buscamos demostrar la ecuación (1) como combinación de la ecuación de conservación de masas y la Ley de Darcy. | ||
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| + | Por un lado sabemos que el laplaciaco equivale a la divergencia del gradiente: | ||
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| + | <math> \Delta f = \nabla \cdot \nabla f = div \left \nabla f \right </math> | ||
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| + | <math>x = ρ cos \theta \\ | ||
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| + | <math> \nabla = \hat{x}{\partial \over \partial x} + \hat{y}{\partial \over \partial y} + \hat{z}{\partial \over \partial z} </math> | ||
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| + | \Delta f = \nabla^2 f | ||
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| + | + {1 \over \rho^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2} | ||
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<math>x + y</math> | <math>x + y</math> | ||
Revisión del 11:26 4 may 2015
1 Introducción
Consideramos un acuífero confinado entre dos capas de terreno impermeables horizontales. Llamaremos h(x, y) al nivel piezométrico del acuífero, definido por la altura que alcanzaría el agua si hiciéramos un sondeo en el punto (x, y). Obviamente este valor depende de la presión a la que se encuentra el agua confinada en el acuífero. Supondremos que el acuífero es un medio poroso saturado de agua que ocupa una región infinita y está en equilibrio de manera que h(x, y) = h0 constante para todo (x, y) ∈ IR2.
Sobre el acuifero se construye un pozo de sección circular y radio ρ0 para extraer agua. La presencia del pozo hace que el nivel piezométrico cambie. Dada la simetría del problema podemos suponer que h(x, y) sólo va a depender de la distancia al pozo. Si tomamos coordenadas cilíndricas de forma que el eje OZ coincida con el eje de simetría del pozo, entonces h = h(ρ) donde [math]ρ = \sqrt{x^{2} + y^{2}}[/math] . Trabajaremos por tanto en coordenadas polares en el plano (ρ, θ).
Las ecuaciones que permiten conocer h(ρ) son la ecuación de conservación de la masa:
[math] S = \frac{∂h}{∂t} + div q = 0 [/math]
junto con la ley de Darcy
[math] q = −K∇h [/math]
que es una ley experimental que modela el flujo de agua en un medio poroso. La ley de Darcy establece que el flujo de agua q a través de un medio poroso es proporcional a la diferencia de presión, que a su vez se puede escribir en términos del gradiente del nivel piezométrico en cada punto. La constante K se deduce experimentalmente para cada material y se conoce como la conductividad hidráulica o permeabilidad. Cuanto mayor es la constante K mayor es el flujo de agua provocado por un cambio de presión. La ley de Darcy proporciona una buena aproximación del comportamiento del agua en un medio poroso siempre que este sea homogéneo e isótropo.
La constante S en la ley de conservación de la masa se conoce como almacenamiento específico y se interpreta como la cantidad de agua que libera el acuífero al descender el nivel piezométrico en una unidad, por unidad de volumen.
Combinando las ecuaciones de conservaci´on de la masa con la ley de Darcy, obtenemos la ecuación:
[math] \frac{∂h}{∂t} - D∆h = 0, ρ \gt ρ0, θ ∈ (0, 2π), t \gt 0, (1) [/math]
donde D = K/S es la difusividad hidráulica que supondremos constante.
2 Deducción de la fórmula
En este apartado buscamos demostrar la ecuación (1) como combinación de la ecuación de conservación de masas y la Ley de Darcy.
Por un lado sabemos que el laplaciaco equivale a la divergencia del gradiente:
[math] \Delta f = \nabla \cdot \nabla f = div \left \nabla f \right [/math]
Por otro lado, sabemos que en coordenadas polares:
[math]x = ρ cos \theta \\ y = ρ sen \theta [/math]
[math]\bar{g_ρ } = cos \theta \bar{i} + sin \theta \bar{j} \\ \bar{g_\theta } = - ρ sin \theta \bar{i} + ρ cos \theta \bar{j} [/math]
\[
G = \left( \begin{array}{cc} 1& 0 \\ 0 & ρ ^{2} \\ \end{array} \right); \text {donde la raiz del determinante es} \sqrt{g} = ρ \]
\left \bar{g_ρ } \cdot \bar{g_ρ } & \bar{g_ρ } \cdot \bar{g_\theta} \\ \bar{g_ρ } \cdot \bar{g_\theta} } & \bar{g_\theta} \cdot \bar{g_\theta} \right) =
[math] \nabla = \hat{x}{\partial \over \partial x} + \hat{y}{\partial \over \partial y} + \hat{z}{\partial \over \partial z} [/math]
[math]
\Delta f = \nabla^2 f
= {1 \over \rho} {\partial \over \partial \rho}
\left( \rho {\partial f \over \partial \rho} \right)
+ {1 \over \rho^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}
+ {\partial^2 f \over \partial z^2 }
= {1 \over \rho} {\partial f \over \partial \rho}
+ {\partial^2 f \over \partial \rho^2}
+ {1 \over \rho^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}
+ {\partial^2 f \over \partial z^2 }
[/math]
[math]x + y[/math]
% Escribe aquí tu código
a = 1 + 2;
disp(a);
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