Diferencia entre revisiones de «Aproximación de problemas de control.Derivadas topológicas para la resolución problemas inversos: Resolución actividad propuesta»
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y <math>u_{inc}</math> es una onda plana que se propaga en la dirección <math>\vec{d}</math>, tal que | y <math>u_{inc}</math> es una onda plana que se propaga en la dirección <math>\vec{d}</math>, tal que | ||
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Revisión del 19:38 16 mar 2015
1 Introducción
1.1 General
Un problema inverso es aquel en el que a partir de ciertas mediciones o valores observados se debe deducir alguno o varios de los parámetros del sistema.
En este ejercicio, vamos a hacer énfasis en aquel problema inverso en el cual el parámetro que se pretende estimar son los defectos de un medio. Concretamente, se trataría de un problema de dispersión, en el cual se hace incidir una onda [math]u_{inc}[/math] en el seno de un medio [math]R[/math] contra unos defectos [math]\Omega[/math]. Dado que las propiedades del medio difieren en el defecto, el dominio [math]\Omega[/math] puede ser estimado.
El objetivo en este problema inverso concreto, es, a partir de las mediciones [math]u_{meas}[/math] tomados en una serie de receptores [math]\Gamma[/math]encontrar los objetos [math]\Omega[/math] tales que la diferencia [math]|u-u_{meas}|[/math] sea mínima.
Se debe subrayar que a pesar de su enorme interés, se trata de un problema mal planteado que puede no tener solución, y si la tiene puede no depender continuamente de los datos.
Este problema tiene numerosas aplicaciones, entre las que destacan aquellas en campos de tanto interés como puedan ser la medicina, la geología o el análisis de estructuras.
1.2 Problema modelo
Supongamos que estamos tratando con ondas acústicas. Tenemos
[math]\rho U_{tt} = k \Delta U,[/math]
donde [math] k [/math] es la constantes elásticas en problemas de dispersión acústica. La onda incidente es armónica en el tiempo
[math]U_{inc}(\vec{x}, t) = Re\left[e^{−i \omega t} u_{inc}(\vec{x})\right],[/math]
y [math]u_{inc}[/math] es una onda plana que se propaga en la dirección [math]\vec{d}[/math], tal que
[math]u_{inc}(\vec{x})= e^{i k \vec{x}\vec{d}}[/math]
