Diferencia entre revisiones de «Explotación minera (Grupo21-C)»
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(→Revisión del comportamiento del modelo a los 12 años) |
(→Relación de la producción y el volumen de toneladas extraídas modelo de Verhulst) |
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* 1.En la primera subventana aparece la curva del modelo de Gompertz explicada en el apartado anterior | * 1.En la primera subventana aparece la curva del modelo de Gompertz explicada en el apartado anterior | ||
* 2.En la segunda subventana aparece la curva del modelo de Verhulst , de acuerdo con este podemos decir que ajusta bastante bien cuando está alejado del momento inicial | * 2.En la segunda subventana aparece la curva del modelo de Verhulst , de acuerdo con este podemos decir que ajusta bastante bien cuando está alejado del momento inicial | ||
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=='''Utilización del método de Euler,RK4 y Heun'''== | =='''Utilización del método de Euler,RK4 y Heun'''== | ||
Revisión del 01:49 6 mar 2015
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Explotación minera. Grupo 21-C |
| Asignatura | Ecuaciones Diferenciales |
| Curso | Curso 2014-15 |
| Autores | Jesús Infestas Robles, Pablo Medina Higueras , Alejandro Perales Juidías, Jaime Delage Ramírez, Mairena Pérez López |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
- 1 Introducción
- 1.1 Relación de cantidad y produccion
- 1.2 Relación de la producción y el volumen de toneladas extraídas modelo de Gompertz
- 1.3 Relación de la producción y el volumen de toneladas extraídas modelo de Verhulst
- 1.4 Utilización del método de Euler,RK4 y Heun
- 1.5 Función Q(t), obtención por Euler y dibujo de su gráfica
- 1.6 Utilización de Runge Kutta de cuarto orden y Heun con el apartado anterior
- 1.7 Tendencia de nuestra cantidad Q cuando el tiempo lim→ ∞
- 1.8 Función de P(t) durante la vida útil de la población
- 1.9 Cantidad de mineral sin extraer una vez transcurrida la vida útil
- 1.10 Apartado 1.8 y 1.9 con el método logístistico de Verhulst
- 1.11 Revisión del comportamiento del modelo a los 12 años
1 Introducción
- La idea principal se basa en el modelo de Gompertz ,el cual muestra las tasas de crecimiento en un periodo de tiempo y su disminución de forma exponencial con el paso del mismo.Aplicado a nuestro caso se trata de una explotación de un yacimiento mineral, en un principio se decide explotar por su posible rentabilidad,el cual en un periodo de tiempo dado -25 años- será durante el cual se extrae la cantidad mayor de mineral y a partir de dicho tiempo,empecerá a descender esta producción, las causas son ajenas a nuestro estudio, pero seguramente ya no exista el mismo rendimiento.
- Con lo cual nuestro problema muestra una ecuación diferencial que sigue esta forma:
[math] \frac{dQ}{dt}=rQlog(\frac{K}{Q}) [/math]
1.1 Relación de cantidad y produccion
[math] P(Q) = \frac{dQ}{dt}=rQlog(\frac{K}{Q}) [/math]
- 1.Necesitamos saber para que valor Q alcanza el máximo, para ello derivamos nuestra función respecto a Q :
[math] P'(Q) =r(log(\frac{K}{Q})+Q\frac{\frac{-K}{Q^2}}{\frac{K}{Q}})=r(log(\frac{K}{Q})-1)⇐⇒P′(Q) = 0⇐⇒log(\frac{K}{Q})=1⇐⇒(\frac{K}{Q})=e⇐⇒Q=(\frac{K}{e}) [/math]
- 2. Tenemos en cuenta que nuestra producción máxima son 240 toneladas/año, entonces :
- 3. Y así obtendremos nuestra tasa intrínseca de crecimiento(r) para nuestra función Gompertz :
[math] 240=r\frac{K}{e}⇐⇒r=\frac{240e}{K}=\frac{240e}{10875} [/math]
1.2 Relación de la producción y el volumen de toneladas extraídas modelo de Gompertz
- Realizamos el programa teniendo en cuenta nuestra tasa intrínseca de crecimiento anteriormente hallada:
r=240*exp(1)/10785; %tasa intrínseca de crecimiento
k=10875; %la cantidad total (toneladas) extraible
Q=0:1:10875; %vector con la cantidad de toneladas desde 0 hasta el maximo que se extraen
N=length(Q); %Tamaño vector Q
P=zeros(1,N); %vector de ceros deuna fila y N columnas
for i=1:N %realizo el bucle
P(i)=r*Q(i)*log(k/Q(i)); %Defino la funcion P(Q)
end
plot(Q,P) %Dibujo mi grafica como una curva con Q(abcisas) y P(ordenadas)
xlabel('cantidad (tn)') %añado un pequeño titulo a mi Q y P
ylabel('produccion (tn/año)')
- Análisis de nuestra curva:
- 1.Como se puede apreciar,nuestra función realiza una curva que transcurre desde 0 hasta la cantidad máxima de toneladas que se pueden extraer.
- 2.Además;la curva que describre nuestra función alcanza su máximo relativo en 240 toneladas por año, que es la producción máxima de nuestra función.
- 3.Muestra muy bien el significado del modelo de Gompertz,ya que existe un crecimiento incial muy potente y un posterior descenso,causadas por factores adversos a la rentabilidad de nuestra explotación minera una vez transcurrido los años.
1.3 Relación de la producción y el volumen de toneladas extraídas modelo de Verhulst
- Realizamos nuestro programa con nuestra nueva función y tasa intrínseca de crecimiento para el modelo de Verhulst :
[math] Q'=rQ(1-\frac{Q}{k}) [/math]
r1=240*exp(1)/10875; %Tasa intrinseca de creciemiento modelo de Gompertz
r2=(240*4)/10875; %Tasa intrinseca de creciemiento modelo de Verhulst
K=10875; %Cantidad maxima de toneladas extraibles
Q=0:1:10875; %Vector con la cantidad en toneladas desde 0 hasta K
N=length(Q); %Tamaño de nuestro vector Q
for i=1:N %Realizamos un bucle desde uno hasta el numero de elementos(N) de nuestro vector Q
PG(i)=r1*Q(i)*log(K/Q(i)); %Gompertz
PV(i)=r2*Q(i)*(1-Q(i)/K); %Verhulst
end %cerramos el bucle
subplot(1,3,1)
plot(Q,PG) %Dibujamos una curva en nuestro eje x(Q)y nuestro eje y(funcion de Gompertz)
xlabel('cantidad') %añadimos titulo a las abcisas
ylabel('produccion') %añadimos titulo a las ordenadas
subplot(1,3,2)
plot(Q,PV,'g') %dibujamos nuestra curva con eje x(Q) y eje y(funcion del modelo de Verhulst)
xlabel('cantidad (tn)') %añadimos titulo a las abcisas d
ylabel('produccion (tn/año)') %añadimos titulo a las ordenadas
subplot(1,3,3)
plot(Q,PG) %Dibujamos una curva en nuestro eje x(Q)y nuestro eje y(funcion de Gompertz)
xlabel('cantidad') %añadimos titulo a las abcisas
ylabel('produccion') %añadimos titulo a las ordenadas
hold on %sobre nuestra curva anterior le superponemos la siguiente
plot(Q,PV,'g') %dibujamos nuestra curva con eje x(Q) y eje y(funcion del modelo de Verhulst)
xlabel('cantidad (tn)') %añadimos titulo a las abcisas d
ylabel('produccion (tn/año)') %añadimos titulo a las ordenadas
legend('Modelo Gompertz','Modelo Verhulst','Location','best')
hold off
- Análisis de nuestras gráficas :
- 1.En la primera subventana aparece la curva del modelo de Gompertz explicada en el apartado anterior
- 2.En la segunda subventana aparece la curva del modelo de Verhulst , de acuerdo con este podemos decir que ajusta bastante bien cuando está alejado del momento inicial
- 3. En la tercera subventana se comparan ambas curvas mencionadas previamente donde se muestra que para este tipo de calculo de crecimientos el modelo de Gompertz se aproxima mas y queda mejor definido
1.4 Utilización del método de Euler,RK4 y Heun
- Previo
Euler es un método de aproximación de problemas de valor inicial,obtendremos la solución aproximación de soluciones en un intervalo definido.Si nuestra h es pequeña la aproximación será mejor, ya que la acumulación de errores en cada solución será menor.
1.5 Función Q(t), obtención por Euler y dibujo de su gráfica
- Aunque nuestra cantidad inicial es 0 ponemos 0.1 porque sino al hacer Euler saldría una indeterminación, y no se podría dibujar nuestra gráfica, así que hemos elegido ese valor pequeño para que funcione correctamente
t0=0; %El tiempo inicial es cero
Q0=0.1; %Al principio la cantidad de mineral extraida es cero
h=1/12; %El enunciado dice que el paso es de un mes, y como nuestra unidad es el año, el paso será 1/12
%Definimos la variable independiente pero como no conocemos el tiempo en el que se paraliza la excavacíón,
%por lo que del vector t solo definimos el primer elemento
t=t0; %Primer elemento de t
r=240*exp(1)/10875; %El valor de r ha sido hallado en el apartado 2
K=10875; %Cantidad total extraible
%Al no conocer el tiempo final, tampoco podemos saber el valor de N, y por
%lo tanto, el tamaño del vector Q, por lo que solo definimos el primer
%elemento del vector
Q(1)=Q0;
i=1; %el bucle empieza con el elemento 1
while 1 %Empezamos el bucle que rastrea todos los elementos hasta el buscado
Q(i+1)=Q(i)+h*(r*Q(i)*log(K/Q(i))); %euler
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs((r*Q(i)*log(K/Q(i)))-25)<0.1&r*Q(i-1)*log(K/Q(i-1))>r*Q(i)*log(K/Q(i))
%Vemos cuando la producción deja de ser rentable, que será cuando la producción baje a 25 toneladas
break %en ese momento salimos del bucle
end %cerramos el bucle
i=i+1; %para que nuestro bucle prosiga elemento a elemento hasta encontrar el de la condicion if
end
plot(t,Q,'r') %dibujamos la curva en rojo, tiempo en abcisas y cantidad en ordenadas
legend('Euler','Location','best') %ponemos una leyenda nuestra curva- Análisis de nuestra curva:
1.6 Utilización de Runge Kutta de cuarto orden y Heun con el apartado anterior
- Realizamos el mismo ejercicio que en el apartado anterior, pero esta vez, utilizando los métodos de Runge Kutta de cuarto orden y Heun
t0=0; %El tiempo inicial es cero
y0=0.1; %Al principio la cantidad de mineral extraida es cero
h=1/12; %El paso nos dice que es de un mes, y como nuestra unidad es el año el paso es 1/10
%Definimos la variable independiente pero como no conocemos el tiempo en el que se paraliza
%la excavacíon, por lo que del vector t solo definimos el primer elemento
t=t0;
r=240*exp(1)/10875; %el valor de r ha sido hallado en el apartado 2
K=10875; %Cantidad total extraible
%Al no conocer el tiempo final, tampoco podemos saber el valor de N, y por lo tanto, el
%tamaño de los vectores y y z, por lo que solo definimos el primer elemento de los vectores.
y(1)=y0; %RK4
z(1)=y0; %Heun
i=1;
while 1 %Empezamos el bucle de Runge Kutta
%RK4
K1=r*y(i)*log(K/y(i));
K2=r*(y(i)+1/2*K1*h)*log(K/(y(i)+1/2*K1*h));
K3=r*(y(i)+1/2*K2*h)*log(K/(y(i)+1/2*K2*h));
K4=r*(y(i)+K3*h)*log(K/(y(i)+K3*h));
y(i+1)=y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs((r*y(i)*log(K/y(i)))-25)<0.1&r*y(i-1)*log(K/y(i-1))>r*y(i)*log(K/y(i))
break
end
i=i+1;
end
i=1;
while 1 %Empezamos el bucle de Heun
%Heun
k1=r*z(i)*log(K/z(i));
k2=r*(z(i)+k1*h)*log(K/(z(i)+k1*h));
z(i+1)=z(i)+(h/2)*(k1+k2);
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs((r*z(i)*log(K/z(i)))-25)<0.1&r*z(i-1)*log(K/z(i-1))>r*z(i)*log(K/z(i))
break
end
i=i+1;
end
hold on
plot(t,y,'r'); %Dibujamos nuestra primera gráfica
plot(t,z,'g'); %Dibujamos nuestra segunda gráfica
legend('RK4','Heun','Location','best')
hold off- Análisis de nuestras gráficas :
- Se puede observar la gran aproximación que hay en nuestras dos gráficas obtenidas por los métodos de Runge Kutta de cuarto orden y por Heun.
- Si aumentamos la imágen se puede apreciar mejor cada método
1.7 Tendencia de nuestra cantidad Q cuando el tiempo lim→ ∞
- Realizamos el programa usando un tiempo máximo elegido por nosotros,que sea grande para ver la tendencia de nuestra función (tmáximo 10000)
%Q(t)=K*exp(exp(-r*t)*(log(Q0/K)))
%y por lo tanto el limite valdrá:
t=0:1:10000; %vector t desde 0 hasta 10000
N=length(t); %tamaño del vector t
Q=zeros(1,N); %matriz de una fila y N columnas
r=240*exp(1)/10875; %valor de nuestra tasa intriseca de crecimiento en Gompertz
Q0=0.1; %valor inicial
K=10875; %cantidad maxima extraible
Q(1)=Q0; %primer valor de nuestra matriz Q es Q0
Q=K*exp(exp(-r*t)*(log(Q0/K))); %Definimos nuestra funcion de Gompertz
for i=1:N %empezamos el bucle desde 1 hasta el tamaño del vector t ,(N)
Q(i)=K*exp(exp(-r*t(i))*(log(Q0/K)));%Definimos Gompertz en funcion de cada elemento de t
end %cerramos el bucle
Q(10000) %
plot(t,Q) %dibujamos la curva con tiempo en abcisas y Q en ordenadas
xlabel('tiempo(años)') %titulo al eje x
ylabel('cantidad (tn)') %titulo al eje y- Análisis de nuestra curva:
- 1.La función de Gompertz nos dice que lim→∞P(t)=K
- 2.En nuestro caso la población P(t) es nuestra cantidad Q(t), por ello si realizamos una curva de nuestra cantidad en un periodo de tiempo largo podremos ver que tendecia llevará al aproximarse al infinito.
- 3.Aquí se ve con claridad la tendencia que sigue con nuestro tiempo elegido ya que se observa una línea horizontal bastante precisa, después de un crecimiento en los primeros t(años).
1.8 Función de P(t) durante la vida útil de la población
- 1. Es fácil de ver que Q depende del tiempo y por lo consiguiente, P también depende del tiempo.
- Para hallar su curva representativa realizaremos un programa en el que obtendremos las soluciones de Q(t) con las que podremos obtener los valores de P(t).
- 2. Al ejecutar el programa nos da el punto de máxima producción.
1.9 Cantidad de mineral sin extraer una vez transcurrida la vida útil
- Para obtener la cantidad de mineral sin extraer una vez transcurrida la vida útil utilizaremos el programa que usamos en el apartado 4, en el cual aproximábamos la solución Q(t).
- Basta con obtener el valor de Q cuando transcurre la vida útil de la explotación.
- Como sabemos que la cantidad mineral que se espera extraer es K, simplemente bastará con restar la Q que se ha extraído a la K y obtenemos la cantidad de mineral que queda por extraer.
1.10 Apartado 1.8 y 1.9 con el método logístistico de Verhulst
1.11 Revisión del comportamiento del modelo a los 12 años
- A los doce años de comernzar la explotación se realiza una revisión del modelo. Se comprueba que la cantidad extraída de mineral hasta la fecha es de 2695 toneladas. Además nos indica que la cantidad de mineral que queda por extraer es de 9075 toneladas (K-Q(12)=9075). Por lo que la cantidad total extraible esperada K será K=9075+2695=11770 toneladas.
- Ahora que ya tenemos las nuevas constantes r y K aproximamos la producción mediante el método de Heun. al ejecutar el programa nos dará la máxima producción y cuando se da esta. También saldrá a pantalla el valor de la cantidad mineral que quedará al final de la vida útil.
- Para hallar la tasa intrinseca de creciemiento (r), vamos a crear un bucle en el que iremos dando valores a r para que calcule la cantidad de mineral extraído en 12 años
