Diferencia entre revisiones de «Logística con umbral (Grupo 10-C)»
| Línea 23: | Línea 23: | ||
clear all | clear all | ||
clf | clf | ||
| + | |||
%DATOS DEL PROBLEMA | %DATOS DEL PROBLEMA | ||
t0=0; | t0=0; | ||
| Línea 31: | Línea 32: | ||
M2=100; | M2=100; | ||
r=0.04; | r=0.04; | ||
| + | |||
%Calculamos número de subintervalos | %Calculamos número de subintervalos | ||
N=round((tN-t0)/h); | N=round((tN-t0)/h); | ||
%Definimos la variable independiente | %Definimos la variable independiente | ||
t=t0:h:tN; | t=t0:h:tN; | ||
| + | |||
%Ahora vamos a guardar los valores de la solución aproximada en el | %Ahora vamos a guardar los valores de la solución aproximada en el | ||
%vector y | %vector y | ||
| − | y=zeros(1,N+1); % | + | y=zeros(1,N+1); %Euler |
w=zeros(1,N+1); %Heun | w=zeros(1,N+1); %Heun | ||
z=zeros(1,N+1); %Runge-kutta | z=zeros(1,N+1); %Runge-kutta | ||
| Línea 44: | Línea 47: | ||
z(1)=y0; | z(1)=y0; | ||
for i=1:N | for i=1:N | ||
| − | y(i+1)=y(i)+h*(-r*y(i)*(1-(y(i)/M1))*(1-(y(i)/M2))); % | + | y(i+1)=y(i)+h*(-r*y(i)*(1-(y(i)/M1))*(1-(y(i)/M2))); %Euler |
k1=(-r*w(i)*(1-(w(i)/M1))*(1-(w(i)/M2))); %Heun | k1=(-r*w(i)*(1-(w(i)/M1))*(1-(w(i)/M2))); %Heun | ||
k2=(-r*(w(i)+h*k1)*(1-((w(i)+h*k1)/M1))*(1-((w(i)+h*k1)/M2))); %Heun t(i)+h+w(i)+k1*h | k2=(-r*(w(i)+h*k1)*(1-((w(i)+h*k1)/M1))*(1-((w(i)+h*k1)/M2))); %Heun t(i)+h+w(i)+k1*h | ||
w(i+1)=w(i)+(h/2)*(k1+k2); %Heun | w(i+1)=w(i)+(h/2)*(k1+k2); %Heun | ||
| − | % Runge- | + | % Runge-Kutta |
A1=(-r*z(i)*(1-(z(i)/M1))*(1-(z(i)/M2))); | A1=(-r*z(i)*(1-(z(i)/M1))*(1-(z(i)/M2))); | ||
A2=(-r*(z(i)+1/2*A1*h)*(1-((z(i)+1/2*A1*h)/M1))*(1-(z(i)+1/2*A1*h)/M2)); %z(i)+1/2*A1*h)*(1-(z(i)+1/2*A1*h)) | A2=(-r*(z(i)+1/2*A1*h)*(1-((z(i)+1/2*A1*h)/M1))*(1-(z(i)+1/2*A1*h)/M2)); %z(i)+1/2*A1*h)*(1-(z(i)+1/2*A1*h)) | ||
| Línea 55: | Línea 58: | ||
z(i+1)= z(i)+h/6*(A1+2*A2+2*A3+A4); | z(i+1)= z(i)+h/6*(A1+2*A2+2*A3+A4); | ||
end | end | ||
| + | |||
%Obtenemos la tabla de resultados | %Obtenemos la tabla de resultados | ||
[t',y',w',z'] | [t',y',w',z'] | ||
hold on | hold on | ||
| + | |||
%Gráfico | %Gráfico | ||
plot(t,y,'r') | plot(t,y,'r') | ||
| Línea 67: | Línea 72: | ||
%Máximo error entre métodos | %Máximo error entre métodos | ||
e1=max(abs(y-w)) %Euler y Heun | e1=max(abs(y-w)) %Euler y Heun | ||
| − | e2=max(abs(z-y)) | + | e2=max(abs(z-y)) %Runge-Kutta y Euler |
e3=max(abs(w-z)) %Heun y Runge-Kutta | e3=max(abs(w-z)) %Heun y Runge-Kutta | ||
}} | }} | ||
Revisión del 11:51 5 mar 2015
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Logística con umbral (Grupo 10-C) |
| Asignatura | Ecuaciones Diferenciales |
| Curso | Curso 2014-15 |
| Autores |
Íñigo Díez García (1051) Pablo Molinero Brito (1172) Diego Navarro Gozalo (1049) Dariusz Adam Pabian (1187) Javier Santander Gimeno (1223) Pablo Vázquez Melgarejo (1090) |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
1 Introducción
2 Problema de valor inicial
Nos encontramos con el siguiente problema de valor inicial. Empezamos por resolverlo con los métodos de Euler, Heun y Runge-Kutta de orden 4. Los datos proporcionados son los siguientes: el intervalo I=[0,100], el salto de paso es h=1, h=0.1, h=0.01 (con ello vamos a ver cómo cambia la precisión de la solución en función de los pasos de salto escogidos), y las constantes r, M1, M2, cuyos valores son 0.04, 30 y 100, respectivamente. El valor inicial de la función y es igual a 60.
%Modelo logístico ejercicio 8
%Euler
clear all
clf
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0;
tN=100;
y0=60;
h=input('introduce numero de paso: ');
M1=30;
M2=100;
r=0.04;
%Calculamos número de subintervalos
N=round((tN-t0)/h);
%Definimos la variable independiente
t=t0:h:tN;
%Ahora vamos a guardar los valores de la solución aproximada en el
%vector y
y=zeros(1,N+1); %Euler
w=zeros(1,N+1); %Heun
z=zeros(1,N+1); %Runge-kutta
y(1)=y0;
w(1)=y0;
z(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(-r*y(i)*(1-(y(i)/M1))*(1-(y(i)/M2))); %Euler
k1=(-r*w(i)*(1-(w(i)/M1))*(1-(w(i)/M2))); %Heun
k2=(-r*(w(i)+h*k1)*(1-((w(i)+h*k1)/M1))*(1-((w(i)+h*k1)/M2))); %Heun t(i)+h+w(i)+k1*h
w(i+1)=w(i)+(h/2)*(k1+k2); %Heun
% Runge-Kutta
A1=(-r*z(i)*(1-(z(i)/M1))*(1-(z(i)/M2)));
A2=(-r*(z(i)+1/2*A1*h)*(1-((z(i)+1/2*A1*h)/M1))*(1-(z(i)+1/2*A1*h)/M2)); %z(i)+1/2*A1*h)*(1-(z(i)+1/2*A1*h))
A3=(-r*(z(i)+1/2*A2*h)*(1-((z(i)+1/2*A2*h)/M1))*(1-(z(i)+1/2*A2*h)/M2));
A4=(-r*(z(i)+A3*h)*(1-((z(i)+A3*h)/M1))*(1-(z(i)+A3*h)/M2));
z(i+1)= z(i)+h/6*(A1+2*A2+2*A3+A4);
end
%Obtenemos la tabla de resultados
[t',y',w',z']
hold on
%Gráfico
plot(t,y,'r')
plot(t,w,'g')
plot(t,z)
legend('Euler','Heun','Runge-Kutta','Location','best'); % lo último es para que la leyenda
hold off
%Máximo error entre métodos
e1=max(abs(y-w)) %Euler y Heun
e2=max(abs(z-y)) %Runge-Kutta y Euler
e3=max(abs(w-z)) %Heun y Runge-Kutta
3 Interpretación numérica
Se observa que los tres métodos empleados en la resolución del sistema se aproximan entre sí, cuanto más se disminuye el número de salto de paso. Todos los métodos se consideran correctos, porque proporcionan información precisa de la solución. Para mejor visualización e compresión del ejercicio, presentamos tres gráficas. En cada una de ellas, aparecen las tres soluciones (cada una de ellas corresponde a un método). La primera gráfica corresponde a un salto de paso h=1; la segunda a un h=0.1, y la tercera a un h=0.01.
Vemos que
