Diferencia entre revisiones de «T4. Modelos Epidemiológicos»

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En este segundo caso necesitamos también el valor del parametro <math>a=0.003</math>.
 
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Revisión del 17:15 4 mar 2015

Trabajo realizado por estudiantes
Título Modelos Epidemiológicos, desarrollo de una epidemia. Grupo 28
Asignatura Ecuaciones Diferenciales
Curso Curso 2014-15
Autores Luis Doreste Henríquez 127
Luis López Díaz
Enrique Martínez Mur 271
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura


1 Interpretación de los diferentes parámetros

En el desarrollo de la epidemia encontramos dos tipos distintos de población que influyen a la evolución de la misma y que se rigen por las siguientes ecuaciones:

[math]\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}=-aSI [/math]
[math]\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} T}=aSI-bI-cI [/math]

Identificando primero las variables y luego los parámetros diferenciamos:

  • T: tiempo
  • S: población que puede ser infectada por la enfermedad. Parámetro en función del tiempo.
  • I: población infectada por la enfermedad. Parámetro en función del tiempo.
  • a: interacción entre el número de individuos infectados y no infectados.
  • b: fallecimientos a causa de la enfermedad.
  • c: población que consigue recuperarse de la enfermedad.

Además, en el desarrollo de la epidemia consideraremos que la tasa de cambio depende tanto de los fallecimientos como de la población curada y que la tasa de población susceptible a ser infectada es proporcional a la interacción entre ambas poblaciones.

Si queremos entender las ecuaciones por las que se rige nuestra epidemia:

[math]\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}=-aSI [/math]

Representa la exposición a la que se encuentra la población frente a la epidemia, es decir, la variación de la población susceptible a ser infectada, [math]S[/math], a causa de la interacción directa de ésta con la población ya infectada, [math]I[/math], en función del paramtro [math]a[/math] antes descrito. Así observamos que es una función no lineal (producto de las variables [math]S[/math] y [math]I[/math]) y decreciente en el tiempo.

[math]\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} T}=aSI-bI-cI [/math]

En este caso se representa la variación de la población infectada con un primer término similar a la primera ecuación pero de signo contrario lo que significa que este término hace crecer el número de infectados por la epidemia y otro posterior ya únicamente dependiente de la población infectada, [math]I[/math], que esta acompañado por [math]-(b+c)[/math] que representas las muertes y curas a causa de la enfermedad.


2 Método de Euler y Trapecio

Consideramos que los parámetros del problema en el desarrollo de los metodos de Euler y del Trapecio son [math]I0 = 2000[/math], [math]b = 0.3[/math] y [math]c = 0.01[/math] y lo resolveremos en ambos casos para una discretización [math]h = 0.1[/math]

2.1 S=0

2.2 S=100

En este segundo caso necesitamos también el valor del parametro [math]a=0.003[/math].

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