Revisión del 14:06 4 mar 2015

1 Introducción

• La idea principal se basa en el modelo de Gompertz ,el cual muestra las tasas de crecimiento en un periodo de tiempo y su disminución de forma exponencial con el paso del mismo.Aplicado a nuestro caso se trata de una explotación de un yacimiento mineral, en un principio se decide explotar por su posible rentabilidad,el cual en un periodo de tiempo dado -25 años- será durante el cual se extrae la cantidad mayor de mineral y a partir de dicho tiempo,empecerá a descender esta producción, las causas son ajenas a nuestro estudio, pero seguramente ya no exista el mismo rendimiento.
  
• Con lo cual nuestro problema muestra una ecuación diferencial que sigue esta forma:
  

[math] \frac{dQ}{dt}=rQlog(\frac{K}{Q}) [/math]

1.1 Relación de cantidad y produccion

[math] P(Q) = \frac{dQ}{dt}=rQlog(\frac{K}{Q}) [/math]

• 1.Necesitamos saber para que valor Q alcanza el máximo, para ello derivamos nuestra función respecto a Q :

• 2. Y así obtendremos nuestra tasa intrínseca de crecimiento(r) para nuestra función Gompertz :

• 3. Tenemos en cuenta que nuestra producción máxima son 240 toneladas/año, entonces :

1.2 Relación de la producción y el volumen de toneladas extraídas modelo de Gompertz

• Realizamos el programa teniendo en cuenta nuestra tasa intrínseca de crecimiento anteriormente hallada:

r=240*exp(1)/10785;           %tasa intrínseca de crecimiento
k=10875;                      %la cantidad total (toneladas) extraible
Q=0:1:10875;                  %vector con la cantidad de toneladas desde 0 hasta el maximo que se extraen
N=length(Q);                  %Tamaño vector Q
P=zeros(1,N);                 %vector de ceros deuna fila y N columnas
for i=1:N                     %realizo el bucle 
    P(i)=r*Q(i)*log(k/Q(i));  %Defino la funcion P(Q) 
end 
plot(Q,P)                     %Dibujo mi grafica como una curva con Q(abcisas) y P(ordenadas)
xlabel('cantidad (tn)')       %añado un pequeño titulo a mi Q y P
ylabel('produccion (tn/año)')

• Análisis de nuestra curva:

1.Como se puede apreciar,nuestra función realiza una curva que transcurre desde 0 hasta la cantidad máxima de toneladas que se pueden extraer.

2.Además;la curva que describre nuestra función alcanza su máximo relativo en 240 toneladas por año, que es la producción máxima de nuestra función.

1.3 Relación de la producción y el volumen de toneladas extraídas modelo de Verhulst

• Realizamos nuestro programa con nuestra nueva función y tasa intrínseca de crecimiento para el modelo de Verhulst :

[math] Q'=rQ(1-\frac{Q}{k}) [/math]

r1=240*exp(1)/10875;           %Tasa intrinseca de creciemiento modelo de Gompertz
r2=(240*4)/10875;              %Tasa intrinseca de creciemiento modelo de Verhulst
K=10875;                       %Cantidad maxima de toneladas extraibles
Q=0:1:10875;                   %Vector con la cantidad en toneladas desde 0 hasta K
N=length(Q);                   %Tamaño de nuestro vector Q
for i=1:N                      %Realizamos un bucle desde uno hasta el numero de elementos(N) de nuestro vector Q
    PG(i)=r1*Q(i)*log(K/Q(i)); %Gompertz
    PV(i)=r2*Q(i)*(1-Q(i)/K);  %Verhulst
end                            %cerramos el bucle
subplot(1,3,1)
plot(Q,PG)                     %Dibujamos una curva en nuestro eje x(Q)y nuestro eje y(funcion de Gompertz)
xlabel('cantidad')             %añadimos titulo a las abcisas
ylabel('produccion')           %añadimos titulo a las ordenadas
subplot(1,3,2)
plot(Q,PV,'g')                 %dibujamos nuestra curva con eje x(Q) y eje y(funcion del modelo de Verhulst)
xlabel('cantidad (tn)')        %añadimos titulo a las abcisas d 
ylabel('produccion (tn/año)')  %añadimos titulo a las ordenadas
subplot(1,3,3)
plot(Q,PG)                     %Dibujamos una curva en nuestro eje x(Q)y nuestro eje y(funcion de Gompertz)
xlabel('cantidad')             %añadimos titulo a las abcisas
ylabel('produccion')           %añadimos titulo a las ordenadas
hold on                        %sobre nuestra curva anterior le superponemos la siguiente
plot(Q,PV,'g')                 %dibujamos nuestra curva con eje x(Q) y eje y(funcion del modelo de Verhulst)
xlabel('cantidad (tn)')        %añadimos titulo a las abcisas d 
ylabel('produccion (tn/año)')  %añadimos titulo a las ordenadas
legend('Modelo Gompertz','Modelo Verhulst','Location','best') 
hold off

• Análisis de nuestras gráficas :
• 1.En la primera subventana aparece la curva del modelo de Gompertz explicada en el apartado anterior
• 2.En la segunda subventana aparece la curva del modelo de Verhulst , de acuerdo con este podemos decir que ajusta bastante bien cuando está alejado del momento inicial
• 3.

1.4 Utilización del método de Euler,RK4 y Heun

• Previo

Euler es un método de aproximación de problemas de valor inicial,obtendremos la solución aproximación de soluciones en un intervalo definido.Si nuestra h es pequeña la aproximación será mejor, ya que la acumulación de errores en cada solución será menor.

1.5 Tendencia de nuestra cantidad Q cuando el tiempo lim→ ∞