Revisión del 12:53 4 mar 2015

1 Introducción

Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos reactivos A y B, que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C,

                                                                    A + B → C

Supondremos también que se satisface la ley de acción de masas, que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

2 Concentración del reactivo C a lo largo del tiempo

En primer lugar, suponiendo que la reacción es irreversible, es decir, que C no puede volver a formar A y B, se puede expresar la situación mediante el siguiente problema de valor inicial: {█(y^' (t)=k_1 (a_0-y(t) )(b_0-y(t) )@y(0)=0)┤ , t>0

y'(t) = k₁(a₀ − y(t))(b₀ − y(t)), t > 0

2.1 Concentración del reactivo C a lo largo del tiempo en un proceso reversible

3 Método de Euler

4 Método del trapecio

5 Método de Runge-Kutta

6 Reacción consecutiva

Consideramos la reacción A + B → k₁C → k₂D

Para resolverla creamos el sistema siguiente:

[math]y'\ltsub\gt1\lt/sub\gt(t)=k\ltsub\gt1\lt/sub\gt(a\ltsub\gt0\lt/sub\gt − y\ltsub\gt1\lt/sub\gt(t))(b\ltsub\gt0\lt/sub\gt − y\ltsub\gt1\lt/sub\gt(t))[/math]

[math]y'\ltsub\gt2\lt/sub\gt(t)=k\ltsub\gt2\lt/sub\gty\ltsub\gt1\lt/sub\gt(t)[/math]

[math]y\ltsub\gt1\lt/sub\gt(0)=0, y\ltsub\gt2\lt/sub\gt(0)=0[/math]

6.1 La reacción D es más rápida que la reacción C

Tomamos como k1=5, y k2=1; de esta manera la segunda reacción es mucho mas rapido. El tamaño de paso introducido es de h=0.01. Creamos el siguiente código de MatLAB, utilizando los métodos de Euler y de Runge-Kutta:

% apartado 7
clear all
%datos
h=input('Introducir tamaño de paso');
y0=[0;0];
z0=[0;0];
t0=0;
tN=10;

%Definimos la variable independiente t
t=t0:h:tN;

%Creamos la matriz de las soluciones para el método de Euler
y=zeros(2,length(t)); 
y(:,1)=y0;

%Creamos la matriz de las soluciones para el método de Runge-Kutta
z=zeros(2,length(t)); 
z(:,1)=y0;

for i=1:length(t)-1
 %euler
 y(:,i+1)=y(:,i)+h*[1*(3-y(1,i))*(1-y(1,i)); 5*(y(1,i)-y(2,i))];
 %runge-kutta
 K1=[1*(3-z(1,i))*(1-z(1,i)); 5*(z(1,i)-z(2,i))];
 K2=[1*(3-(z(1,i)+h/2*K1(1)))*(1-(z(1,i)+h/2*K1(1))); 5*((y(1,i)+h/2*K1(2))-(y(2,i)+h/2*K1(2)))];
 K3=[1*(3-(z(1,i)+h/2*K2(1)))*(1-(z(1,i)+h/2*K2(1))); 5*((y(1,i)+h/2*K2(2))-(y(2,i)+h/2*K2(2)))];
 K4=[1*(3-(z(1,i)+h*K3(1)))*(1-(z(1,i)+h*K3(1))); 5*((y(1,i)+h*K3(2))-(y(2,i)+h*K3(2)))];
 z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end


figure(1)
hold on
plot(t,y(1,:)) %Concentración de C por Euler
plot(t,y(2,:),'r') %Concentración de D por Euler
plot(t,z(1,:),'k') %Concentración de C por Runge-kutta
plot(t,z(2,:),'g') %Concentración de D por Runge-kutta
legend('Concentración de C por Euler','Concentración de D por Euler','Concentración de C por Runge-Kutta','Concentración de D por Runge-Kutta','Location','best')
hold off

Aplicando un paso de 0.01, la grafica de las reacciones queda de la siguiente forma:

Reacción compleja

¿Se puede usar el paso h = 0.3? Si usamos un 0.3, de tamaño de paso, podemos observar incongruencias, esto es debido a que la aproximacion no es buena, da valores cada 0.3, por lo que produce un gran error. Usa como ordenada, el punto perteneciente a la recta tangente del anterior punto,por lo que la diferencia entre la ordenada real y la aproximada es notable.

No es recomendable entonces emplear un tamaño de paso tan amplio.

Reacción compleja

∂f/∂y=k_1 (〖-a〗_0 〖-b〗_0+2y)

6.2 La reacción D es más lenta que la reacción C