Diferencia entre revisiones de «Reacciones con autocatálisis. Grupo C2»
De MateWiki
(→Interpretación) |
|||
| Línea 13: | Línea 13: | ||
== Primera reacción == | == Primera reacción == | ||
=== Interpretación === | === Interpretación === | ||
| + | Por la ley de conservación de masas por la cual x(t) + y(t) = cte ; y x´(t) + y´(t) = 0. | ||
| + | Y la lay de acción de masas | ||
| + | |||
=== Ecuación diferencial === | === Ecuación diferencial === | ||
==== Método de Euler ==== | ==== Método de Euler ==== | ||
Revisión del 12:40 26 feb 2015
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Reacciones con autocatálisis. Grupo C2 |
| Asignatura | Ecuaciones Diferenciales |
| Curso | Curso 2014-15 |
| Autores | Ana Martínez Lorente, Natalia Opie Dávila, Javier Parras Martínez, Alfredo Pazos Arjona, Antonio Perez Mata, Javier Siguero Ginés |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
1 Introducción
Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C, [math] A + B \rightarrow C [/math] Supondremos también que se satisface la ley de acción de masas, que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos. En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero suponiendo que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este proceso como una reacción bimolecular [math] A + B \rightarrow _k1 2B [/math]
2 Primera reacción
2.1 Interpretación
Por la ley de conservación de masas por la cual x(t) + y(t) = cte ; y x´(t) + y´(t) = 0. Y la lay de acción de masas
2.2 Ecuación diferencial
2.2.1 Método de Euler
%Datos:
%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)
%-----------------------------------------------------------------------
k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Definimos la función, para aplicarla a continuación en el Método de Euler.
F=inline('y*(1.01-y)','t','y');
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for i=1:length(t)-1
y(i+1)=y(i)+h*F(t(i),y(i)); %Euler.
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
2.2.2 Método del Trapecio
%Datos:
%Concentración A: 0.1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)
%-----------------------------------------------------------------------
k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; c=1.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con el Método del Trapecio.
for i=1:length(t)-1
%Trapecio:
y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
2.2.3 Método de Runge-Kutta
%Datos:
%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)
%-----------------------------------------------------------------------
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Definimos la función, para aplicarla a continuación en el Método de
%Runge-Kutta.
F=inline('1*y*(1.01-y)','t','y');
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:length(t)-1
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1=F(t(k),y(k));
K2=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1/2);
K3=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2/2);
K4=F(t(k)+h,y(k)+K3*h);
y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
2.3 Sistema de ecuaciones
2.3.1 Método de Euler
2.3.2 Método de Runge-Kutta
2.4 Conclusión
3 Segunda reacción
3.1 Interpretación
Vamos a resolver el problema de valor inicial \begin{array}{c} x' = 0.1Ax − 0.1xy\\ y' = 0.1xy − 0.05y\\B' = 0.05y \end{array}\
3.2 Método de Euler
%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=input('Introduzca un valor para h:');
%Vector de tiempo
t=t0:h:tN;
%Definir el número de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%Vectores vacíos para nuestra solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);
%Valores iniciales
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;
%Resolvemos el sistema
for i=1:N
X(i+1)=X(i)+h.*(k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i));
Y(i+1)=Y(i)+h.*(k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*Y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*X(i).*A(i));
end
%Gráfica de resultados
hold on
plot(t,X)
plot(t,Y,'g')
plot(t,B,'r')
plot(t,A,'y')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
3.3 Método de Heun
%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;
%Vector de tiempo
t=t0:h:tN;
%Definir el número de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%Vectores vacíos para nuestra solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);
%Valores iniciales
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;
%Definimos las constantes
for i=1:N
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K1B=k3.*Y(i);
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);
X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end
%Gráficas
hold on
plot(t,X);
plot(t,Y,'g');
plot(t,B,'r');
plot(t,A,'y');
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
