Diferencia entre revisiones de «Campos en Elasticidad»
(→Cálculo del rotacional de un campo vectorial) |
(→Divergencia de un campo) |
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| Línea 149: | Línea 149: | ||
Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>: <math>\vec u(u,v)=\vec a(\vec b\cdot\vec r_{o})</math> | Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>: <math>\vec u(u,v)=\vec a(\vec b\cdot\vec r_{o})</math> | ||
===Divergencia de un campo=== | ===Divergencia de un campo=== | ||
| + | |||
La divergencia de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> se halla por la expresión: | La divergencia de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> se halla por la expresión: | ||
{{ecuación| | {{ecuación| | ||
| Línea 159: | Línea 160: | ||
Por su parte, el campo <math>\vec{u}</math> , en este caso está definido por la expresión: | Por su parte, el campo <math>\vec{u}</math> , en este caso está definido por la expresión: | ||
| − | <math> \vec {u}(u,v)= \vec{a} (\vec{b} | + | <math> \vec {u}(u,v)= \vec{a} (\mathbf{\vec{b}}\cdot\mathbf{r_{0}})</math> |
Donde | Donde | ||
Revisión del 01:49 5 dic 2014
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 16-A |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2014-15 |
| Autores | Araceli Martín, Juan Carlos Durán, Francisco Javier Alcaraz, Álvaro Llera, Clara Callejo, Manuel |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Para este análisis y representación de campos escalares en elasticidad nos situaremos en el contexto de una placa plana que ocupa la región comprendida entre las parábolas :
- [math]P1: 18y -81x^{2}-1=0 [/math]
- [math]P2: 2y +x^{2}-1=0 [/math]
Para representar la placa se utilizará un sistema de coordenadas curvilíneas tal que:
- [math]x=uv[/math]
- [math] y = \dfrac{1}{2}(u^2-v^2)[/math]
En nuestro análisis, el dominio de [math]u[/math] y [math]v[/math] comprenderá:: [math](u,v) \in [1/3,1]*[-1,1][/math]
Contenido
1 º Representación de la placa
1.1 Representación del mallado del sólido
Comenzaremos con la representación de la placa mediante un mallado, utilizando, en el código, la conversión a coordenadas curvilíneas de [math]u[/math] y [math]v[/math]. El intervalo en el que representaremos comprende::
[math](x,y) \in [-1,1]*[-1,1][/math]
Para discretizar los vectores [math]u[/math] y [math]v[/math] utilizaremos un paso [math] h = \dfrac{1}{20}[/math].
Código en Matlab:
h=1/20; % Paso de muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de datos.
xx=uu.*vv ; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
plot(xx,yy); % Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
Los resultados de la representación se ven en la imagen:
1.2 Líneas coordenadas
Cuando se hace uso de cambio de coordenadas a ciertas coordenadas curvilíneas, es útil para el entendimiento de la transformación la representación de las Líneas Coordenadas. Las líneas coordenadas son aquellas que se obtienen variando una de las coordenadas de la transformación ([math]u[/math] o [math]v[/math]) y manteniendo fija la restante. En este estudio hemos representado varias líneas coordenadas a base de dar un valor concreto a [math]u[/math] o a [math]v[/math], dentro de sus respectivos intervalos, y representar la gráfica que queda en función de variar la otra variable.
xx11=uu.*0.5 ; % -----------------------------------------------Parametrización X.
yy11=(1/2).*((uu.^2)-(0.5.^2)); % ----------------------------------------------Parametrización Y.
xx12=uu.*-0.5 ; % -----------------------------------------------Parametrización X.
yy12=(1/2).*((uu.^2)-((-0.5).^2)); % ----------------------------------------------Parametrización Y.
xx13=uu.*1 ; % -----------------------------------------------Parametrización X.
yy13=(1/2).*((uu.^2)-(1.^2)); % ----------------------------------------------Parametrización Y.
xx14=uu.*-1 ; % -----------------------------------------------Parametrización X.
yy14=(1/2).*((uu.^2)-((-1).^2)); % ----------------------------------------------Parametrización Y.
xx15=uu.*0.75 ; % -----------------------------------------------Parametrización X.
yy15=(1/2).*((uu.^2)-(0.75.^2)); % ----------------------------------------------Parametrización Y.
xx16=uu.*-0.75 ; % -----------------------------------------------Parametrización X.
yy16=(1/2).*((uu.^2)-((-0.75).^2)); % ----------------------------------------------Parametrización Y.
xx17=uu.*0 ; % -----------------------------------------------Parametrización X.
yy17=(1/2).*((uu.^2)-(0.^2)); % ----------------------------------------------Parametrización Y.
1.3 Base Natural
Cuando se realiza una transformación a coordenadas curvilíneas (de [math]x[/math] e [math]y[/math] a [math]u[/math] y [math]v[/math]), el vector de posición [math] \vec{r_0}[/math] se expresa como:
[math] \vec{r_0}=x\hat{e_1} +y \hat{e_2} =uv\hat{e_1} +\dfrac{1}{2}(u^2-v^2) \hat{e_2} [/math]
La base natural [math]\vec{g_u}, \vec{g_v}[/math] es la que tiene por vectores el resultado de derivar el vector posición [math] \vec{r_0}[/math] según las nuevas coordenadas [math]u[/math] y [math]v[/math]. Dado que es un problema sobre una placa plana, estamos en una situación de dos dimensiones en la que para cualquier base, sólo se requieren dos vectores, ([math]\vec{g_u}, \vec{g_v}[/math]). No obstante, para cuestiones que trataremos posteriormente será necesario considerar una tercera coordenada (por ejemplo, para el cálculo del rotacional), por ello, incluiremos en nuestra base natural el vector [math]\vec{g_w}[/math].
- [math] \vec{g_u}=v\hat{e_1} +u \hat{e_2}[/math]
- [math] \vec{g_v}=u\hat{e_1} -v \hat{e_2}[/math]
El código de Matlab utilizado para hallar los vectores [math]\vec{g_u}, \vec{g_v}[/math] es :
subplot(3,3,4); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado completo.
quiver(xx,yy,vv,uu); % Representación del primer vector de la base natural en cada punto.
quiver(xx,yy,uu,-vv); % Representación del segundo vector de la base natural en cada punto.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
hold off % Fin superposición de gráficos.
La imagen que se obtiene con este código es:
Resulta coherente porque los vectores dibujados son tangentes a las líneas coordenadas (Recordamos que [math]\vec{g_u}[/math] y [math]\vec{g_v}[/math] se obtienen al derivar el vector de posición [math] \vec{r_0}[/math] con respecto a [math]u[/math] y [math]v[/math]).
2 º Acción de la temperatura en la placa
2.1 Influencia de un foco de calor
La temperatura proviene de un foco de calor dada por el campo escalar [math]T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2} [/math]
f=(8-yy.^2+yy.*2).*exp(-(xx.^2)); % Función Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1ª Imagen.
contour(xx,yy,f,20); % Define 20 líneas de nivel.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2ª Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización de superficie en 3D más leyenda en color.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
max(max(f)) % Valor máximo de la temperatura en toda la región
2.2 Gradiente de T y curvas de nivel
El gradiente de una función escalar expresa la dirección en la cual el campo crece más rápido. Por otra parte,las curvas de nivel expresan los puntos que se encuentran a la misma altura, en nuestro caso, aquellos que tienen la misma temperatura. Por tanto, si tenemos dos curvas de nivel y estamos en un punto de la menor, el gradiente será el vector de mínima distancia a la otra curva de nivel, siendo por tanto perpendicular a ambas. [math]\nabla T(x,y)= \frac{\partial T}{\partial x} \hat{e_1}+\frac{\partial T}{\partial y}\hat{e_2}=[-2xe^{-x^2}(8-y^2+2y)]\hat{e_1}+[(-2y+2)e^{-x^2}]\hat{e_2}[/math]
h=1/20; % Paso de muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*vv ; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
f=(8-yy.^2+yy.*2).*exp(-(xx.^2)); % Función Temperatura.
fx =(-2.*xx).*(exp(-(xx.^2))).*(8-yy.^2+2.*yy); % Derivada con respecto a x de la función Temperatura.
fy=(exp(-(xx.^2))).*(-2.*yy+2); % Derivada con respecto a y de la función Temperatura.
hold on % Fin superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,fx,fy) % Representación de los vectores gradiente.
contour(xx,yy,f,20);colorbar; % Visualización de superficie en 3D más leyenda en color.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
hold off % Fin superposición de gráficos.
3 Acción de una fuerza sobre sólido
3.1 Campo de desplazamientos
Una fuerza determinada aplicada sobre nuestro sólido ha provocado un desplazamiento del mismo que viene dado por [math] \vec{u}(x,y) [/math] . Este vector será [math]\vec u(u,v)=\vec a(\vec b\cdot\vec r_{o})[/math] siendo :: [math] \vec{a}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}=\frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad \vec{b}=-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}=-4\frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}[/math].
Como hemos hallado anteriormente [math]\vec{g_u}=v \vec{e_1} +u \vec{e_2} [/math]. Tomaremos:: [math]\vec{r_o}= x\vec {e_1}+y\vec {e_2}= uv\vec {e_1}+ \frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec {e_2}[/math].
Con todo esto: [math]\vec{u}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}(-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|} \vec{r_o})= \frac{\vec{g_u}}{|\vec{g_u}|^2}(-4 \vec{g_u}\cdot\vec{r_o})=\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2} \vec{g_u}=\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v \vec{e_1} +u \vec{e_2})[/math] La representación del campo de desplazamiento [math]\vec{u}[/math] será la siguiente:
Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante [math]t_{0}[/math] debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector [math]\vec u[/math]: [math]\vec u(u,v)=\vec a(\vec b\cdot\vec r_{o})[/math]
3.2 Divergencia de un campo
La divergencia de un campo vectorial [math]\vec{u}[/math] se halla por la expresión: La ecuación del calor fue propuesta por Fourier en 1807, pero no sería hasta 1822 cuando la academia decidió publicarla. Esta ecuación es un modelo matemático que describe la evolución de la temperatura en un cuerpo sólido en función del tiempo y del espacio. En matemáticas representa una ecuación parabólica, dada por una ecuación en derivadas parciales lineales de segundo orden y de coeficientes constantes:
donde a=-1; e=1; b=c=d=f=0. Consideramos una varilla de longitud L de un cierto material, de grosor constante. Está orientada en la dirección del eje x, desde x=0 a x=L. La varilla es conductora de calor,por lo que entre dos zonas de ella a diferente temperatura hay un intercambio de energía térmica en forma de calor. En nuestro caso, consideramos una varilla delgada de longitud L=3, y cuyos extremos est�an colocados sobre objetos que mantienen una temperatura constante de 0 y 10 grados respectivamente. Inicialmente la temperatura de la varilla viene dada por u 0 ( x ) = 10 x= 3 salvo en su tercio central donde la temperatura ha subido hasta los 100 grados. Se Suponemos que la varilla es delgada y tiene su superficie lateral aislada t ́ermicamente. Podemos entonces pensar que todas las cantidades t ́ermicas son constantes a los largo de cada secci ́on transversal, y ver la varilla como un objeto unidimensional. La energ ́ıa t ́ermica de la varilla va a depender entonces de x ∈ [0 , L ] y t . Designamos por u ( x, t ) la temperatura de la secci ́on de la varilla que dista x ≥ 0 del extremos x = 0 cuando ha pasado un tiempo t ≥ 0. Tomemos un trozo de varilla entre las secciones x y x + ∆ x , que des- ignaremos por [ x, x + ∆ x ]. Pensamos en ∆ x , que mide la anchura del trozo de varilla, como una cantidad muy peque ̃na. Vamos a ver la cantidad de energ ́ıa t ́ermica que hay en el trozo de la varilla [ x, x + ∆ x ]
La divergencia controla la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial (sobre la superficie que rodea a un volumen de control), con lo cual, si la divergencia es positiva, el campo tiene "fuentes" , y tiene "sumideros" si la divergencia es negativa.
Por su parte, el campo [math]\vec{u}[/math] , en este caso está definido por la expresión:
[math] \vec {u}(u,v)= \vec{a} (\mathbf{\vec{b}}\cdot\mathbf{r_{0}})[/math]
Donde
- [math] \vec{a}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}[/math]
- [math] \vec{b}=-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}[/math].
- [math] \vec{r_0}=x\hat{e_1} +y \hat{e_2} =uv\hat{e_1} +\dfrac{1}{2}(u^2-v^2) \hat{e_2} [/math]
Dado que [math]{|\vec{g_u}|}=\sqrt{u^2+v^2}[/math],
- [math] \vec{a}= \frac{v\hat{e_1} +u \hat{e_2}}{\sqrt{u^2+v^2}}[/math]
- [math] \vec{b}= -4\frac{v\hat{e_1} +u \hat{e_2}}{\sqrt{u^2+v^2}}[/math]
Operando, la expresión del campo de desplazamientos [math]\vec{u}[/math] queda:
[math]\vec{u}=\frac{-4uv^2 -2u(u^2-v^2)}{ u^2+v^2 }(v\hat{e_1} +u \hat{e_2})[/math]
En el cálculo de la divergencia necesito las componentes contravariantes [math]u^u,u^v,u^w[/math] del campo. Éstas se calculan por la expresión:
[math]u^i=\mathbf{\vec{u}}\cdot\mathbf{g^i}[/math]
Recordando que [math]{g^i}[/math] son las componentes contravariantes de la base natural [math]\{g_u , g_v\}=\{ v\hat{e_1} +u \hat{e_2} ; u\hat{e_1} -v \hat{e_2}\}[/math], éstas se hallan a partir de:
[math]{g^i}=G^{ij}g_j[/math]
siendo [math]G^{ij}[/math] la matriz inversa de la matriz de Gram de la base natural [math]G_{ij}[/math]:
[math]G_{ij}=\begin{bmatrix} g_{u}g_{u} & g_{v}g_{u} \\ g_{v}g_{u} & g_{v}g_{v}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} u^2+v^2 & 0 \\ 0 & u^2+v^2\end{bmatrix}[/math]
[math]G^{ij}=G^{-1}_{ij}[/math]
Operando la anterior expresión se calculan las [math]g^{i}[/math]:
- [math]g^{u}=\frac{1}{ u^2+v^2 }(v\hat{e_1} +u \hat{e_2}) [/math]
- [math]g^{u}=\frac{1}{ u^2+v^2 }(u\hat{e_1} -v \hat{e_2}) [/math]
De esta manera, las componentes contravariantes del campo quedan:
- [math]u^u=-4uv^2 -2u(u^2-v^2)[/math]
- [math]u^v=0[/math]
Y ya se pueden sustituir todos los términos en la expresión de la divergencia. El resultado final es:
[math]\nabla\cdot\vec u = -2\frac{3u^2+v^2}{u^2+v^2}[/math]
Dado que el resultado es negativo se puede concluir que existen sumideros en el flujo que atraviesa el campo vectorial [math]\vec{u}[/math]. Ésa es la expresión que se utilizará en el código de Matlab.
3.3 Cálculo del rotacional de un campo vectorial
La expresión del rotacional de un campo vectorial [math]\vec{u}[/math] se halla por la siguiente expresión: [math]\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_{u} &u_{v}&u_{w}\end{bmatrix}[/math]
De nuevo necesitaremos definir una tercera componente [math]\vec{g_w}[/math] para el cálculo de ese determinante :
- [math] \vec{g_u}=v\hat{e_1} +u \hat{e_2}[/math]
- [math] \vec{g_v}=u\hat{e_1} -v \hat{e_2}[/math]
- [math] \vec{g_w}=\hat{e_3}[/math] (suponiendo una tercera componente en la transformación: [math] z=w[/math] ).
El término [math]g[/math] es el determinante de la matriz de Gram [math]G[/math]de la base natural:
[math]G=\begin{bmatrix} g_{u}g_{u} & g_{v}g_{u} & g_{w}g_{u} \\ g_{v}g_{u} & g_{v}g_{v} & g_{v}g_{w} \\ g_{w}g_{u} &g_{w}g_{v}&g_{w}g_{w}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} u^2+v^2 & 0 & 0 \\ 0 & u^2+v^2 & 0 \\ 0 &0&1\end{bmatrix}[/math]
De modo que [math]g=(u^2+v^2)^2[/math]
Por su parte, el campo [math]\vec{u}[/math] había quedado definido por la expresión:
[math] \vec {u}(u,v)= \vec{a} (\vec{b} \vec{r_o})=\frac{-4uv^2 -2u(u^2-v^2)}{ u^2+v^2 }(v\hat{e_1} +u \hat{e_2})[/math]
Volviendo al Rotacional, necesitamos, por último hallar las componentes covariantes [math]u_{u},u_{v},u_{w}[/math] del campo. Éstas se calculan por la expresión:
[math]u_{i}=\mathbf{\vec{u}}\cdot\mathbf{g_{i}}[/math]
De esta manera:
- [math]u_{u}=-4uv^2 -2u(u^2-v^2)[/math]
- [math]u_{v}=0[/math]
- [math]u_{w}=0[/math]
Y ahora se tienen todos los términos para sustituir en la expresión del rotacional:
[math]\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} v\hat{e_1} +u \hat{e_2} & u\hat{e_1} -v \hat{e_2} & \hat{e_3} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -4uv^2 -2u(u^2-v^2) &0&0\end{bmatrix}=0[/math]
Dado que el el valor de [math]\nabla \times\vec{u}=0[/math] no hay nada que representar ni hallar numéricamente. Él significado físico de esta situación se traduce en que el campo vectorial [math]\vec{u}[/math] no tiene tendencia a rotar sobre ningún punto.
4 Tensiones sobre la placa
4.1 Tensor de tensiones
4.2 Tensión de Von Mises
5 Masa de la placa
N1=200; N2=200; % Número de puntos.
a=1/3; b=1; c=-1; d=1; % Extremos de los intervalos.
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2; % Pasos.
u=a:h1:b; v=c:h2:d; % Intervalos.
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
d=(xx.*yy).*(exp(-1./(xx.^2))); % Función Densidad.
D=abs(d); % Función Densidad en valor absoluto.
w1=ones(N1+1,1); % Matriz de N1+1 elementos unidad.
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2; % Primer y último de la matriz w.
w2=ones(N2+1,1); % Matriz de N2+1 elementos unidad.
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2; % Primer y último de la matriz w.
result=h1*h2*w2'*d*w1 % Masa obtenida con la función densidad d.
result=h1*h2*w2'*D*w1 % Masa obtenida con la función densidad D.
