Diferencia entre revisiones de «Transformada de Fourier y muestreo de señales»
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Revisión del 23:40 12 nov 2014
Contenido
- 1 Ejercicio
- 1.1 Calcular la transformada de Fourier.
- 1.2 Muestrearla a 12 Hz en el intervalo [0,1] y representar la señal muestreada.
- 1.3 Repetir el caso anterior con un muestreo a 5 Hz, 20 Hz, 40 Hz, 50 Hz y 100 Hz. En todos los casos mantener la ventana temporal t € [0,1]. ¿Mejora el error que cometemos en las frecuencias?
- 1.4 Ahora vamos a aumentar la ventana temporal fijando la frecuencia de muestreo a 30 Hz. Muestrear la señal en los intervalo temporales [0,1],[0,2],[0,10] y [0,100]. ¿ En qué frecuencia están los picos de la FT y donde deberían estar? ¿Qué error se comete?
- 1.5 ¿Qué diferencias hay entre el apartado 2 y 3?
- 1.6 El Teorema de Shanon nos dice que con un muestreo a 12 Hz es posible reconstruir una señal banda-limitada mediante la siguiente formula.
- 2 Ejercicio
- 2.1 Dibujar la señal y su muestreo a 32 Hz en el tiempo T=1 en la misma gráfica.
- 2.2 Dibujar la DFT y la DTFT (con N=212 puntos) en la misma gráfica, reescaladas por la frecuencia de muestreo para que representen las aproximaciones de la FT.
- 2.3 Consideramos ahora la ventana de Gauss, donde P es el número de valores de nuestra muestra. Dubujar la Ventana de Gauss cuando tomamos P=32 valores del intervalo [0,1] (empezando en t=0 y terminando en t=1-1/32).
- 2.4 Multiplicar la muestra obtenida en el apartado 1, que llamaremos xs(n) por la ventanda de Gauss, es decir, calcular:
- 2.5 Dibujar la DTFT de la muestra original y la DTFT de la muestra ventaneada (con N=212 puntos) en la misma gráfica, reescaladas por la frecuencia de muestreo para que representen las aproximaciones de la FT.¿Qué se observa?
1 Ejercicio
Consideramos la señal:
f(t)= eF02Πit + 1/2 cos(F12Πt) + cos (F22Πt)
con F0=8; F1=8.2 y F2=40.
Se pide:
1.1 Calcular la transformada de Fourier.
Descomponemos la señal:
Señal → FT
eF02Πit → δ0(Ί)
cos(F12Πt) → (δa(Ί)+ δ-a(Ί))/2
cos (F22Πt) → (δa(Ί)+ δ-a(Ί))/2
%ejercicio1
clear all
%Frecuencias
F0=8; F1=8.2; F2=40;
P=100;
%Intervalo
t=0:1/P:1;
%Senal
f=exp(F0*2*pi*t*i);
g=(1/2)*cos(F1*2*pi*t);
h=cos(F2*2*pi*t);
i=f+g+h;
%Transformada de fourier
dft=abs(fftshift(fft(f)))
dft1=abs(fftshift(fft(g)));
dft2=abs(fftshift(fft(h)));
dft3=abs(fftshift(fft(i)));
%Para rescalar
tau2=[-1/2:1/P:1/2];
%Dibujamos
figure(1)
subplot (1,3,1)
plot(tau2*P,dft/P,'k')
title('exp(F0*2*pi*t*i)')
subplot (1,3,2)
plot(tau2*P,dft1/P,'b')
title('(1/2)*cos(F1*2*pi*t)')
subplot (1,3,3)
plot(tau2*P,dft2/P,'g')
title('cos(F2*2*pi*t)')
figure (2)
plot(tau2*P,dft3/P,'r')
1.2 Muestrearla a 12 Hz en el intervalo [0,1] y representar la señal muestreada.
1.2.1 Representar también la aproximación de la Transformada de Fourier (FT) usando la DFT con el mismo número de puntos que la muestra.
1.2.2 ¿En qué frecuencias están los picos de la DFT y dónde debería estar?
%ejercicio1_ap2
clear all
%Frecuencias
F0=8; F1=8.2; F2=40;
%Frecuencia de muestreo
Fs=12;
%Intervalo
t=0:1/Fs:1;
%Senal
f=exp(F0*2*pi*t*i);
g=(1/2)*cos(F1*2*pi*t);
h=cos(F2*2*pi*t);
i=f+g+h;
%Dibujo del muestreo
figure (1)
plot(t,i,'*-')
title('senal muestreada')
%DFT
dft3=abs(fftshift(fft(i)));
p=length(t);
%Rescalar
tau2=[-1/2:1/p:1/2-1/p];
%Dibujo de la dft
figure(2)
plot(tau2*Fs,dft3/Fs,'ro-')
title('DFT')
Los picos de la DFT estan aproximadamente en el -4 y en el 3, cuando deberíamos de tener 5 picos. Esto sucede ya que la frecuencia de muestreo es inferior a 2B (Dos veces el ancho de la banda). La frecuencia más alta es de 40 Hz, por lo que la frecuencia de muestreo mínima para obtener los resultados esperados debería de ser de 80 Hz.
1.3 Repetir el caso anterior con un muestreo a 5 Hz, 20 Hz, 40 Hz, 50 Hz y 100 Hz. En todos los casos mantener la ventana temporal t € [0,1]. ¿Mejora el error que cometemos en las frecuencias?
Como hemos comentado en el apartado anterior hasta que la frecuencia de muestreo no sea mayor a 80 Hz, los resultados no serán los correctos, como podemos ver en las siguientes imágenes.
Esto se debe al aliasing, es decir, al ser las frecuencias de muestreo muy bajas, se meten dentro de manera descolocada (sin ningún tipo de orden).
1.4 Ahora vamos a aumentar la ventana temporal fijando la frecuencia de muestreo a 30 Hz. Muestrear la señal en los intervalo temporales [0,1],[0,2],[0,10] y [0,100]. ¿ En qué frecuencia están los picos de la FT y donde deberían estar? ¿Qué error se comete?
%ejercicio1_ap2
clear all
%frecuencia
F0=8; F1=8.2; F2=40;
%frecuencia de muestreo
Fs=30;
%intervalo [0,1][0,2][0,10][0,100]
a=1;
t=0:1/Fs:a;
%senal
f=exp(F0*2*pi*t*i);
g=(1/2)*cos(F1*2*pi*t);
h=cos(F2*2*pi*t);
i=f+g+h;
%Dibujar senal muestreada
figure (1)
plot(t,i,'*-')
title('senal muestreada [0,1]')
%DFT
dft3=abs(fftshift(fft(i)));
p=length(t);
tau2=[-1/2:1/p:1/2-1/p];
%dibujar DFT
figure(2), hold on
plot(tau2*Fs,dft3/Fs,'r')
title('DFT [0,1]')
La frecuencia de muestreo es de 30 Hz, por lo que únicamente podremos ver aquellas frecuencias inferiores a 15 Hz. Debido a ello, las frecuencias de 40 Hz, no se ven en su correspondiente lugar por el efecto del aliasing. Por otro lado, tenemos que mencionar que debido al intervalo de tiempo, a medida que aumentamos el intervalo las campanas se van estrechando cada vez más.
1.5 ¿Qué diferencias hay entre el apartado 2 y 3?
1.6 El Teorema de Shanon nos dice que con un muestreo a 12 Hz es posible reconstruir una señal banda-limitada mediante la siguiente formula.
1.6.1 Dibujar F(t), tomando sumando desde n=-40 hasta n=40. Comparar en la misma gráfica f(t) y su reconstrucción F(t). ¿Qué relación hay entre ellas?
2 Ejercicio
En este ejercicio se trata de entender cómo diferentes ventanas afectan a la DTFT. Tomaremos una señal f(t)= e2ΠiF0t con F0=-7. Se pide :
2.1 Dibujar la señal y su muestreo a 32 Hz en el tiempo T=1 en la misma gráfica.
%frecuencia de muestreo
Fs=32;
%intervalo
t=0:1/Fs:1;
%frecuencia senal
F0=-7;
%senal
f=exp(i*2*pi*F0*t)
%dibujar
hold on
plot(t,f,'r') %Señal
plot(t,f,'*') %Muestreo
2.2 Dibujar la DFT y la DTFT (con N=212 puntos) en la misma gráfica, reescaladas por la frecuencia de muestreo para que representen las aproximaciones de la FT.
%Frecuencia de muestreo
Fs=32;
%intervalo
t=0:1/Fs:1;
%frecuencia de la senal
F0=-7;
%senal
f=exp(i*2*pi*F0*t)
%numero d puntos de la DTFT
N=2^12
%DTFT
dtft=abs(fftshift(fft(f,N)))
tau=-(1/2):1/N:1/2-1/N;
%DFT
dft=abs(fftshift(fft(f)))
p=length(t);
tau2=-1/2:1/p:1/2-1/p;
hold on
figure (1)
subplot(1,2,1)
plot(tau,dtft)
title('dtft')
subplot(1,2,2)
plot(tau2,dft)
title('dft')
figure (2)
subplot(1,2,1)
plot(tau*Fs,dtft/Fs)
title('dtft reescalada')
subplot(1,2,2)
plot(tau2*Fs,dft/Fs,'*-')
title('dft reescalada')
2.3 Consideramos ahora la ventana de Gauss, donde P es el número de valores de nuestra muestra. Dubujar la Ventana de Gauss cuando tomamos P=32 valores del intervalo [0,1] (empezando en t=0 y terminando en t=1-1/32).
%valores de la muestra
P=32;
n=0:1:P-1;
%intervalo
t=0:1/32:1-1/32;
%ventana de gauss
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2)
%dibujar la ventana de gauss
plot(n,wh)
title('ventana de Gauss')
2.4 Multiplicar la muestra obtenida en el apartado 1, que llamaremos xs(n) por la ventanda de Gauss, es decir, calcular:
clear all
%frecuencia de muestreo
Fs=32;
%intervalo
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
%frecuencia senal
F0=-7;
%senal
xs=exp(i*2*pi*F0*t);
%ventana de Gauss
P=32;
n=0:1:P-1;
t1=0:1/32:1-1/32;
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2);
%multiplicacion
ys=xs.*wh
%dibujar
hold on
plot(t,xs,'r')
plot(t1,wh,'g')
plot(t,ys)
legend('xs','wh','ys')
2.5 Dibujar la DTFT de la muestra original y la DTFT de la muestra ventaneada (con N=212 puntos) en la misma gráfica, reescaladas por la frecuencia de muestreo para que representen las aproximaciones de la FT.¿Qué se observa?
clear all
%Funcion original
Fs=32;
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
F0=-7;
xs=exp(i*2*pi*F0*t);
%Ventana de Gauss
P=32;
n=0:1:P-1;
t1=0:1/32:1-1/32;
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2);
%Producto gauss por original
ys=xs.*wh
%Transformadas del producto
N=2^12
dtftg=abs(fftshift(fft(ys,N)))
tau=-(1/2):1/N:1/2-1/N;
% Transformada de la original
dtft=abs(fftshift(fft(xs,N)))
% Dibijo de la transformada original
subplot(1,3,1)
plot(tau*Fs,dtft/Fs)
title('dtft de la original')
%dibujo de la transformada del producto
subplot(1,3,2)
plot(tau*Fs,dtftg/Fs,'r')
title('dtft de ys=xs*wh')
% Dibujo de las dos juntas
subplot(1,3,3)
plot(tau*Fs,dtftg/Fs,'r')
hold on
plot(tau*Fs,dtft/Fs)
title('original y producto')
