Diferencia entre revisiones de «Sistemas resorte-masa»

Revisión del 01:45 5 mar 2013

1 Sistemas resorte-masa

Consideremos un sistema formado por dos masas ancladas a la pared por los muelles de constantes k1 y k3, y unidos entre ellos por otro de constante k2, tal y como se indica en el dibujo.

El objetivo será deducir las ecuaciones del movimiento de cada masa. Para ello, establecemos dos parámetros “x” e “y” que nos indican los desplazamientos de las masas respecto de su posición de equilibrio respectivamente. (NOTA: Tomaremos el desplazamiento positivo hacia la derecha). Aplicando las ecuaciones de la mecánica clásica (Newton- Euler), tenemos que:

[math]\left\{\begin{matrix}m_{1}\ddot x=k_{2}(y-x)-k_{1}x\\m_{2}\ddot y=-k_{3}y-k_{2}(y-x)\end{matrix}\right.[/math]

2 Aproximación de la posición mediante métodos numéricos

Para aplicar tanto Runge-Kutta como Newmark necesitamos un sistema de ecuaciones donde sólo haya derivadas primeras, para ello hacemos los siguientes cambios de variable:

[math]\dot x=u[/math]: [math]\dot y=v[/math]

Y así obtenemos el sistema: [math]\left\{\begin{matrix}m_{1}\ddot x=k_{2}(y-x)-k_{1}x\\m_{2}\ddot y=-k_{3}y-k_{2}(y-x)\\\dot x=u\\\dot y=v\end{matrix}\right.[/math]

En estas ecuaciones sustituimos los datos que plantean en el problema

[math]m_1= 2kg\\m_2= 1kg\\k_1= 4N/m\\k_2= 2N/m\\k_3= 1N/m[/math]

Y para poder resolver el problema de valor inicial, se toman los valores también dados en el enunciado que se muestran a continuación: [math]x(0)= 1\\y(0)= 1,5\\u(0)= 0\\v(0)= 0[/math]

3 Método Runge-Kutta

Para poder aplicar el método necesitamos pasar el sistema de ecuaciones a uno matricial, obteniendo así M

4 Método de Newmark

Una vez introducidas las dos variables “u” y “v” que serán igual a las velocidades (derivada primera de x e y). A continuación aplicamos las fórmulas del método de Newmark dadas para cada variable, obteniendo 4 ecuaciones en las que solo aparece la primera derivada.

[math]x_{n+1} = x_n + hz_n + h^2(βf_n+1 + (1/2 - β)f_n)\\y_{n+1} = y_n + hz_n + h^2(βf_n+1 + (1/2 - β)f_n)\\u_{n+1} = u_n + h(γf_(n+1) + (1 - γ)f_n)\\v_{n+1} = v_n + h(γf_(n+1) + (1 - γ)f_n)[/math]

Ahora ordenamos matricialmente los términos obteniendo las matrices A y B correspondientes a los términos n+1 y n respectivamente. Estas matrices se ven reflejadas en el programa de Matlab que se muestra a continuación.

5 MATLAB code

{{matlab|codigo= % Euler method to solve the logistic equation y'=y(1-y) clear all; t0=0; tN=4;  % initial and final time y0=1/10;  % value of y at time t=0 N=40;  % Number of intervals h=(tN-t0)/40;  % Time step h yy=y0;  % yy -> variable with the solution at each time step y(1)=yy;  % y -> vector where we store the solution for n=1:N

  yy=yy+h*yy*(1-yy);  % numerical scheme
  y(n+1)=yy;          % store the solution

end x=t0:h:tN;  % Draw the solution plot(x,y,'x'); }