Revisión del 18:47 16 may 2014

1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

1.1 Modelización

Se considera una solución en un tubo largo compuesta por dos sustancias de las cuales una de ellas es un contaminante. Se orienta el tubo en la dirección del eje x, desde x=0 hasta x=L, siendo L la longitud del tubo, cuyo valor es igual a 5 metros. Dicho tubo presenta sección transversal constante.

Se denota por u la concentración de contaminante en cada posición del tubo, medida en mol/m²s. La concentración es la misma en cualquier punto de la sección transversal del tubo. Por tanto, va a depender únicamente de dos variables u=u(x,t).

Se designa por F(x,t) el flujo de difusión del contaminante, siendo éste la cantidad de sustancia contaminante que fluye por unidad de tiempo y unidad de área. La superficie del tubo está aislada, por lo que solamente hay flujo de contaminante en la dirección del eje x. En los extremos se coloca un aislante que hace que F(x,t) al exterior del tubo sea nulo.

Dado que la sección del tubo es constante, la concentración del contaminante va a depender únicamente del tiempo y el número de moles, siendo éste último proporcional a la masa de la sustancia.

Teniendo en cuenta el principio de conservación de masa, se deduce, que la variación de la concentración de contaminante en cada posición del tubo en función del tiempo, es igual a la suma del flujo de contaminante a través de los extremos del tubo por unidad de tiempo, más la concentración de contaminante generada en el interior por unidad de tiempo. Al ser nulo el último sumando, la variación de u va a estar influenciada únicamente por el flujo de contaminante.

La ley de Flick establece que el flujo de difusión del contaminante es proporcional a la variación de concentración: [math]F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}[/math]

donde D es el coeficiente de difusión (medido en m²/s), que depende de las propiedades químicas de los compuestos, y que se supone constante D=1.

1.2 Ecuación de difusión

Utilizando la ley de Flick y aplicando el principio de conservación de masa, se deduce que la concentración de la sustancia contaminante en una sección del tubo que dista x del extremo x=0, cuando pasa un tiempo t debe satisfacer:

[math]u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_xx(x,t)[/math]

Imponiendo que D es el coeficiente de difusión y su valor es la unidad, la ecuación de difusión que describe cómo la sustancia contaminada se dispersa, queda de la forma:

[math]u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0[/math]

Para la deducción de dicha fórmula, se tienen en cuenta las siguientes consideraciones.

Se define [math] A [/math] como la variable de superficie, y se toma una sección pequeña del tubo, designada por [math]\Delta x[/math]: La variación de la concentración de contaminante en función del tiempo es:

[math] A u(x,t) \Delta x [/math]

Y al derivar en el tiempo:

[math] A u_t(x,t) \Delta x [/math]

De esta forma se obtiene el primer término de la ecuación de difusión.

A continuación, se considera nula la concentración de contaminante generada en el interior por unidad de tiempo debido a la ausencia de sumideros.

Suponiendo que Δx>0 y la concentración de contaminante en un tiempo t es menor en x+ Δx que en x, entonces u(x+ Δx) – u(x,t) < 0, y como Δx es pequeño, se tiene que ux(x,t)<0 y el flujo de difusión del contaminante es positivo y va hacia la derecha en la dirección del eje x.

El flujo de calor en un intervalo [math][x, x + ∆x ] [/math] viene dado dado por:

[math]F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A[/math]

Igualando los términos anteriores y dividiendo por [math]A \Delta x[/math] se obtiene:

[math]A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A[/math]:

[math]u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}[/math]

Haciendo que [math]\Delta x[/math] tienda a 0:

[math]u_t(x,t)= -F_x(x,t)[/math]

Y aplicando la ley de Fick:

[math]u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_xx(x,t) [/math]

Así se obtiene la ecuación de difusión de la sustancia contaminante a lo largo del tubo:

[math]u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 [/math]

1.3 Problema bien propuesto

Dado el problema

[math] (P)\left\{\begin{matrix}\\u_t-u_{xx}=0 ,xɶ(0,5), t\gt0\\u_x(0,t)=0, t\gt0\\u_x(L,t)=0, t\gt0\\u(x,0)=u_0, xɶ(0,5)\end{matrix}\right. [/math]

Suponiendo que en el instante inicial se verifica  :[math] u(x,0)=\left\{\begin{matrix}\\0, x≤3\\3, x\gt3\end{matrix}\right. [/math]

Se comprueba que está bien propuesto analizando la existencia de solución, la unicidad de dicha solución y su estabilidad.

1.3.1 Existencia de solución

Se debe asegurar que el problema admite una solución u(x,t) mediante el método de separación de variables. Para ello se realizan los siguientes pasos:

1. Reducción a un problema con condiciones de frontera homogéneas

Para poder aplicar el método de separación de variables las condiciones de frontera del problema deben ser homogéneas. En este caso no es necesario realizar ningún cambio de variable para conseguirlo.

2. Resolución del problema de autovalores asociado a (P)

[math] (PA)\left\{\begin{matrix}\\y''+λy=0 ,xɶ(0,5)\\y'(0)=0\\y'(5)=0\end{matrix}\right. [/math]

Los autovalores y autofunciones salvo una constante son:

[math]φ_k=cos(kπ/5)x[/math]: k=0,1,2,3... [math]μ\ltsub\gtk\lt/sub\gt=k\ltsup\gt2\lt/sup\gtπ\ltsup\gt2\lt/sup\gt/25)[/math]

3. Cálculo de la serie de Fourier de f(x,t)=0 en términos de las autofunciones del problema de autovalores asociado

[math]S f(x,t)= \displaystyle\sum_{k=0}^∞ c_kφ_k(x)=0•φ_1(x)+0•φ_2(x)+0•φ_3(x)+...[/math]

4. Ensayo con soluciones de la forma [math]u(x,t)=\displaystyle\sum_{k=0}^∞ T_k(t)φ_k(x)[/math]

Ya que [math]φ'_k(0)=0[/math] y [math]φ'_k(5)=0[/math], cualesquiera que sean las funciones [math]T_k(t)[/math], u(x,t) satisface las condiciones de frontera.

Impongo ahora que satisfaga la ecuación en derivadas parciales [math]u_t(x,t)- u_{xx}(x,t)= 0 [/math]:

[math]\displaystyle\sum_{k=0}^∞ T'_k(t)φ_k(x)+\displaystyle\sum_{k=0}^∞ T_k(t)μ_kφ_k(x)=0[/math]: [math]\displaystyle\sum_{k=0}^∞ [T'_k(t)+μ_kT_k(t)]φ_k(x)=0[/math]

Es decir, [math]\displaystyle\sum_{k=0}^∞ [T'_k(t)+μ_kT_k(t)]φ_k(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^∞ c_kφ_k(x)[/math]:

Por la unicidad de los coeficientes de Fourier se cumple [math]T'_k(t)+μ_kT_k(t)=0[/math], t>0, k=0,1,2,3...

Por lo tanto si [math]T_k(t)[/math] es una solución cualquiera de la ecuación anterior, la función [math]u(x,t)=\displaystyle\sum_{k=0}^∞ T_k(t)cos(kπ/5)x[/math] satisface la ecuación en derivadas parciales y las condiciones de frontera de (P).

5. La solución [math]u(x,t)=\displaystyle\sum_{k=0}^∞ T_k(t)φ_k(x)[/math] debe satisfacer también la condición inicial

[math]u(x,0)=\displaystyle\sum_{k=0}^∞ T_k(0)φ_k(x)=\left\{\begin{matrix}\\0, x≤3\\3, x\gt3\end{matrix}\right.[/math]

Calculando la serie de Fourier de la condición inicial y aplicando la unicidad de los coeficientes de Fourier se obtiene el valor de [math]T_k(0)[/math].

Si [math]T_k(t) k=0,1,2... [/math] es solución del problema de valor incial, formado por [math]T'_k(t)+μ_kT_k(t)=0[/math] y [math]T_k(0)[/math], entonces:

[math]u(x,t)=\displaystyle\sum_{k=0}^∞ T_k(t)cos(kπ/5)x,   xɶ(0,5), t\gt0[/math] es solución de (P).

1.3.2 Unicidad de solución

Se utiliza el método de la energía o método de los multiplicadores para demostrar que si existe una solución del problema debe ser única.

Por la linealidad de (P) se verifica que (P) admite una única solución si y solamente si (PH) admite como única solución la trivial, siendo

[math] (PH)\left\{\begin{matrix}\\u_t-u_{xx}=0 ,xɶ(0,5), t\gt0\\u_x(0,t)=0, t\gt0\\u_x(L,t)=0, t\gt0\\u(x,0)=0, xɶ(0,5)\end{matrix}\right. [/math]

Sea w(x,t) una solución de (PH), se demuestra la unicidad de solución de (P) comprobando que w(x,t)=0.

Si w(x,t) satisface el problema :[math] (PH)\left\{\begin{matrix}\\w_t-w_{xx}=0 ,xɶ(0,5), t\gt0\\w_x(0,t)=0, t\gt0\\w_x(L,t)=0, t\gt0\\w(x,0)=0, xɶ(0,5)\end{matrix}\right. [/math]

entonces [math]w_t(x,t)-w_{xx}(x,t)=0 ,xɶ(0,5), t\gt0[/math]

Multiplicamos la ecuación en derivadas parciales por w(x,t) e integramos en la variable x en (0,5).

1.3.3 Estabilidad

Un problema estable facilita su tratamiento numérico, por ello, se debe comprobar que sea estable con respecto al dato inicial.