Diferencia entre revisiones de «Difusión de una sustancia contaminante (Grupo 3B)»
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Se considera una solución en un tubo largo compuesta por dos sustancias de las cuales una de ellas es un contaminante. Se orienta el tubo en la dirección del eje x, desde x=0 hasta x=L, siendo L la longitud del tubo, cuyo valor es igual a 5 metros. Dicho tubo presenta sección transversal constante. | Se considera una solución en un tubo largo compuesta por dos sustancias de las cuales una de ellas es un contaminante. Se orienta el tubo en la dirección del eje x, desde x=0 hasta x=L, siendo L la longitud del tubo, cuyo valor es igual a 5 metros. Dicho tubo presenta sección transversal constante. | ||
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donde D es el coeficiente de difusión (medido en m<sup>2</sup>/s), que depende de las propiedades químicas de los compuestos, y que se supone constante D=1. | donde D es el coeficiente de difusión (medido en m<sup>2</sup>/s), que depende de las propiedades químicas de los compuestos, y que se supone constante D=1. | ||
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Utilizando la ley de Flick y aplicando el principio de conservación de masa, se deduce que la concentración de la sustancia contaminante en una sección del tubo que dista x del extremo x=0, cuando pasa un tiempo t debe satisfacer: | Utilizando la ley de Flick y aplicando el principio de conservación de masa, se deduce que la concentración de la sustancia contaminante en una sección del tubo que dista x del extremo x=0, cuando pasa un tiempo t debe satisfacer: | ||
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A continuación, se considera nula la concentración de contaminante generada en el interior por unidad de tiempo debido a la ausencia de sumideros. | A continuación, se considera nula la concentración de contaminante generada en el interior por unidad de tiempo debido a la ausencia de sumideros. | ||
| − | Suponiendo que Δx>0 y la concentración de contaminante en un tiempo t es menor en x+ Δx que en x, entonces u(x+ Δx) – u(x,t) < 0, y como Δx es pequeño, se tiene que ux(x,t)<0 y el flujo de difusión del contaminante es positivo y va hacia la derecha en la dirección del eje x. | + | Suponiendo que Δx>0 y la concentración de contaminante en un tiempo t es menor en x+ Δx que en x, entonces u(x+ Δx) – u(x,t) < 0, y como Δx es pequeño, se tiene que ux(x,t)<0 y el flujo de difusión del contaminante es positivo y va hacia la derecha en la dirección del eje x. |
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<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math> | <math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math> | ||
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<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math> | <math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math> | ||
| − | + | Y aplicando la ley de Fick: | |
<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_xx(x,t) </math> | <math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_xx(x,t) </math> | ||
| − | + | Así se obtiene la ecuación de difusión de la sustancia contaminante a lo largo del tubo: | |
<math>u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 </math> | <math>u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 </math> | ||
| + | ==Problema bien propuesto== | ||
| + | Se comprueba que un problema está bien propuesto analizando la existencia de solución, la unicidad de dicha solución y su estabilidad. | ||
| + | ===Existencia de solución=== | ||
| + | Se debe asegurar que el problema admite una solución u(x,t) mediante el método de separación de variables. | ||
| + | ===Unicidad de solución=== | ||
| + | Se utiliza el método de la energía o método de los multiplicadores para demostrar que si existe una solución del problema debe ser única. | ||
| + | ===Estabilidad=== | ||
| − | + | Un problema estable facilita su tratamiento numérico, por ello, se debe comprobar que sea estable con respecto al dato inicial. | |
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Revisión del 20:42 15 may 2014
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Difusión de una sustancia contaminante. Grupo 3B |
| Asignatura | Ecuaciones Diferenciales |
| Curso | Curso 2013-14 |
| Autores | María Bartol Calderón
Rodrigo Bellot Rodríguez Margarita Santiago Ruiz Rocío Santos Rodrigo |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
1.1 Modelización
Se considera una solución en un tubo largo compuesta por dos sustancias de las cuales una de ellas es un contaminante. Se orienta el tubo en la dirección del eje x, desde x=0 hasta x=L, siendo L la longitud del tubo, cuyo valor es igual a 5 metros. Dicho tubo presenta sección transversal constante.
Se denota por u la concentración de contaminante en cada posición del tubo, medida en mol/m2s. La concentración es la misma en cualquier punto de la sección transversal del tubo. Por tanto, va a depender únicamente de dos variables u=u(x,t).
Se designa por F(x,t) el flujo de difusión del contaminante, siendo éste la cantidad de sustancia contaminante que fluye por unidad de tiempo y unidad de área. La superficie del tubo está aislada, por lo que solamente hay flujo de contaminante en la dirección del eje x. En los extremos se coloca un aislante que hace que F(x,t) al exterior del tubo sea nulo.
Dado que la sección del tubo es constante, la concentración del contaminante va a depender únicamente del tiempo y el número de moles, siendo éste último proporcional a la masa de la sustancia.
Teniendo en cuenta el principio de conservación de masa, se deduce, que la variación de la concentración de contaminante en cada posición del tubo en función del tiempo, es igual a la suma del flujo de contaminante a través de los extremos del tubo por unidad de tiempo, más la concentración de contaminante generada en el interior por unidad de tiempo. Al ser nulo el último sumando, la variación de u va a estar influenciada únicamente por el flujo de contaminante.
La ley de Flick establece que el flujo de difusión del contaminante es proporcional a la variación de concentración: [math]F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}[/math]
donde D es el coeficiente de difusión (medido en m2/s), que depende de las propiedades químicas de los compuestos, y que se supone constante D=1.
1.2 Ecuación de difusión
Utilizando la ley de Flick y aplicando el principio de conservación de masa, se deduce que la concentración de la sustancia contaminante en una sección del tubo que dista x del extremo x=0, cuando pasa un tiempo t debe satisfacer:
[math]u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_xx(x,t)[/math]
Imponiendo que D es el coeficiente de difusión y su valor es la unidad, la ecuación de difusión que describe cómo la sustancia contaminada se dispersa, queda de la forma:
[math]u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0[/math]
Para la deducción de dicha fórmula, se tienen en cuenta las siguientes consideraciones.
Se define [math] A [/math] como la variable de superficie, y se toma una sección pequeña del tubo, designada por [math]\Delta x[/math]: La variación de la concentración de contaminante en función del tiempo es:
[math] A u(x,t) \Delta x [/math]
Y al derivar en el tiempo:
[math] A u_t(x,t) \Delta x [/math]
De esta forma se obtiene el primer término de la ecuación de difusión.
A continuación, se considera nula la concentración de contaminante generada en el interior por unidad de tiempo debido a la ausencia de sumideros.
Suponiendo que Δx>0 y la concentración de contaminante en un tiempo t es menor en x+ Δx que en x, entonces u(x+ Δx) – u(x,t) < 0, y como Δx es pequeño, se tiene que ux(x,t)<0 y el flujo de difusión del contaminante es positivo y va hacia la derecha en la dirección del eje x.
El flujo de calor en un intervalo [math][x, x + ∆x ] [/math] viene dado dado por:
[math]F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A[/math]
Igualando los términos anteriores y dividiendo por [math]A \Delta x[/math] se obtiene:
[math]A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A[/math]:
[math]u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}[/math]
Haciendo que [math]\Delta x[/math] tienda a 0:
[math]u_t(x,t)= -F_x(x,t)[/math]
Y aplicando la ley de Fick:
[math]u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_xx(x,t) [/math]
Así se obtiene la ecuación de difusión de la sustancia contaminante a lo largo del tubo:
[math]u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 [/math]
1.3 Problema bien propuesto
Se comprueba que un problema está bien propuesto analizando la existencia de solución, la unicidad de dicha solución y su estabilidad.
1.3.1 Existencia de solución
Se debe asegurar que el problema admite una solución u(x,t) mediante el método de separación de variables.
1.3.2 Unicidad de solución
Se utiliza el método de la energía o método de los multiplicadores para demostrar que si existe una solución del problema debe ser única.
1.3.3 Estabilidad
Un problema estable facilita su tratamiento numérico, por ello, se debe comprobar que sea estable con respecto al dato inicial.
