Diferencia entre revisiones de «Placa en forma de Anillo»

Revisión del 10:46 14 may 2014

Transmisión de calor en una placa con forma de anillo. Es bastante común modelizar el comportamiento del calor en superficies mediante las ecuaciones diferenciales, y además dada la particularidad de la forma de nuestro caso, utilizando coordenadas polares.

1 Introducción

Placa en anillo con p ∈ [1, 6]

Tenemos la placa que se ve en la imagen superior con las siguientes condiciones. Colocamos en las fronteras interior ρ = 1 y exterior ρ = 6, que sabemos que mantienen una temperatura constante de 0 grados y 10 grados respectivamente como si estuviesen en contacto con un depósito. En nuestro caso vamos a trabajar en coordenadas polares dada la forma de la placa que se presta a ello. Suponemos también que la temperatura u de la placa solo depende de la coordenada radial y el tiempo, es decir u = u(ρ, t). La placa sabemos que satisface la ecuación del calor que se muestra a continuación:

[math] u_t-\Delta u=0[/math]

La placa a su vez dispone de las siguientes condiciones iniciales de temperatura u(p,0):

[math]\left\{\begin{matrix}100·(p-1) → p ∈ [1, 2] \\100 → p ∈ [2, 5]\\90·(6-p)+10 → p ∈ [5, 6]\end{matrix}\right.[/math]

Además tenemos condiciones tipo Dirichlet en los extremos ya que se mantiene constante la temperatura a lo largo del tiempo en estos al tener objetos que mantienen la temperatura constante en contacto con los mismos:

[math]\left\{\begin{matrix}u(1,t)=0 \\u(6,t)=10\end{matrix}\right.[/math]

Debido a que el ángulo teta y la altura Z se mantienen constantes al ser una figura plana, el Laplaciano en coordenadas cilíndricas es el siguiente:

[math]\Delta u=\frac{1}{p} \frac{\partial }{\partial p} (p \frac{\partial u }{\partial p})+\frac{1 }{p^2} \frac{\partial^2 u }{\partial θ^2}+\frac{\partial^2 u }{\partial z^2}= \frac{\partial^2 u }{\partial p^2}+\frac{1 }{p}\frac{\partial u}{\partial p} [/math]

Al aplicar el Laplaciano, la ecuación del calor que se va a resolver queda de la forma: [math] u_t-u_{pp}\frac{1}{p} u_p=0 [/math] Quedando así similar al sistema que obtendríamos con una barra con longitud entre 1 y 6.

2 Resolución del Sistema por diferencias finitas

Aquí se va a resolver el problema planteado por el método de diferencias finitas con paso de discretización ∆p = 0.1; y para el tiempo usaremos en cada caso los métodos del trapecio, Euler modificado, explícito e implícito. Todos ellos tomando ∆t = ∆p/4 en t ∈ [0, 10]

2.1 Método del trapecio

2.2 Método de Euler explícito

Ahora particularizamos la solución en ρ = 3 y observamos el comportamiento de la temperatura en dichos puntos. La gráfica siguiente muestra una representación 2D temperatura/tiempo

2.3 Método de Euler implícito

2.4 Método de Euler modificado

3 Evolución de la solución en el tiempo

Se puede deducir a partir de las siguientes gráficas que para grandes tiempos, la temperatura apenas varía. En este caso el término [math] u_t[/math] se puede despreciar y la temperatura toma un valor estacionario en cada punto de la varilla. Esta ecuación verifica el estado estacionario.

¿A qué funci ́on se debe parecer la soluci ́on u(ρ, t) para tiempos grandes? Calcular la distancia entre esa soluci ́on estacionaria y la soluci ́on u(ρ, t) para t = 0, 1, 2, 10. Comparar con los resultados que se obtienen si Deltaρ lo dividimos por 10.