Diferencia entre revisiones de «Ecuación del calor LAJS»
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| + | Como vimos en el anterior trabajo, podemos elegir los coeficientes de Fourier de forma aleatoria. Los coeficientes <math>a_n</math> y <math>b_n</math> se considerarán variables aleatorias independientes siguiendo una distribución simétrica (con media cero). Los ejemplos para este trabajo, igual que en el anterior serán: | ||
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| + | * Distribución Uniforme: <math>a_n, b_n \sim \mathcal{U}[-c_n, c_n]</math> | ||
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| + | === Función acotada === | ||
| + | Para garantizar que la función sea acotada, es decir, que <math>|f_{\sigma}(x)| \leq M</math>, se pueden seguir dos enfoques: | ||
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| + | # Normalización: Elegir coeficientes acotados y aplicar un proceso de normalización. | ||
| + | # Suma de coeficientes pequeños: Aprovechar el hecho de que una suma de senos y cosenos con coeficientes suficientemente pequeños produce funciones acotadas. | ||
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| + | == Ecuación del calor y solución con dato inicial <math>f_{\sigma}</math> == | ||
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| + | Consideramos el problema de Cauchy en <math>\mathbb{R}</math>: | ||
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| + | con <math>f_{\sigma}</math> de soporte en <math>(-1, 1)</math>. La solución viene dada por la convolución con la solución fundamental de la ecuación del calor: | ||
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| + | :<math>u(x,t) = \int_{-\infty}^{\infty} G(x - y, t) f_{\sigma}(y) \, dy, \quad G(z,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi t}} e^{-z^2/(4t)}.</math> | ||
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| + | == Promedio de la temperatura en <math>x = 0</math> a lo largo del tiempo == | ||
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| + | Calculamos la esperanza matemática de la temperatura, fijando <math> x=0 </math>. Por las propiedades de la esperanza, | ||
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| + | :<math>\mathbb{E}[u(0,t)] = \int_{-\infty}^{\infty} G(-y, t) \mathbb{E}[f_{\sigma}(y)] \, dy = 0,</math> | ||
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| + | porque <math>\mathbb{E}[f_{\sigma}(y)] = 0</math> (los coeficientes tienen media cero). Por tanto, la temperatura esperada en <math>x = 0</math> es nula para todo <math>t > 0</math>. | ||
Revisión del 17:28 3 abr 2026
Contenido
1 Introducción
La ecuación del calor
2 Construcción con serie de Fourier real
Para [math]x \in [-1, 1][/math], definimos la función [math]f_{\sigma}(x)[/math] mediante la siguiente expresión:
- [math]f_{\sigma}(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N} [a_n \cos(\pi n x) + b_n \sin(\pi n x)][/math]
2.1 Propiedades de los coeficientes
Como vimos en el anterior trabajo, podemos elegir los coeficientes de Fourier de forma aleatoria. Los coeficientes [math]a_n[/math] y [math]b_n[/math] se considerarán variables aleatorias independientes siguiendo una distribución simétrica (con media cero). Los ejemplos para este trabajo, igual que en el anterior serán:
- Distribución Uniforme: [math]a_n, b_n \sim \mathcal{U}[-c_n, c_n][/math]
- Distribución Normal: [math]a_n, b_n \sim \mathcal{N}(0, \sigma_n^2)[/math]
2.2 Función acotada
Para garantizar que la función sea acotada, es decir, que [math]|f_{\sigma}(x)| \leq M[/math], se pueden seguir dos enfoques:
- Normalización: Elegir coeficientes acotados y aplicar un proceso de normalización.
- Suma de coeficientes pequeños: Aprovechar el hecho de que una suma de senos y cosenos con coeficientes suficientemente pequeños produce funciones acotadas.
3 Ecuación del calor y solución con dato inicial [math]f_{\sigma}[/math]
Consideramos el problema de Cauchy en [math]\mathbb{R}[/math]:
- [math]\begin{cases} u_t = u_{xx}, \\ u(x,0) = f_{\sigma}(x), \end{cases} x \in \mathbb{R}, t \gt 0,[/math]
con [math]f_{\sigma}[/math] de soporte en [math](-1, 1)[/math]. La solución viene dada por la convolución con la solución fundamental de la ecuación del calor:
- [math]u(x,t) = \int_{-\infty}^{\infty} G(x - y, t) f_{\sigma}(y) \, dy, \quad G(z,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi t}} e^{-z^2/(4t)}.[/math]
4 Promedio de la temperatura en [math]x = 0[/math] a lo largo del tiempo
Calculamos la esperanza matemática de la temperatura, fijando [math] x=0 [/math]. Por las propiedades de la esperanza,
- [math]\mathbb{E}[u(0,t)] = \int_{-\infty}^{\infty} G(-y, t) \mathbb{E}[f_{\sigma}(y)] \, dy = 0,[/math]
porque [math]\mathbb{E}[f_{\sigma}(y)] = 0[/math] (los coeficientes tienen media cero). Por tanto, la temperatura esperada en [math]x = 0[/math] es nula para todo [math]t \gt 0[/math].
