Diferencia entre revisiones de «El Vórtice de Rankine (grupo 64)»

Revisión del 21:41 7 dic 2025

1 Motivación

En la ingeniería civil el comportamiento del agua y del aire en movimiento es un factor decisivo en el diseño de infraestructuras como puentes, presas, canales o estructuras portuarias.

Los vórtices aparecen con frecuencia en la entrada de tomas hidráulicas, alrededor de pilares de puentes o en zonas de desagüe. Estos pueden generar pérdidas de eficiencia, erosión o inestabilidad por lo que su estudio resulta esencial para garantizar la seguridad y el rendimiento de las obras civiles.

El vórtice de Rankine es un modelo idealizado cuya simplicidad permite analizar la velocidad, presión y vorticidad de manera clara proporcionando una base para entender fenómenos más complejos en fluidos rotacionales ya que divide el flujo en dos regiones: un núcleo de rotación sólida, donde la vorticidad es constante, y una zona exterior donde el flujo es irrotacional.

2 Campo de velocidades

En coordenadas cilíndricas \((\rho, \theta, z)\), el campo de velocidad del vórtice de Rankine es:

[math]\vec{v} = v_{\theta}\,\vec{e}_{\theta}[/math]

donde

[math] v_{\theta}(\rho) = \begin{cases} \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \text{si } \rho \le R,\\[6pt] \dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \text{si } \rho \gt R. \end{cases} [/math]

Aquí, [math]R[/math] es el radio del núcleo del vórtice (el «ojo») y [math]\Gamma[/math] es la circulación total, que determina la intensidad del vórtice. El vórtice se extiende desde el suelo hasta la altura [math]z_{0}[/math].

2.1 Circulación \(\Gamma\) del vórtice

El cálculo de la circulación total \(\Gamma\), que determina la intensidad del vórtice, es:

[math] v_{\theta}(R) = \frac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,R \ siendo \ v_{\theta}(R) = 90 [/math]

[math] \Rightarrow \Gamma = 90 \cdot 2\pi R = 45\,000\,\pi \,\frac{m^{2}}{s} \approx 141\,371{,}6694 \,\frac{m^{2}}{s} \\ [/math] Análisis dimensional: [math] \\ [\Gamma] = \left[\frac{\frac{m}{s}\cdot m^{2}}{m}\right] = \left[\frac{m^{2}}{s}\right] [/math]

2.2 Campo de velocidad tangencial

Campo de velocidad tangencial \(v_{\theta}(\rho)\) para \(\rho \in [0,1000]\) m en plano horizontal:

[math] v_{\theta}(\rho)= \begin{cases} 22500\,\dfrac{\rho}{R^{2}}, & \text{si }\rho \in [0,250],\\[6pt] 22500\,\dfrac{1}{\rho}, & \text{si }\rho \in (250,1000]. \end{cases} = \begin{cases} \dfrac{9\,\rho}{25}, & \rho \in [0,250]\\[6pt] \dfrac{22\,500}{\rho}, & \rho \in (250,1000] \end{cases} [/math]

El campo de velocidad tangencial 𝑣 describe la variación de la velocidad circular alrededor del centro del vórtice en función del radio ρ. En el vórtice de Rankine, este campo presenta dos regímenes diferenciados. El núcleo sólido (ρ≤250 m): el flujo rota como un cuerpo rígido y 𝑣 crece linealmente con ρ, indicando vorticidad constante en esta región. Mientras, en la región potencial (ρ>250 m): el flujo es irrotacional y la velocidad decrece con 1/ρ, manteniéndose constante la circulación.

Esto caracteriza el movimiento del vórtice, donde hay una zona de rotación sólida interior y otra de comportamiento potencial exterior.

Gráfica de la velocidad tangencial en función de la distancia radial

R = 250;         
vR = 90;         
rho_max = 1000;

Gamma = vR * 2*pi*R;
fprintf("Gamma = %.4e m^2/s\n", Gamma);

rho = linspace(0, rho_max, 2000);
vtheta = zeros(size(rho));

core = rho <= R;
vtheta(core)  = (Gamma/(2*pi*R^2)) .* rho(core);
vtheta(~core) = (Gamma/(2*pi)) ./ rho(~core);

figure;
plot(rho, vtheta, 'LineWidth', 2); hold on;

yL = ylim;
plot([R R], yL, '--k');
plot(R, vR, 'or', 'MarkerFaceColor','r');

xlabel('\rho (m)');
ylabel('v_\theta(\rho) (m/s)');
grid on;
xlim([0 rho_max]);
legend('v_\theta(\rho)', '\rho = R', 'v_\theta(R)');

2.3 Campo vectorial de velocidades

El campo vectorial de velocidades describe, para cada punto del plano horizontal, la dirección tangencial del flujo y la intensidad con la que este se mueve alrededor del centro del vórtice. En el vórtice de Rankine, dicho campo es puramente tangencial, por lo que cada vector es perpendicular al radio y sigue una trayectoria circular.

[math] \vec{v} = v_{\theta}\,\vec{e}_{\theta} = \begin{cases} 22500\,\dfrac{\rho}{R^{2}}\,\vec{e}_{\theta}, & \rho \in [0,250],\\[6pt] 22500\,\dfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_{\theta}, & \rho \in (250,1000]. \end{cases} [/math]

En el núcleo interior, con rotación sólida, los vectores aumentan en magnitud conforme se alejan del centro, manteniendo una distribución uniforme de vorticidad. En la región exterior, el campo pasa a ser potencial, aquí la intensidad de los vectores decrecen con la distancia, reflejando un movimiento irrotacional en el que la circulación se conserva.

Este campo permite visualizar de forma completa la estructura dinámica del vórtice, distinguiendo claramente la rotación uniforme del núcleo y el comportamiento potencial de la zona exterior.

Representación del campo vectorial de velocidades

R = 250;
vR = 90;
Gamma = vR*2*pi*R;
xmax = 800; ymax = 800; 
N = 40;

x = linspace(-xmax, xmax, N);
y = linspace(-ymax, ymax, N);
[X,Y] = meshgrid(x,y);

rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y,X);
Vtheta = zeros(size(rho));
core  = (rho <= R & rho>0);
outer = (rho > R);

Vtheta(core)  = (Gamma/(2*pi*R^2)) .* rho(core);
Vtheta(outer) = (Gamma/(2*pi)) ./ rho(outer);

Vx = -Vtheta .* sin(theta);
Vy =  Vtheta .* cos(theta);

figure; hold on;
quiver(X(core),  Y(core),  Vx(core),  Vy(core),  'b');
quiver(X(outer), Y(outer), Vx(outer), Vy(outer), 'r');

t = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(t), R*sin(t), '--k','LineWidth',1.3);

xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Campo vectorial del vórtice de Rankine');
axis equal;
xlim([-xmax xmax]); ylim([-ymax ymax]);
grid on;
legend('núcleo','exterior','R');

2.3.1 Suficiencia del Plano Horizontal

La cuestión de por qué es suficiente representarlo en un plano horizontal se justifica en que el vórtice de Rankine es un modelo donde las velocidades dependen solo de la distancia radial al centro y la componente vertical es nula. Esto significa que toda la estructura dinámica, tanto el núcleo como la región exterior, queda completamente descrita en el plano horizontal, sin que la altura introduzca variaciones en el comportamiento del flujo.

3 Aplicación del modelo

3.1 Comparativa entre la realidad física y el modelo

El Vórtice de Rankine es un modelo matemático idealizado por lo que no tiene en cuenta factores físicos reales como las turbulencias, la fricción, el intercambio de calor, las fluctuaciones reales del viento o la convección vertical. Estas simplificaciones resultan útiles para el estudio de fenómenos atmosféricos por lo que, a pesar de no describir la realidad de manera fidedigna, existen similitudes entre ellos:

-Estos fenómenos atmosféricos poseen un núcleo donde el flujo rota casi como un sólido rígido, es decir, casi como el modelo de Vórtice de Rankine.
-El perfil radial de velocidades de estos fenómenos se aproxima muy bien con el modelo de vórtice de Rankine, es decir, coinciden en la forma en la que la velocidad varía en función de la distancia al centro.
-Los fenómenos muestran un descenso de la presión hacia el centro al igual que ocurre en el modelo.

En este apartado se expondrán diferentes fenómenos físicos reales que se pueden llegar a aproximar parcialmente mediante el Modelo de Rankine:

3.2 El modelo de Burgers-Rott como alternativa más realista al vórtice de Rankine

El modelo de Burgers–Rott es una solución analítica de las ecuaciones de Navier–Stokes (ecuaciones diferenciales parciales que describen el movimiento de los fluidos newtonianos) para un vórtice axisimétrico viscoso sometido a un esfuerzo de estiramiento radial/axial.

En este modelo el campo de velocidades posee tres componentes, a diferencia del de Rankine que solo se define en un plano horizontal. El modelo de Rankine no exige ninguna variación vertical mientras que el modelo de Burgers-Rott depende de z.

En coordenadas cilíndricas (r, θ, z), el campo de velocidades del modelo de Burgers–Rott es:

[math] v_r(r) = -\alpha\, r \qquad [v_r] = [\text{m/s}] [/math]

[math] v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2\pi r}\left(1 - e^{-\frac{\alpha r^2}{2\nu}}\right) \qquad [v_\theta] = [\text{m/s}] [/math]

[math] v_z(z) = 2\alpha z \qquad [v_z] = [\text{m/s}] [/math]

donde:

• [math]\Gamma[/math] es la circulación total [math][\text{m}^2/\text{s}][/math]
• [math]\alpha \gt 0[/math] es la tasa de estiramiento [math][1/\text{s}][/math]
• [math]\nu[/math] es la viscosidad cinemática [math][\text{m}^2/\text{s}][/math]

El vórtice de Burgers–Rott es una alternativa más realista al vórtice de Rankine porque:

• Presenta una estructura tridimensional.
• La vorticidad tiene un perfil suave y no una discontinuidad artificial.
• Modela el estrechamiento (por estiramiento) y el ensanchamiento (por viscosidad) de un vórtice real.
• Satisface las ecuaciones de Navier–Stokes, por lo que no es un modelo cinemático sino dinámico. Describe el movimiento real del fluido considerando el equilibrio entre fuerzas, la viscosidad y el estiramiento axial.

4 Divergencia y rotacional del campo de velocidad

4.1 Divergencia del campo de velocidad

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de salida o entrada de flujo a través de un volumen infinitesimal. En términos físicos, indica si en un punto el fluido se expande, se comprime o simplemente se redistribuye sin generar acumulación.

[math] \nabla \cdot \vec{v} = \dfrac{1}{\rho}\left( \dfrac{\partial (\rho v^{\rho})}{\partial \rho} + \dfrac{\partial (v^{\theta})}{\partial \theta} + \dfrac{\partial (r v^{z})}{\partial z} \right) = \begin{cases} \dfrac{1}{\rho}\left( 0 + \dfrac{\partial (22500\,\tfrac{\rho}{R^{2}})}{\partial \theta} + 0 \right) = 0, & \rho \in (0,250] \\ \dfrac{1}{\rho}\left( 0 + \dfrac{\partial (22500\,\tfrac{1}{\rho})}{\partial \theta} + 0 \right) = 0, & \rho \in (250,1000] \end{cases} [/math]

El resultado ∇·v = 0 en todo el dominio indica que el flujo es incompresible. Esto significa que no existen fuentes ni sumideros de masa dentro del campo de velocidad, de modo que el volumen de fluido que entra en cualquier región es exactamente igual al que sale. Una divergencia nula implica que la densidad del fluido permanece constante y que el movimiento observado corresponde únicamente a un transporte y redistribución del fluido, sin acumulación local ni expansión volumétrica.

En el contexto del vórtice considerado, esta condición asegura que, aunque el fluido experimente un fuerte movimiento horizontal, no hay flujo neto que comprima o dilate el fluido en la dirección radial o axial. Por tanto, el comportamiento del tornado puede modelarse adecuadamente bajo el supuesto de flujo incompresible, coherente con la estructura de un vórtice estacionario.

4.2 Rotacional del campo de velocidad

El rotacional del campo de velocidad permite cuantificar la vorticidad del flujo, es decir, el grado de rotación local que experimentan las partículas de fluido. En el vórtice de Rankine, este análisis muestra con claridad la diferencia entre el núcleo interno y la región exterior.

[math] \vec{\omega} = \nabla \times \vec{v} = \dfrac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ v_{\rho} & \rho v_{\theta} & v_{z} \end{vmatrix} = \begin{cases} \dfrac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ 0 & 22500 \dfrac{\rho^{2}}{R^{2}} & 0 \end{vmatrix} = \dfrac{1}{\rho} \dfrac{\partial}{\partial \rho} \left( 22500 \dfrac{\rho^2}{R^2} \right) \vec{e}_z = \dfrac{1}{\rho} \cdot 22500 \cdot \dfrac{2 \rho}{R^2} \vec{e}_z = \dfrac{45000}{R^2} \vec{e}_z, & \rho \in (0,250], \\ \dfrac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ 0 & 22500 \dfrac{\rho}{\rho} & 0 \end{vmatrix}= \dfrac{1}{\rho} \vec{0} = \vec{0}, & \rho \in (250,1000], \end{cases} z \in [0,z_0 = 2800] [/math]

Dentro del núcleo, el rotacional es constante y distinto de cero, lo que confirma que el flujo se comporta como una rotación sólida con vorticidad uniforme. Esta característica implica que todas las partículas giran con la misma velocidad angular, evidenciando una distribución perfectamente homogénea de la rotación. En la región exterior, el rotacional se anula, lo que indica un comportamiento totalmente irrotacional. En esta zona, el movimiento ya no es de rotación sólida, sino de tipo potencial, donde las partículas se desplazan siguiendo trayectorias circulares pero sin experimentar rotación local.

En conjunto, el rotacional permite distinguir con precisión ambas zonas: un núcleo con vorticidad constante y una envolvente externa sin vorticidad, caracterizando completamente la estructura del vórtice de Rankine en términos de su dinámica rotacional.

Representación gráfica del rotacional del campo de velocidades.

R = 250;
omega0 = 45000/R^2;

x = linspace(-300,300,25);
y = linspace(-300,300,25);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

Uz = zeros(size(X));
Uz(RHO < R) = omega0;

figure
quiver3(X,Y,zeros(size(X)), zeros(size(X)), zeros(size(Y)), Uz, 1.5, 'LineWidth',1.2)
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\omega_z')
title('Rotacional del campo de velocidad')
axis equal; grid on; view(30,30)
colormap turbo

4.3 Campo escalar |∇ × v|

El campo escalar asociado al rotacional representa la magnitud de la vorticidad en cada punto del flujo. En el vórtice de Rankine, este valor es constante dentro del núcleo y nulo en la región exterior, coherente con la estructura idealizada del modelo.

[math] \left\lvert \nabla \times \vec{v} \right\rvert = \left\lvert \frac{45000}{R^{2}}\,\vec{e}_{z} \right\rvert = \sqrt{\,0^{2} + 0^{2} + \left(\frac{45000}{R^{2}}\right)^{2}\,} = \sqrt{\left(\frac{45000}{R^{2}}\right)^{2}} = \frac{45000}{R^{2}} [/math]

En la zona interior, la magnitud del rotacional resulta ser un valor constante, lo que confirma que el flujo posee una vorticidad uniforme característica de una rotación sólida. Esto indica que la intensidad de la rotación es la misma en todo el núcleo. En la zona exterior, el campo escalar se anula, reflejando un movimiento irrotacional. En esta región no existe rotación local del fluido, a pesar de que las trayectorias sigan siendo circulares.

Este campo escalar permite visualizar de forma clara la distribución de la vorticidad en el vórtice de Rankine y delimitar con precisión la transición entre el núcleo rotante y la región exterior potencial.

R = 250; vR = 90;
Gamma = vR*2*pi*R;

xmax = 800; ymax = 800; N = 400;
x = linspace(-xmax, xmax, N);
y = linspace(-ymax, ymax, N);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);

omega = zeros(size(rho));
omega(rho <= R & rho>0) = Gamma/(pi*R^2);

figure('Color','w');
imagesc(x,y,omega)
axis equal tight; set(gca,'YDir','normal')
colormap(jet)
cb = colorbar; cb.Label.String = '\omega (1/s)'; cb.Label.FontSize = 12;

xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Magnitud de la vorticidad');

hold on
t = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(t), R*sin(t), '--k','LineWidth',1.5)

% Leyenda elegante
h1 = plot(NaN,NaN,'s','MarkerFaceColor','red','MarkerEdgeColor','k');
h2 = plot(NaN,NaN,'s','MarkerFaceColor','blue','MarkerEdgeColor','k');
legend([h1 h2], ...
       {['Núcleo: \omega = ', num2str(Gamma/(pi*R^2),'%.1f')], ...
        'Exterior: \omega = 0'}, ...
       'Location','northeast','Box','on','FontSize',11);

4.3.1 ¿Dónde está concentrada la vorticidad?

La vorticidad, como se observa tanto gráfica como analíticamente se encuentra concentrada en el núcleo ([math]\rho \gt R[/math]).

4.3.2 ¿Qué ocurre en la región exterior?

La región exterior del núcleo, ([math]\rho \le R[/math]) se denomina zona de flujo irrotacional porque, a pesar de existir velocidad tangencial, la vorticidad (rotación local) es nula.

4.4 Movimiento de una barca en un vórtice de Rankine

La vorticidad ([math]\vec{\omega}[/math]) es una magnitud fundamental en dinámica de fluidos que mide el grado de rotación local del fluido.

Físicamente indica cuánto giran las partículas de fluido alrededor de su propio centro mientras se desplazan. Esto no debe confundirse con la trayectoria que sigue el fluido ya que una partícula puede estar describiendo un círculo alrededor del centro del vórtice pero aun así puede no estar girando sobre sí misma.

El modelo de Rankine combina dos comportamientos distintos del fluido:

• Dentro del núcleo ([math]\rho \le R[/math]) el fluido se comporta como un cuerpo rígido donde todas las partículas rotan con la misma velocidad angular.
  Por ello, la vorticidad es constante y estrictamente positiva ([math]\omega = \text{cte} \gt 0[/math]).
  Para una barca pequeña, idealizada como una partícula, esto implica que se desplaza describiendo un círculo alrededor del centro del vórtice y además gira sobre sí misma de manera continua y en sentido coincidente con el sentido del vórtice (antihorario para [math]\omega\gt0[/math]).

• Fuera del núcleo ([math]\rho \gt R[/math]) el fluido ya no se comporta como un sólido ya que la velocidad angular disminuye con la distancia y el flujo se vuelve irrotacional. Por lo tanto la vorticidad es [math]\omega = 0[/math].
  Esto significa que el fluido sigue moviéndose formando un vórtice y la barca continúa siguiendo trayectorias circulares alrededor del centro. Sin embargo no gira sobre sí misma.

5 Campo de presión y gradiente

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por:
[math] p(\rho,z) = \begin{cases} P_{0} + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\,v_{\theta}^{2}(\rho) - \rho_{\text{aire}}\,g\,z, & \rho \le R,\\[6pt] P_{\infty} - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\,v_{\theta}^{2}(\rho) - \rho_{\text{aire}}\,g\,z, & \rho \gt R, \end{cases} \qquad \rho \in [0,1000]\,\text{m},\; z \in [0,z_{0}] = [0,2800]\,\text{m} [/math]
Considerando \( P_{0}=92000\,\text{Pa},\ P_{\infty}=101325\,\text{Pa},\ \rho_{\text{aire}}=1.225\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}\ \text{y}\ g = 9.8\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \)

5.1 Campo de presión

El campo de presión describe cómo varía la presión en función de la distancia radial y de la altura dentro del vórtice. En el vórtice de Rankine, esta distribución se divide en dos zonas bien diferenciadas.

[math] p(\rho,z) = \begin{cases} 92000 + \dfrac{3969}{50000}\,\rho^{2} - \dfrac{2401}{200}\, z = 92000 + 0{,}07938\,\rho^{2} - 12{,}005\,z, & \rho \in [0,250],\\[6pt] 101325 - \dfrac{310078125}{\rho^{2}} - \dfrac{2401}{200}\, z = 101325 - \dfrac{310078125}{\rho^{2}} - 12{,}005\,z, & \rho \in (250,1000], \end{cases} \qquad z \in [0,2800] [/math]

En el núcleo interior, la presión aumenta con el radio debido al régimen de rotación sólida. La aceleración centrífuga crece linealmente con la distancia al centro generando un incremento cuadrático del campo de presión. Además, la presión disminuye con la altura siguiendo el balance hidrostático.

En la región exterior, donde el flujo es potencial, el aumento de presión con el radio continúa, aunque con un gradiente mucho menor que en el núcleo ya que la velocidad tangencial disminuye como 1/ρ. El descenso vertical con la altura continúa debiéndose a la relación hidrostática.

Este campo de presión permite identificar el equilibrio entre las fuerzas centrífugas y el gradiente de presión, caracterizando la estructura del vórtice y diferenciando claramente la zona de rotación sólida de la región irrotacional exterior.

Mapa de colores sobre una sección vertical que pasa por el eje del vórtice.

R     = 250;
vR    = 90;    
Gamma = 2*pi*R*vR;
P0    = 92000;  % Pa
Pinf  = 101325; % Pa
rho_air = 1.225;
g     = 9.81;

rho_max = 1000; z0 = 2800;
Nr = 500; Nz = 300;

rho = linspace(0, rho_max, Nr);
z   = linspace(0, z0, Nz);
[RHO,Z] = meshgrid(rho,z);

p = presion(RHO, Z, R, Gamma, P0, Pinf, rho_air, g);
p_hPa = p/100;

figure;
imagesc(rho, z, p_hPa);
set(gca,'YDir','normal'); axis tight
xlabel('\rho (m)'); ylabel('z (m)');
title('Campo de presión p(\rho,z) [hPa]');
colormap(jet); colorbar

hold on
contour(rho, z, p_hPa, 15, 'k');

function p = presion(rho, z, R, Gamma, P0, Pinf, rho_air, g)
    p = zeros(size(rho));
    inside = (rho <= R);
    p(inside)  = P0 + 0.5*rho_air*(Gamma*rho(inside)/(2*pi*R^2)).^2 ...
                     - rho_air*g*z(inside);
    p(~inside) = Pinf - 0.5*rho_air*(Gamma./(2*pi*rho(~inside))).^2 ...
                     - rho_air*g*z(~inside);
end

5.2 Caída de presión entre el exterior y el centro del ojo en el suelo (comparativa entre la presión ideal y real)

• Caída de presión ideal mediante el modelo de Rankine:

[math] \Delta p = p(R^+,0) - p(0,0) = 101325 + \frac{310078125}{R^{+^2}} - 92000 = 4363{,}75\ \text{ Pa} [/math]

Se ha utilizado la ecuación del campo de presión correspondiente a [math]\rho \in (250, 1000][/math] para [math] p(R^+,0) [/math] porque [math] R^+ [/math] indica justo fuera del núcleo y, por ello, el límite por la derecha de [math]\rho = 250[/math].

• Caída de presión real:

[math] p_\infty - p_0 = 101325 - 92000 = 9325\ \text{ Pa} [/math]

Como se puede observar, el valor real de la caída de presión es significativamente mayor al calculado usando la expresión del vórtice de Rankine. Esto se debe a las limitaciones del modelo.

5.2.1 Limitaciones

• El modelo asume una distribución de velocidad tangencial puramente horizontal ([math]v_\theta[/math]) y simétrica.
• Además, el modelo de Rankine no considera la extensión completa del campo de baja presión del vórtice ya que solo calcula la presión entre el borde del núcleo y el centro. Sin embargo, en un fenómeno atmosférico real la caída de presión se mide desde la presión atmosférica estándar lejana y esta es diferente a la del borde del núcleo.
• Por otro lado, el modelo de Rankine es una solución idealizada y no viscosa que omite la fricción y, por ende, elimina el desequilibrio de fuerzas que genera el flujo de aire crucial para mantener y generar la baja presión extrema en el centro del vórtice (aunque en el caso concreto de z=0 las presiones en el centro del vórtice coincidan)

5.2.2 Cálculo del error

La fórmula general para el error relativo es:

[math]\mathrm{Error\ Relativo}(\%)=\frac{|\Delta P_{\mathrm{Real}}-\Delta p_{\mathrm{Rankine}}|}{\Delta P_{\mathrm{Real}}}\times100[/math]

Sustituyendo los valores:

[math]\mathrm{Error\ Relativo}(\%)=\frac{|9325\ \mathrm{Pa}-4363.75\ \mathrm{Pa}|}{9325\ \mathrm{Pa}}\times100 = 53.20 [/math]

Por tanto, la discrepancia entre la caída de presión real y la predicha por el modelo de Rankine corresponde a un error relativo del 53.20%.

Los modelos meteorológicos modernos buscan errores en la presión central que sean a lo sumo del 5% al 10% para ser considerados fiables en el pronóstico. Un error del 53% es totalmente inaceptable en la práctica meteorológica.

5.3 Gradiente de presión

El gradiente de presión describe la dirección y la intensidad de las fuerzas que actúan sobre el fluido debidas a variaciones espaciales de la presión.

[math] \nabla p(\rho,z) = \frac{\partial p}{\partial \rho}\,\hat{e}_{\rho} \;+\; \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial \theta}\,\hat{e}_{\theta} \;+\; \frac{\partial p}{\partial z}\,\hat{e}_{z} = \begin{cases} 0{,}15876\,\rho \hat{e}_{\rho} - 12{,}005\ \hat{e}_{z}, & \text{si }\rho \in [0,250] \\[4pt] \dfrac{620156250}{\rho^{3}} \hat{e}_{\rho} - 12{,}005\ \hat{e}_{z}, & \text{si }\rho \in (250,1000] \end{cases} \quad \text{con } z \in [0,2800] [/math]

Gradiente de presión sobre sección vertical pasante por el eje.

R = 250; vR = 90;
rho_air = 1.225; g = 9.81;
Gamma = 2*pi*R*vR;

x = linspace(-1000, 1000, 50);
z = linspace(0, 3000, 50);
[X,Z] = meshgrid(x,z);

% Gradiente radial
dPdr = rho_air*Gamma^2 ./ (4*pi^2*X.^3);
dPdr(abs(X)<250)  = rho_air*(Gamma/(2*pi*R^2)).^2 .* X(abs(X)<250);

% Gradiente vertical
dPdz = -rho_air*g*ones(size(Z));

figure
quiver(X,Z,dPdr,dPdz,'r')
xlabel('x [m]'); ylabel('z [m]')
title('Gradiente de presión')
axis equal; grid on
axis([-500,500,0,1000])
xticks(-500:100:500)

5.3.1 Análisis del gradiente de presión

A lo largo del modelo de vórtice de Rankine el gradiente varía de la siguiente forma:
Dentro del núcleo \( \rho \in [0,250] \):

• cuando \( \frac{12{,}005}{0{,}15876} = 75{,}617 > \rho \), el gradiente de presión es negativo.
• cuando \( \frac{12{,}005}{0{,}15876} = 75{,}617 < \rho \), el gradiente de presión es positivo.

Fuera del núcleo \( \rho \in (250,1000] \):

• cuando \( \frac{\sqrt[3]{620156250}}{12{,}005} = 372{,}431 > \rho \), el gradiente de presión es positivo.
• cuando \( \frac{\sqrt[3]{620156250}}{12{,}005} = 372{,}431 < \rho \), el gradiente de presión es negativo.

El gradiente de presión es máximo en la frontera del núcleo (\( \rho = 250 \)):

[math] \lim_{x \to 250^-} \nabla p(\rho,z) = 0,15876 \times 250 - 12,005 = 27,685 [/math]

[math] \lim_{x \to 250^+} \nabla p(\rho,z) = 620156250 / 250^3 - 12,005 = 27,685 [/math]

[math] \lim_{x \to 250^-} \nabla p(\rho,z) = \lim_{x \to 250^+} \nabla p(\rho,z) = \nabla p(250,z) = 27,685 [/math]

Además, el gradiente de presión en el centro del núcleo (\( \nabla p(0,z) = 0{,}15876 \cdot 0 - 12{,}005 = -12{,}005 \)) muestra cómo en el ojo del vórtice la presión disminuye rápidamente y, por ende, se califica como una zona de depresión a la que el aire es atraído.

Por otro lado la presión es constante y, por ende, la fuerza nula, en \( \rho = 75{,}617 \) y \( \rho = 372{,}431 \).

En un sentido físico, el gradiente de presión apunta predominantemente hacia el centro del vórtice porque la presión es mínima en su núcleo. Esto genera una fuerza centrípeta que atrae el aire radialmente hacia el ojo del vórtice. En el núcleo, la rotación sólida permite que el gradiente de presión y la aceleración centrífuga se equilibren, manteniendo un flujo estable y acelerado hacia el centro.

En el exterior, la disminución de la velocidad tangencial y el gradiente de presión ajustan el equilibrio con la aceleración centrífuga, evitando el colapso del flujo pero manteniendo la atracción hacia el ojo del tornado.

Además, el componente vertical permanece constante asociado al equilibrio hidrostático.

5.4 Representación superficies isobáricas

Las superficies isobáricas, definidas como aquellas donde la presión se mantiene constante (p = cte), se muestran para p = 95 000 Pa, 97 000 Pa, 99 000 Pa y 100 000 Pa, tanto en su representación tridimensional como en su sección vertical.

Representación 3D de las superficies isobáricas.

Sección vertical de las superficies isobáricas.

R = 250; vR = 90; z0 = 2800;
P0 = 920e2; Pinf = 1013e2;
rho_air = 1.225; g = 9.81;

Gamma = 2*pi*R*vR;

rho3 = linspace(1,1500,200);
theta3 = linspace(0,2*pi,200);
z3 = linspace(0,z0,200);
[RHO3, TH3, Z3] = meshgrid(rho3,theta3,z3);

X = RHO3.*cos(TH3);
Y = RHO3.*sin(TH3);
Z = Z3;

vtheta3 = zeros(size(RHO3));
vtheta3(RHO3 <= R) = Gamma/(2*pi*R^2).*RHO3(RHO3<=R);
vtheta3(RHO3 > R) = Gamma./(2*pi*RHO3(RHO3>R));

p3 = zeros(size(RHO3));
p3(RHO3 <= R) = P0 + 0.5*rho_air*vtheta3(RHO3<=R).^2 - rho_air*g*Z3(RHO3<=R);
p3(RHO3 > R)  = Pinf - 0.5*rho_air*vtheta3(RHO3>R).^2 - rho_air*g*Z3(RHO3>R);

isob = [950 970 990 1000]*100;
colors = lines(length(isob));

%% Figura 1: 3D
figure; hold on
for k = 1:length(isob)
    fv = isosurface(X,Y,Z,p3,isob(k));
    patch(fv,'FaceColor',colors(k,:),'EdgeColor','none','FaceAlpha',0.6);
end
xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)'); zlabel('z (m)');
title('Superficies isobáricas');
axis equal; view(35,20); camlight; lighting gouraud; grid on

%% Figura 2: Sección vertical
rho2 = linspace(1,1500,500);
z2 = linspace(0,z0,500);
[RHO2,Z2] = meshgrid(rho2,z2);

vtheta2 = zeros(size(RHO2));
vtheta2(RHO2 <= R) = Gamma/(2*pi*R^2).*RHO2(RHO2<=R);
vtheta2(RHO2 > R) = Gamma./(2*pi*RHO2(RHO2>R));

p2 = zeros(size(RHO2));
p2(RHO2 <= R) = P0 + 0.5*rho_air*vtheta2(RHO2<=R).^2 - rho_air*g*Z2(RHO2<=R);
p2(RHO2 > R)  = Pinf - 0.5*rho_air*vtheta2(RHO2>R).^2 - rho_air*g*Z2(RHO2>R);

figure; hold on
for k = 1:length(isob)
    contour(RHO2,Z2,p2,[isob(k) isob(k)],'LineWidth',2,'Color',colors(k,:));
end
xlabel('ρ (m)'); ylabel('z (m)');
title('Sección vertical de las isobaras');
grid on

5.5 Fuerza neta sobre un área

La depresión en el núcleo del tornado genera fuerzas destructivas, la fuerza neta estimada hacia el centro sobre la fachada de una pequeña edificación, de área 𝐴 = 50 m², situada a una distancia 𝜌 = 3 4𝑅 del eje, considerando que la fachada está orientada perpendicularmente al flujo radial del tornado: [math] F = A \int_{3R/4}^{R} \nabla p \, d\rho = 50 \int_{3R/4}^{R} 0{,}15876\,\rho \, d\rho = 50 \left[ 0{,}15876 \,\frac{\rho^{2}}{2} \right]_{3R/4}^{R} = 3{,}969 \left( R^{2} - \frac{9}{16}R^{2} \right) = 3{,}969 \cdot \frac{7}{16} R^{2} = 1{,}7364375 \cdot 250^{2} = 108527{,}3438 \,\text{N} \approx 108{,}5\,\text{kN} \approx 10{,}85 \, t_{f} [/math]

Como la fachada es plana y está colocada perpendicular al flujo radial, lo único que importa es la componente radial del gradiente de presión, es decir, ∂p/∂ρ, porque es la que realmente actúa de forma normal sobre la superficie. La fuerza que obtenemos refleja cómo la zona de baja presión del centro del tornado afecta a una fachada que queda expuesta. En un vórtice tipo Rankine, la presión va bajando según te acercas al eje debido a la aceleración centrífuga del flujo, así que entre los radios 3R y R/4 aparece una diferencia de presión que empuja hacia dentro del vórtice.

Cuando la fachada está directamente enfrentada al flujo radial, esa diferencia de presión se convierte en una fuerza que “succiona” la estructura hacia el centro del tornado. El valor obtenido muestra que, aunque la superficie no sea muy grande, la depresión del vórtice puede generar cargas importantes, suficientes para dañar muros ligeros o paneles que no estén bien reforzados.

En resumen, esta fuerza nos permite cuantificar cómo la baja presión del núcleo del tornado afecta a un edificio, y deja claro que el gradiente de presión es uno de los factores que más contribuyen a los daños estructurales en fenómenos de este tipo.

6 Póster científico

https://www.canva.com/design/DAG6wP3g-lw/mhYthTreXbndRxpHFIymcg/view?utm_content=DAG6wP3g-lw&utm_campaign=designshare&utm_medium=link2&utm_source=uniquelinks&utlId=h21e7e20002

7 Bibliografía

Geofísica UNAM. (s.f.). Vorticidad y circulación. Universidad Nacional Autónoma de México
http://gmc.geofisica.unam.mx/MFluidos/content/U02Cinematica/VorticidadCirculacion.html

Blanco, F., Pérez Ipiña, J. M., & Zacarías, S. (2015, 7 de julio). Análisis del campo de velocidades alrededor de un vórtice en fluidos viscosos. Universidad de Buenos Aires:
https://stefani-lab.ar/wp-content/uploads/Informe-Fluidos-Blanco-Perez-Ipi%C3%B1a-Zacarias.pdf

Fundación Aquae. (2021, 25 de agosto). ¿Qué es y cómo se forma un tornado?:
https://www.fundacionaquae.org/wiki/como-se-forma-tornado/

Sposob, G. (2025, 16 de septiembre). Fenómenos atmosféricos. Enciclopedia Concepto:
https://concepto.de/fenomenos-atmosfericos/