Diferencia entre revisiones de «Onda transversal plana (Grupo 54)»

Revisión del 20:51 6 dic 2025

CORREGIR TITULO MAL PUESTO En este documento representaremos la sección longitudinal de un arco comprendido entre los radios [math]1\lt\sqrt{x^2+y^2}\lt2[/math] Supondremos que están definidas dos cantidades físicas.

• La Temperatura
• Los Desplazamientos

La temperatura [math]T(x, y)[/math] viene dada por la ecuación:

Los desplazamientos [math]u(x, y)[/math] producidos por la acción de una fuerza determinada.

1 Mallado

A continuación podemos ver la representación del mallado que contiene a los puntos interiores del sólido realizado con MatLab.

Tomamos como ejes \((x,y) ∈ [0,4] × [-\frac{1}{2} , \frac{1}{2}]\) y un paso de muestreo, es decir, el intervalo entre punto y punto, [math]h=\frac{1}{10}[/math] para las variables [math]x[/math] e [math]y[/math].

% Radios del arco
r1 = 1;
r2 = 2;
%Divisores
Nr = 10;
Nt = 40;
%Crear vectores
r = linspace (r1, r2, Nr+1);
theta = linspace(0, pi, Nt+1);
%Mallado
figure;
hold on;
axis equal; 
title('Mallado');
xlabel('x');
ylabel('y');
%Lineas radiales
for i = 1:length(r)
     x = r(i) * cos(theta);
     y = r(i) * sin(theta);
     plot(x, y, 'k'); 
end 
for j = 1:length(r)
     x = r(i) * cos(theta);
     y = r(i) * sin(theta);
     plot(x, y, 'g'); 
end 

grid on;

2 Temperatura

La temperatura viene dada por la siguiente expresión [math] T(x,y) = (x - y)^2 [/math], que depende únicamente de x e y.

La temperatura del sólido proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Supongamos que la conocemos y está dada por

[math] T(\rho,\theta) = -\log\!\big((\rho - 1)^2 + 0.1\big). [/math]

r1 = 1;           
r2 = 2; 
% divisiones radiales        
Nr = 10; 
% divisiones angulares         
Nt = 60;          
r = linspace(r1, r2, Nr+1);
theta = linspace(0, pi, Nt+1);
[R, TH] = meshgrid(r, theta);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
%Calcular la temperatura T = (x - y)^2
T = (X - Y).^2;
%Grafica de la temperatura
figure;
pcolor(X, Y, T);
shading interp;
colorbar;
axis equal;
title('Temperatura T = (x - y)^2 en el semiarco');
xlabel('x');
ylabel('y');

3 [math]\nabla T[/math]

Cálculo [math]\nabla T[/math] 

Dado

[math] T(\rho,\theta) = -\log\!\big((\rho - 1)^2 + 0.1\big), [/math]

como [math]T[/math] solo depende de [math]\rho[/math], su derivada parcial respecto a [math]\theta[/math] es nula. En coordenadas cilíndricas (2D), la fórmula del gradiente es

[math] \nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial T}{\partial \theta}\,\vec{e}_\theta . [/math]

Por tanto aquí

[math] \frac{\partial T}{\partial \theta} = 0, \qquad \frac{\partial T}{\partial \rho} = -\,\frac{2(\rho - 1)}{(\rho - 1)^2 + 0.1}. [/math]

Así,

[math] \nabla T(\rho,\theta) = -\,\frac{2(\rho - 1)}{(\rho - 1)^2 + 0.1}\,\vec{e}_\rho. [/math]

Si necesitamos las componentes en coordenadas cartesianas (para plot), [math]\vec{e}_\rho = (\cos\theta,\;\sin\theta)[/math],

por lo que

[math] \nabla T_x = -\,\frac{2(\rho - 1)}{(\rho - 1)^2 + 0.1}\cos\theta, \qquad \nabla T_y = -\,\frac{2(\rho - 1)}{(\rho - 1)^2 + 0.1}\sin\theta. [/math]

Calcularemos [math]\nabla T[/math] y se dibujara a como un campo vectorial, representado a través de Matlab.

r1 = 1;          
r2 = 2;           
Nr = 10;           
Nt = 60;        
r = linspace(r1, r2, Nr+1);
theta = linspace(0, pi, Nt+1);
[R, TH] = meshgrid(r, theta);
%Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);

T = (X - Y).^2;
figure; 
pcolor(X, Y, T);
shading interp;
colorbar;
axis equal;
title('Gradiente');
xlabel('x');
ylabel('y');

%Gradiente en coord enadas cartesianas
dTdx = 2 * (X - Y);     
dTdy = -2 * (X - Y);    

hold on;
% Curvas de nive
contour(X, Y, T, 15, 'k', 'LineWidth', 0.8);
quiver(X(1:step:end,1:step:end), Y(1:step:end,1:step:end), ...
       dTdx(1:step:end,1:step:end), dTdy(1:step:end,1:step:end), ...
       0.6, 'r', 'LineWidth', 1);

legend({'Mapa T (pcolor)','Curvas de nivel','Gradiente \nabla T'}, 'Location','best');
hold off;

4 Campo de vectores

Consideramos ahora el campo de vectores [math]\vec{u} = \frac{\cos(\pi y)}{10}\,\vec{i}[/math].

5 Desplazamiento antes y después

6 Divergencia

Calcular la [math]\nabla \cdot \vec{u}[/math] en todos los puntos del sólido y dibujarla.

Fórmula de la divergencia en cilíndricas:

Para un campo [math]\vec{u} = u_r(r,\varphi,z)\,\hat{e}_r + u_\varphi(r,\varphi,z)\,\hat{e}_\varphi + u_z(r,\varphi,z)\,\hat{e}_z[/math], la divergencia viene dada por

[math] \nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r\,u_r\right) + \frac{1}{r}\frac{\partial u_\varphi}{\partial \varphi} + \frac{\partial u_z}{\partial z}. [/math]

En nuestro caso [math]u_\varphi = 0[/math] y [math]u_z = 0[/math], por tanto

[math] \nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\,u_r(r)\right). [/math]

Sustitución de [math]u_r[/math]

Tenemos [math]u_r(r) = \tfrac{1}{5}(r - 1)r = \tfrac{1}{5}(r^2 - r)[/math]. Calculemos [math]r\,u_r[/math]:

[math] r\,u_r = r \cdot \tfrac{1}{5}(r^2 - r) = \tfrac{1}{5}(r^3 - r^2). [/math]

Derivando respecto a [math]r[/math]:

[math] \frac{d}{dr}(r\,u_r) = \tfrac{1}{5}(3r^2 - 2r). [/math]

Dividiendo por [math]r[/math]:

[math] \nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{r} \cdot \tfrac{1}{5}(3r^2 - 2r) = \tfrac{1}{5}(3r - 2). [/math]

Así que la expresión cerrada de la divergencia es

[math] \nabla \cdot \vec{u}(r) = \tfrac{1}{5}(3r - 2), [/math]

válida para todo punto del dominio (independiente de [math]\varphi[/math] y [math]z[/math]).

Análisis en el dominio [math]r \in [1,2][/math]

• Es una función lineal creciente en [math]r[/math].
• En [math]r = 1[/math]:

[math] \nabla \cdot \vec{u}(1) = \tfrac{1}{5}(3 - 2) = \tfrac{1}{5} = 0.2. [/math]

• En [math]r = 2[/math]:

[math] \nabla \cdot \vec{u}(2) = \tfrac{1}{5}(6 - 2) = \tfrac{4}{5} = 0.8. [/math]

Por tanto, **los puntos con mayor divergencia** son los del **borde exterior** [math]r = 2[/math] (la divergencia crece con [math]r[/math]).

La divergencia es positiva en todo el anillo, lo que indica expansión local (aumento de volumen/área local) producida por el desplazamiento radial.

Interpretación del resultado

[math]\nabla \cdot \vec{u} \gt 0[/math] implica que localmente el material se está “dilatando” (aumento de volumen/área). Al ser la divergencia independiente de [math]\varphi[/math], todas las direcciones angulares a un mismo radio tienen la misma dilatación; la dilatación máxima ocurre en [math]r = 2[/math].

Código MATLAB: XXX

7 Rotacional

Calcular [math]\lvert \nabla \times \vec{u} \rvert[/math] en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

Rotacional en coordenadas cilíndricas

[math] \nabla \times \vec{u} = \left( \frac{1}{r}\frac{\partial u_z}{\partial \varphi} - \frac{\partial u_\varphi}{\partial z} \right)\hat{e}_r \;+\; \left( \frac{\partial u_r}{\partial z} - \frac{\partial u_z}{\partial r} \right)\hat{e}_\varphi \;+\; \left( \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r\,u_\varphi) - \frac{1}{r}\frac{\partial u_r}{\partial \varphi} \right)\hat{e}_z. [/math]

Sustitución de nuestro campo

En nuestro caso [math]u_\varphi \equiv 0[/math], [math]u_z \equiv 0[/math], y [math]u_r[/math] depende sólo de [math]r[/math] (no depende de [math]\varphi[/math] ni de [math]z[/math]). Por tanto:

• [math](\nabla \times \vec{u})_r = \frac{1}{r}\frac{\partial 0}{\partial \varphi} - \frac{\partial 0}{\partial z} = 0.[/math]

• [math](\nabla \times \vec{u})_\varphi = \frac{\partial u_r}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial r} = 0 - 0 = 0.[/math] (porque [math]u_r[/math] no depende de [math]z[/math])

• [math](\nabla \times \vec{u})_z = \frac{1}{r}\left(\frac{\partial}{\partial r}(r \cdot 0) - \frac{\partial u_r}{\partial \varphi}\right) = \frac{1}{r}(0 - 0) = 0.[/math] (porque [math]u_\varphi = 0[/math] y [math]u_r[/math] no depende de [math]\varphi[/math])

Por tanto:

[math] \nabla \times \vec{u}(r,\varphi) = \vec{0} [/math]

en todo el dominio.

Módulo del rotacional y puntos con mayor rotacional

El módulo es

[math]\lvert \nabla \times \vec{u} \rvert = 0[/math]

en todos los puntos. No hay puntos con mayor rotacional: el campo es irrotacional en todo el anillo.

Interpretación del resultado

Un campo puramente radial que depende sólo del radio (sin componente angular ni variación angular) suele ser irrotacional — no existe circulación local alrededor de los puntos. Aquí la deformación es expansión radial (ya vimos que la divergencia es positiva), pero sin giro local.

Código MATLAB: XXX

8 Tensiones normales en la dirección [math]\vec{e}_\rho \; y \; \frac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta[/math]

9 Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a [math]\vec{e}_\rho[/math]

Dibujar las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a [math]\vec{e}_\rho[/math], es decir

[math] \left|\, \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\; (\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho)\,\vec{e}_\rho \,\right| [/math].

¿Dónde son mayores? Compáralas con los puntos de mayor deformación de la malla.

La cantidad pedida es la magnitud del componente tangencial del vector tensión (traction) sobre la superficie cuya normal es [math]\vec{e}_\rho[/math].

El vector traction sobre la superficie normal [math]\vec{n} = \vec{e}_\rho[/math] es

[math] \vec{t} = \sigma \cdot \vec{e}_\rho . [/math]

Su componente normal es [math](\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho)\,\vec{e}_\rho[/math]. Por tanto, el componente tangencial (vector) es

[math] \vec{t}_{\text{tan}} = \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\; (\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho)\,\vec{e}_\rho , [/math]

y la magnitud pedida es [math]\lVert \vec{t}_{\text{tan}} \rVert[/math].

Cálculo en coordenadas cilíndricas

En la resolución anterior obtuvimos el tensor de tensiones en la base polar ([math]\vec{e}_\rho[/math], [math]\vec{e}_\theta[/math]) (componentes locales):

[math] \sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \sigma_{\rho\rho} & \sigma_{\rho\theta} \\ \sigma_{\theta\rho} & \sigma_{\theta\theta} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{7\rho - 4}{5} & 0 \\ 0 & \dfrac{5\rho - 4}{5} \end{pmatrix}, [/math]

es decir [math]\sigma_{\rho\theta} = \sigma_{\theta\rho} = 0[/math].

Entonces

[math] \sigma \cdot \vec{e}_\rho = \sigma_{\rho\rho}\,\vec{e}_\rho + \sigma_{\theta\rho}\,\vec{e}_\theta = \sigma_{\rho\rho}\,\vec{e}_\rho + 0 \cdot \vec{e}_\theta, [/math]

y

[math] (\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho)\,\vec{e}_\rho = \sigma_{\rho\rho}\,\vec{e}_\rho. [/math]

Por tanto el vector tangencial es

[math] \vec{t}_{\text{tan}} = \sigma \cdot \vec{e}_\rho - \sigma_{\rho\rho}\,\vec{e}_\rho = \vec{0}, [/math]

y su magnitud es

[math] \left\|\, \sigma \cdot \vec{e}_\rho - (\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho)\,\vec{e}_\rho \,\right\| = 0 \quad \text{en todo el dominio}. [/math]

Conclusión: las tensiones tangenciales sobre las superficies normales a [math]\vec{e}_\rho[/math] son nulas en todos los puntos del dominio (para el campo [math]\vec{u}[/math] dado).

¿Dónde son mayores?

Dado que la magnitud del componente tangencial es exactamente cero en todo el dominio, no hay puntos donde sean mayores: son nulas en todo el arco.

Por consiguiente, no hay correlación con los puntos de mayor deformación de la malla — las mayores deformaciones radiales existen en [math]\rho = 2[/math] (o crecen con [math]\rho[/math]), pero las tensiones tangenciales pedidas son cero en todas partes.

Comparación

• La magnitud de la tensión tangencial pedida,

[math] \left\| \sigma \cdot \vec{e}_\rho - (\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho)\,\vec{e}_\rho \right\| [/math]

resulta exactamente cero en todo el dominio (por [math]\sigma_{\rho\theta} = 0[/math] en la base polar).

⇒ No hay puntos donde las tensiones tangenciales sean mayores; son nulas en todas partes.

• Las deformaciones (componentes del tensor [math]\varepsilon[/math]) son no nulas y aumentan con [math]\rho[/math]. En particular,

[math] \varepsilon_{\rho\rho} = \frac{2\rho - 1}{5}, \qquad \varepsilon_{\theta\theta} = \frac{\rho - 1}{5}. [/math]

Conclusión

Las mayores deformaciones (ocurren en el borde exterior [math]\rho = 2[/math]) no coinciden con mayores tensiones tangenciales, porque estas son nulas en todo el arco. No hay correlación en este caso concreto: la deformación radial crece con [math]\rho[/math], pero la componente tangencial del traction es cero por la simetría del campo.

Código MATLAB: XXX

10 Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a [math]\frac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta[/math]

(Dibujar las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a [math]\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta[/math], es decir

[math] \left| \,\sigma \cdot \left(\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta\right) \;-\; \left( \left(\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta\right) \cdot \sigma \cdot \left(\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta\right) \right) \left(\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta\right) \right| [/math].

¿Dónde son mayores? Compáralas con los puntos de mayor deformación de la malla.

Del apartado anterior (coordenadas cilíndricas) tenemos, en la base ([math]\vec{e}_\rho[/math], [math]\vec{e}_\theta[/math]),

[math] \sigma = \begin{pmatrix} \sigma_{\rho\rho} & 0 \\ 0 & \sigma_{\theta\theta} \end{pmatrix}, \qquad \sigma_{\rho\rho} = \frac{7\rho - 4}{5}, \qquad \sigma_{\theta\theta} = \frac{5\rho - 4}{5}. [/math]

El vector unitario tangencial escalado que aparece en el enunciado es

[math] \vec{m} = \frac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta . [/math]

Cálculo del vector tangencial

Primero calculamos [math]\sigma \cdot \vec{m}[/math]. En componentes (polar) [math]\vec{m} = (0,\;1/\rho)[/math], por lo que

[math] \sigma \cdot \vec{m} = \sigma_{\rho\rho} \cdot 0 \,\vec{e}_\rho + \sigma_{\theta\theta} \cdot \frac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta = \frac{\sigma_{\theta\theta}}{\rho}\,\vec{e}_\theta. [/math]

El escalar [math]\vec{m}\cdot\sigma\cdot\vec{m}[/math] es

[math] \vec{m}\cdot\sigma\cdot\vec{m} = \frac{1}{\rho}\vec{e}_\theta \cdot \left(\frac{\sigma_{\theta\theta}}{\rho}\vec{e}_\theta\right) = \frac{\sigma_{\theta\theta}}{\rho^2}. [/math]

Por tanto

[math] (\vec{m}\cdot\sigma\cdot\vec{m})\,\vec{m} = \frac{\sigma_{\theta\theta}}{\rho^2} \cdot \frac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta = \frac{\sigma_{\theta\theta}}{\rho^3}\,\vec{e}_\theta. [/math]

La diferencia vectorial (componente tangencial del traction respecto al plano ortogonal a [math]\tfrac{1}{\rho}\vec{e}_\theta[/math]) es:

[math] \sigma \cdot \vec{m} - (\vec{m}\cdot\sigma\cdot\vec{m})\,\vec{m} = \frac{\sigma_{\theta\theta}}{\rho}\vec{e}_\theta - \frac{\sigma_{\theta\theta}}{\rho^3}\vec{e}_\theta = \sigma_{\theta\theta}\left(\frac{1}{\rho} - \frac{1}{\rho^3}\right)\vec{e}_\theta . [/math]

La magnitud pedida (valor absoluto) es, por tanto,

[math] \left\|\sigma \cdot \vec{m} - (\vec{m}\cdot\sigma\cdot\vec{m})\,\vec{m}\right\| = \left|\sigma_{\theta\theta}\right|\, \frac{\rho^2 - 1}{\rho^3}. [/math]

Sustituyendo [math]\sigma_{\theta\theta} = (5\rho - 4)/5[/math], obtenemos la expresión final:

[math] T(\rho) = \frac{5\rho - 4}{5} \cdot \frac{\rho^2 - 1}{\rho^3} = \frac{(5\rho - 4)(\rho^2 - 1)}{5\rho^3}. [/math]

Observa que [math]T(\rho)[/math] depende solo de [math]\rho[/math] (simetría angular).

¿Dónde son mayores?

• Para [math]\rho \in [1,2][/math], la función [math]T(\rho)[/math] se anula en [math]\rho = 1[/math] y es positiva para [math]\rho \gt 1[/math].
• Evaluando en el extremo exterior [math]\rho = 2[/math]:

[math] T(2) = \frac{(5\cdot 2 - 4)(2^2 - 1)}{5\cdot 2^3} = \frac{(10 - 4)\cdot 3}{40} = \frac{18}{40} = 0.45. [/math]

Un análisis numérico muestra que [math]T(\rho)[/math] crece monótonamente en [math][1,2][/math] y alcanza su máximo en [math]\rho = 2[/math].

• Las deformaciones calculadas eran:

[math] \varepsilon_{\rho\rho} = \frac{2\rho - 1}{5}, \qquad \varepsilon_{\theta\theta} = \frac{\rho - 1}{5}, [/math]

ambas crecen con [math]\rho[/math] en [math][1,2][/math] y alcanzan sus valores máximos en [math]\rho = 2[/math].

Comparación

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a [math]\tfrac{1}{\rho}\vec{e}_\theta[/math] son máximas en el borde exterior [math]\rho = 2[/math], coincidiendo con los puntos de mayor deformación (también en el borde exterior). Es decir, en este caso los máximos de [math]T(\rho)[/math] y de las deformaciones ocurren ambos en [math]\rho = 2[/math].

Código MATLAB: XXX

11 Densidad

Si la densidad de la placa viene dada por

[math] d(\rho,\theta) = 1 + e^{\rho^2}\cos\theta, [/math]

calcular la masa aproximando la integral numéricamente.

El dominio es la media luna [math]\rho \in [1,2][/math], [math]\theta \in [0,\pi][/math] (misma geometría de los apartados anteriores).

La masa [math]M[/math] se obtiene integrando la densidad sobre el área (usar coordenadas polares, elemento de área [math]dA = \rho\, d\rho\, d\theta[/math]):

[math] M = \int_{\theta=0}^{\pi} \int_{\rho=1}^{2} \left( 1 + e^{\rho^2}\cos\theta \right)\rho \, d\rho \, d\theta. [/math]

Separamos la integral en dos términos:

[math] M = \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \rho \, d\rho \, d\theta \;+\; \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} e^{\rho^2}\cos\theta \, \rho \, d\rho \, d\theta. [/math]

Observa que [math]\int_{0}^{\pi} \cos\theta \, d\theta = 0[/math]. Por tanto el segundo término se anula y

[math] M = \int_{0}^{\pi} d\theta \int_{1}^{2} \rho \, d\rho = \pi \cdot \left[ \frac{\rho^2}{2} \right]_{\rho=1}^{2} = \pi \cdot \frac{4 - 1}{2} = \frac{3\pi}{2}. [/math]

Resultado

[math] M = \frac{3\pi}{2} \approx 4.71238898038469. [/math]

Resolución con Matlab de la integral:

f = @(th,r) (1 + exp(r.^2).*cos(th)).*r;

M = integral2(f, 0, pi, 1, 2);

Código MATLAB: XXX

12 Aplicación del trabajo

Interpretar este trabajo con alguna aplicación. Por ejemplo, suponiendo que el dominio es una parte de la corteza terrestre y que el desplazamiento es provocado por las ondas S en terremotos.