Diferencia entre revisiones de «La Cicloide (Grupo 18)»

Revisión del 20:48 6 dic 2025

1 Introducción

La Cicloide se define como la curva trazada por un punto contenido en la circunferencia de un círculo que rueda sin deslizar sobre una línea recta. Aunque también se puede entender como el lugar geométrico descrito por las posiciones de un punto P que pertenece a la circunferencia de un círculo que rueda sin deslizamiento sobre una recta. Dicha recta recibe el nombre de directriz, mientras que la circunferencia recibe el nombre de generatriz o ruleta.

A pesar de su sencilla definición geométrica, esta curva tiene propiedades notables que le consiguen un lugar crucial en la física teórica, como en el estudio de los principios variacionales que cimentan la Teoría de Campos.Principalmente se conoce por la aplicación como solución al problema de la Braquistócrona (La curva de descenso más rápido entre dos puntos) y al problema de la Tautócrona (la curva en que el tiempo de descenso a un punto inferior es independiente de la posición inicial), estableciendo una relación directa con el formalismo de Lagrange y Hamilton.

La Cicloide se puede representar algebraicamente mediante la siguiente parametrización en coordenadas cartesianas: [math]𝛾(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) = (𝑅(𝑡 − sin 𝑡), 𝑅(1 − cos𝑡)), 𝑡 ∈ (0, 2𝜋)[/math]. Donde R es el radio del círculo y t es el ángulo de desplazamiento angular.

A continuación, se realiza un estudio sobre las distintas partes de la Cicloide, que incluye representaciones y cálculos geométricos. El estudio se desarrolla sobre un ejemplo concreto de una Cicloide descrita a partir de la circunferencia de un círculo de radio R=3.

2 Dibujo de la curva

Para este estudio se toma como origen una circunferencia de radio [math]R = 3[/math]. Este primer apartado sirve como base para definir la curva en el software de MATLAB. Con la parametrización dada se representa la gráfica.

%Radio de la circunferencia
R=3;

%Valores entre los que se encuentra (t)
t=linspace(0,2*pi);

%Parametrización en coordenadas cartesianas
x=R*(t-sin(t));
y=R*(1-cos(t));

%Representación de la Cicloide
figure
hold on
plot(x,y, 'r', 'LineWidth',2);
title('Cicloide de R=3');
grid on
xlabel('$x(t) = 3(t - \sin t)$', 'Interpreter', 'latex');
ylabel('$y(t) = 3(1 - \cos t)$', 'Interpreter', 'latex');

%Tamaño del recuadro en el que estará representada la curva
axis([-1,max(x)+1,0,max(y)+1])
axis equal
hold off

3 Cálculo de los vectores velocidad 𝛾 ′ (𝑡) y aceleración 𝛾 ″ (𝑡).

Una vez está la curva representada con la parametrización dada, se deriva en función del parámetro 𝑡, que representa el ángulo de giro, para obtener los vectores pedidos. Como se trata de una función muy sencilla, el vector posición se deriva analíticamente mediante la regla de la cadena, obteniendo así la velocidad y aceleración.

Gráfica de la Cicloide con los vectores de velocidad y aceleración.

%Parámetros de entrada
R = 3;

%Cálculo de la trayectoria (Para dibujar la curva completa)
t = linspace(0, 2*pi,200);
% Fórmulas directas de la Cicloide
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

%Cálculo de vectores en puntos específicos
t_vec = linspace(0,2*pi,15)
% Posición de los vectores (origen de las flechas)
x_vec = R * (t_vec - sin(t_vec));
y_vec = R * (1 - cos(t_vec));
% Velocidad v(t) = r'(t) (Fórmula derivada a mano)
vx = R * (1 - cos(t_vec));
vy = R * sin(t_vec);
% Aceleración a(t) = v'(t) (Fórmula derivada a mano)
ax = R * sin(t_vec);
ay = R * cos(t_vec);

%Representación gráfica
figure('Name','La Cicloide', 'Color', 'w');
hold on; axis equal; grid on;
xlabel('$x(t) = 3(t - \sin t)$', 'Interpreter', 'latex');
ylabel('$y(t) = 3(1 - \cos t)$', 'Interpreter', 'latex');
title('Cinemática de la Cicloide para R = 3',['r' ...'']);
% Dibujo de la trayectoria de la curva
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Trayectoria');
% Dibujo de los vectores velocidad (Azul) y aceleración (Rojo)
quiver(x_vec, y_vec, vx, vy, 0.5, 'm', 'LineWidth',  0.5, 'maxheadsize',0.1, 'DisplayName', 'Velocidad');
quiver(x_vec, y_vec, ax, ay, 0.5, 'c', 'LineWidth', 0.5, 'maxheadsize',0.1,'DisplayName', 'Aceleración');
legend('Location', 'best');
xlim([0, R*2*pi + 1]);
ylim([0, 2*R + 2]);
hold off;

4 Longitud de la curva

Para este cálculo se hará uso del método del rectángulo. (El número escogido no es uno en concreto, pero cuanto mayor sea, mejor será la aproximación)

El cálculo de la longitud de la curva descrita se resuelve a partir del módulo del vector velocidad de la mism planteando la siguiente integral en un intervalo (a, b).

[math]l(\gamma) = \int_0^{2\pi} \|\gamma'(t)\| dt = \int_0^{2\pi} \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2} \, dt = \int_0^{2\pi} \sqrt{(R-R\cos t)^2 +(R\sin^2 t)^2 } \, dt [/math]

[math]l(\gamma) = \int_0^{2\pi} 3\sqrt{(1-1\cos t)^2 +(\sin^2 t)^2 } \, dt [/math]

[math]l(\gamma) = 12\int_0^{2\pi} \frac{1}{2}\sin(\frac{t}{2})\, dt = 24 [/math]

Para comprobar la resolución teórica de la integral, se acude al “Método del rectángulo”. Para ello, se utiliza la plataforma MATLAB que realiza el cálculo a partir del siguiente comando:

R=3;

%Definición de la parametrización derivada
dx=@(t) R*(1-cos(t));
dy=@(t) R*sin(t);

%Definición del intervalo del parámetro
a=0;
b=2*pi;

%Definición del número de rectángulos
n=4000;

%División del intervalo entre el número de rectángulos escogido
dt=(b-a)/n;

%Obtención de vectores que unen los puntos medios de cada subintervalo
t_mid=a+dt/2:dt:b-dt/2;

%Aproximación de la longitud de la curva generada a partir de los vectores anteriores
L=sum(sqrt(dx(t_mid).^2+dy(t_mid).^2))*dt;

%Muestra del resultado obtenido
fprintf("La longitud aproximada de la Cicloide es = %.6f\n",L);

5 Cálculo de los vectores tangente 𝑡⃗(𝑡) y normal 𝑛⃗(𝑡)

Para calcular el vector tangente a la curva [math]𝑡⃗(𝑡)[/math] haremos uso del vector velocidad calculado anteriormente y lo normalizamos.

[math]\|\gamma'(t)\| = (R(1-\cos t), R\sin t)[/math]

Partiendo de este vector, y obteniendo su valor absoluto [math]\|\gamma'(t)\| = 2Rsin\frac{t}{2}[/math]

El vector tangente unitario se obtiene como el cociente entre la velocidad y su norma. Operando y simplificando términos resulta tal que:

[math]𝑡⃗(𝑡)= (\sin(\frac{t}{2}) ,\cos(\frac{t}{2}))[/math]

Para calcular el vector normal 𝑛⃗(𝑡)como estamos en R2 será suficiente con cambiar el orden del vector tangente y cambiarle el signo a una coordenada. Entre los dos posibles vectores normales se elegirá el interior a la curva por comodidad visual: [math]𝑛⃗(𝑡)= (\cos(\frac{t}{2}) ,-\sin(\frac{t}{2}))[/math]

Una vez se han obtenido los dos vectores iniciaremos el código de MatLab donde representaremos 25 de estos vectores en la cicloide según el parámetro t:

Gráfica con la curva y los vectores tangentes y normales en varios puntos.

R = 3;
t_domain = linspace(0.01, 2*pi - 0.01, 200);
% Dominio para la curva, evitando cúspides
t_vec = linspace(0.1, 2*pi - 0.1, 15);

%Cálculo de la Cicloide
X = R * (t_domain - sin(t_domain));
Y = R * (1 - cos(t_domain));

%Cálculo de Vectores Tangente y Normal Unitarios
t_half = t_vec / 2; %Calculamos t/2 solo para los puntos de la muestra 
t(t) = (sin(t/2), cos(t/2)) % Vector Tangente Unitario
Tx = sin(t_half);
Ty = cos(t_half);
n(t) = (-cos(t/2), sin(t/2)) % Vector Normal Unitario 
Nx = cos(t_half);
Ny = -sin(t_half);

%Dibujo de la Curva y Vectores
figure('Name','La Cicloide', 'Color', 'w');
hold on;
plot(X, Y, 'r', 'LineWidth', 2);

% Coordenadas de origen para los vectores (en los puntos t_vec)
X_vec = R * (t_vec - sin(t_vec));
Y_vec = R * (1 - cos(t_vec));

% Factor de escala visual para que los vectores sean visibles
escala = 0.8;
quiver(X_vec, Y_vec, Tx, Ty, escala, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize', 0.1);
quiver(X_vec, Y_vec, Nx, Ny, escala, 'g', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize', 0.1);
title(['Vectores Tangente y Normal de la Cicloide (R=', num2str(R), ')']);
xlabel('$x(t) = 3(t - \sin t)$', 'Interpreter', 'latex');
ylabel('$y(t) = 3(1 - \cos t)$', 'Interpreter', 'latex');
legend('Cicloide', 'Tangente $\vec{t}(t)$', 'Normal $\vec{n}(t)$', 'Location', 'NorthEast', 'Interpreter', 'latex');
axis equal;
grid on;
hold off;

6 Cálculo de la curvatura 𝜅(𝑡)

Para el cálculo de la curvatura se aplica directamente la siguiente fórmula: [math]\kappa(t) = \frac{\gamma'(t)\times\gamma''(t)}{|\gamma'(t)|^3}[/math]

Representación de la curvatura de la cicloide.

Obteniendo como resultado: [math]\frac{1}{4R\sin(\frac{t}{2})} = \frac{1}{12\sin(\frac{t}{2})}[/math]

Para el código, es imprescindible definir bien las derivadas parciales para posteriormente evitar problemas en la fórmula de la curvatura.

%Parámetrización de la cicloide con R=3
t=linspace(0,2*pi,500);x=3*(t-sin(t));
y=3*(1-cos(t));

%Definición de las derivadas parciales primeras respecto a t
dxdt=3-3*cos(t);
dydt=3*sin(t);
%Definición de las derivadas parciales segundas respecto a t
dx2dt2=3*sin(t);
dy2dt2=3*cos(t);

%Cálculo de la curvatura a lo largo de la cicloide
k=abs((dxdt.*dy2dt2)-(dx2dt2.*dydt))./((dxdt.^2+dydt.^2).^(3/2));

%Grafica de la cicloide en subventana
plot(t,k,'b','LineWidth',3);
title('Curvatura de la Cicloide para R=3')
xlabel('Parámetro t');
ylabel('Curvatura \kappa(t)');
ax=gca; %Redimensionado del eje x
ax.XTick=[0,pi/2,pi,3*pi/2,2*pi];
ax.XTickLabel={'0','\pi/2','\pi','3\pi/2','2\pi'};
axis manual
xlim([0,2*pi])
ylim([0,3])
grid on

%Graficación de la curvatura en la segunda subventana
subplot(2,1,1);
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Cicloide con R=3');
xlabel('$x(t) = 3(t - \sin t)$', 'Interpreter', 'latex');
ylabel('$y(t) = 3(1 - \cos t)$', 'Interpreter', 'latex');
xlim([0,2*pi]);
ylim('auto');
axis equal;
grid on;

7 Obtención del centro y el radio de la circunferencia osculatriz.

Del apartado anterior, se conoce la curvatura de la cicloide, y para las operaciones a realizar en este apartado, vamos a eliminar el valor absoluto del numerador de la definición de curvatura para que al momento de obtener el vector normal (t) salga orientado correctamente, quedando así: [math]\kappa(t) = -\frac{1}{12\sin(\frac{t}{2})}[/math]

Dado que el radio de curvatura es la inversa de la curvatura, el cálculo del radio se obtiene particularizando t=4 en [math]R(t) = \frac{1}{\kappa(t)|}[/math]

t=linspace(0,2*pi,500);
%Funciones anónimas que definen las coordenadas x(t) e y (t) de la cicloide
x=@(t) 3*(t-sin(t));
y=@(t) 3*(1-cos(t));
t0=4; %Punto a evaluar (t=4)

%Funciónes de las derivadas parciales primeras y segundas
dxdt=@(t) 3-3*cos(t); dx2dt2=@(t) 3*sin(t);
dydt=@(t) 3*sin(t); dy2dt2=@(t) 3*cos(t);

%Evaluación de la parametrización de la cicloide y sus derivadas primeras y segundas en t=4
x0=x(t0);  dx0=dxdt(t0);  dx2_0=dx2dt2(t0);
y0=y(t0);  dy0=dydt(t0);  dy2_0=dy2dt2(t0);
k=((dx0.*dy2_0)-(dx2_0.*dy0))./((dx0.^2+dy0.^2).^(3/2)); %Curvatura en el punto
r=1./abs(k); %Radio de la circunferencia osculatriz

%Coordenadas cartesianas del centro de la circunferencia en t=4
xc=3*4-3*sin(t0)+(1/k).*(-sin(t0))/sqrt(2*(1-cos(t0)));
yc=3-3*cos(t0)+(1/k)*((1-cos(t0)))/sqrt(2*(1-cos(t0)));
theta=linspace(0,2*pi,500);
xcirc=xc+r*cos(theta);
ycirc=yc+r*sin(theta);

%Generación de la gráfica
hold on; grid on; axis equal;
plot(x(t),y(t),'b','LineWidth',3) %Cicloide
plot(xcirc,ycirc,'g--'); %Circunferencia
plot(x0,y0,'ro','MarkerSize',8,'MarkerFaceColor','r'); %Gamma(t=4)
plot([xc x0],[yc y0],'k:','LineWidth',1) %Radio de la circunferencia
plot(xc,yc,'o','Color', [0.5 0 0.5],'MarkerSize',8,'MarkerFaceColor',' [0.5 0 0.5]') %Centro de la circunferencia
ylim([-15,8])
yticks(-15:5:8)
hold off
%Leyenda y etiquetas
legend('Gráfica de la cicloide \gamma(t) en t\in(0,2\pi)','Circunferencia osculatriz en t=4', ...'P=\gamma(4)','Radio de curvatura en P=\gamma(4)','Centro de la circunferencia','Location','southwest')
xlabel('Parámetro t');
ylabel('\gamma(t)');

8 Información adicional de la curva y sus aplicaciones

El estudio de esta curva reviste una importancia histórica y práctica considerable dentro de la física y la ingeniería, especialmente en el contexto de la mecánica clásica y el diseño de estructuras.

La relevancia de la cicloide para la ingeniería se fundamenta en dos propiedades geométricas únicas. En primer lugar, la cicloide invertida es una curva tautócrona (del griego tautos, mismo, y chronos, tiempo), lo que implica que un cuerpo que se desliza sin fricción a lo largo de esta trayectoria, bajo la acción constante de la gravedad, tardará exactamente el mismo tiempo en alcanzar el punto más bajo, independientemente de su punto de partida en la curva. Esta característica de isocronismo fue crucial en el desarrollo de la ingeniería de precisión, siendo utilizada por Christiaan Huygens en el siglo XVII para diseñar el reloj de péndulo isócrono al darse cuenta de que el péndulo que sigue una trayectoria circular no es isócrono. En segundo lugar, la cicloide invertida es la solución al denominado problema de la braquistócrona (brachistos, más corto, y chronos, tiempo), ya que, de todas las curvas posibles que conectan dos puntos, aquella que permite a un cuerpo descender en el menor tiempo posible, bajo la acción de la gravedad y sin rozamiento, es la cicloide. La resolución de este problema por Johann Bernoulli en 1696 dio origen a una nueva rama de las matemáticas: el Cálculo de Variaciones. Las aplicaciones de la cicloide en ingeniería son diversas: Diseño de Mecanismos: Se utiliza en la configuración de engranajes con perfil cicloidal para asegurar una transmisión de movimiento suave y eficiente. Ingeniería Civil: La forma cicloidal se ha empleado en el diseño de arcos y tejados, como en el Museo de Arte Kimbell, para optimizar la distribución de cargas y la estabilidad estructural. Además, sus propiedades son consideradas en el diseño funcional de puentes y túneles para la distribución eficiente de cargas. Transporte y Ocio: La cicloide es la curva utilizada en toboganes de parques y piscinas, así como en pistas de skate o de salto en la nieve, precisamente para garantizar que se alcanza el punto más bajo en el menor tiempo. Metrología: Una curva cicloide acortada o alargada se emplea en el diseño de tubos manométricos para medir la velocidad del viento con sensibilidad constante en túneles aerodinámicos.

9 Ejemplos de uso

10 Superficie reglada asociada a la curva

R = 3;
L = 1;

%Mallado
t = linspace(0,2*pi);
u = linspace(0, L, 10);
[T, U] = meshgrid(t, u);

%Ecuaciones paramétricas
X = U;
Y = R * (T - sin(T));
Z = R * (1 + cos(T));

%Representación gráfica
figure('Name', 'Superficie Reglada con L=1', 'Color', 'w');
surf(X, Y, Z, 'FaceColor', 'cyan', 'EdgeColor', 'k', 'FaceAlpha', 0.7);
axis equal;
grid on;
xlabel('X [m] (Generatriz)'); ylabel('Y [m] (Directriz)'); zlabel('Z [m] (Altura)');
title('Bóveda Cicloidal (R = 3, L = 1)');
view(3);
xlim([0, 2]);
ylim([-1, 2*pi*R + 1]);
zlim([0, 2*R + 1]);

11 Distribución de la densidad en la superficie

R=3;

%Definimos la variable de la masa aproximada
Masa_aprox=0;
n=1000;
t=linspace(0,2*pi,n);

%Función (integral) que tenemos que resolver
f=@(t) (3/2)*((R^2)+(R^3)*(t-sin(t)))*(1+cos(t)).*sqrt(2-2.*cos(t));

%metodo del rectángulo
for i=1:n;
 Masa_aprox=Masa_aprox+((2*pi-0)/n)*f(t(i));
end
fprintf('M = %.2f',Masa_aprox);