Diferencia entre revisiones de «Onda transversal plana (Grupo 54)»

Revisión del 21:12 5 dic 2025

CORREGIR TITULO MAL PUESTO En este documento representaremos la sección longitudinal de un arco comprendido entre los radios [math]1\lt\sqrt{x^2+y^2}\lt2[/math] Supondremos que están definidas dos cantidades físicas.

• La Temperatura
• Los Desplazamientos

La temperatura [math]T(x, y)[/math] viene dada por la ecuación:

Los desplazamientos [math]u(x, y)[/math] producidos por la acción de una fuerza determinada.

1 Mallado

A continuación podemos ver la representación del mallado que contiene a los puntos interiores del sólido realizado con MatLab.

Tomamos como ejes \((x,y) ∈ [0,4] × [-\frac{1}{2} , \frac{1}{2}]\) y un paso de muestreo, es decir, el intervalo entre punto y punto, [math]h=\frac{1}{10}[/math] para las variables [math]x[/math] e [math]y[/math].

% Radios del arco
r1 = 1;
r2 = 2;
%Divisores
Nr = 10;
Nt = 40;
%Crear vectores
r = linspace (r1, r2, Nr+1);
theta = linspace(0, pi, Nt+1);
%Mallado
figure;
hold on;
axis equal; 
title('Mallado básico del arco');
xlabel('x');
ylabel('y');
%Lineas radiales
for i = 1:length(r)
     x = r(i) * cos(theta);
     y = r(i) * sin(theta);
     plot(x, y, 'k'); 
end 
for j = 1:length(r)
     x = r(i) * cos(theta);
     y = r(i) * sin(theta);
     plot(x, y, 'g'); 
end 

grid on;

2 Temperatura

La temperatura viene dada por la siguiente expresión [math] T(x,y) = (x - y)^2 [/math], que depende únicamente de x e y.

La temperatura del sólido proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Supongamos que la conocemos y está dada por

[math] T(\rho,\theta) = -\log\!\big((\rho - 1)^2 + 0.1\big). [/math]

Dibujarla.

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Calcular [math]\nabla T[/math] y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de [math]T[/math] y observar gráficamente que [math]\nabla T[/math] es ortogonal a dichas curvas.

4 4

Consideramos ahora el campo de vectores [math]\vec{u} = \frac{\cos(\pi y)}{10}\,\vec{i}[/math]. Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

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6 6 Divergencia

Calcular la [math]\nabla \cdot \vec{u}[/math] en todos los puntos del sólido y dibujarla.

Fórmula de la divergencia en cilíndricas:

Para un campo [math]\vec{u} = u_r(r,\varphi,z)\,\hat{e}_r + u_\varphi(r,\varphi,z)\,\hat{e}_\varphi + u_z(r,\varphi,z)\,\hat{e}_z[/math], la divergencia viene dada por

[math] \nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r\,u_r\right) + \frac{1}{r}\frac{\partial u_\varphi}{\partial \varphi} + \frac{\partial u_z}{\partial z}. [/math]

En nuestro caso [math]u_\varphi = 0[/math] y [math]u_z = 0[/math], por tanto

[math] \nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\,u_r(r)\right). [/math]

Sustitución de [math]u_r[/math]

Tenemos [math]u_r(r) = \tfrac{1}{5}(r - 1)r = \tfrac{1}{5}(r^2 - r)[/math]. Calculemos [math]r\,u_r[/math]:

[math] r\,u_r = r \cdot \tfrac{1}{5}(r^2 - r) = \tfrac{1}{5}(r^3 - r^2). [/math]

Derivando respecto a [math]r[/math]:

[math] \frac{d}{dr}(r\,u_r) = \tfrac{1}{5}(3r^2 - 2r). [/math]

Dividiendo por [math]r[/math]:

[math] \nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{r} \cdot \tfrac{1}{5}(3r^2 - 2r) = \tfrac{1}{5}(3r - 2). [/math]

Así que la expresión cerrada de la divergencia es

[math] \nabla \cdot \vec{u}(r) = \tfrac{1}{5}(3r - 2), [/math]

válida para todo punto del dominio (independiente de [math]\varphi[/math] y [math]z[/math]).

Análisis en el dominio [math]r \in [1,2][/math]

• Es una función lineal creciente en [math]r[/math].
• En [math]r = 1[/math]:

[math] \nabla \cdot \vec{u}(1) = \tfrac{1}{5}(3 - 2) = \tfrac{1}{5} = 0.2. [/math]

• En [math]r = 2[/math]:

[math] \nabla \cdot \vec{u}(2) = \tfrac{1}{5}(6 - 2) = \tfrac{4}{5} = 0.8. [/math]

Por tanto, **los puntos con mayor divergencia** son los del **borde exterior** [math]r = 2[/math] (la divergencia crece con [math]r[/math]).

La divergencia es positiva en todo el anillo, lo que indica expansión local (aumento de volumen/área local) producida por el desplazamiento radial.

Interpretación del resultado

[math]\nabla \cdot \vec{u} \gt 0[/math] implica que localmente el material se está “dilatando” (aumento de volumen/área). Al ser la divergencia independiente de [math]\varphi[/math], todas las direcciones angulares a un mismo radio tienen la misma dilatación; la dilatación máxima ocurre en [math]r = 2[/math].

Código MATLAB: XXX

7 7 Rotacional

Calcular [math]\lvert \nabla \times \vec{u} \rvert[/math] en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

Rotacional en coordenadas cilíndricas

[math] \nabla \times \vec{u} = \left( \frac{1}{r}\frac{\partial u_z}{\partial \varphi} - \frac{\partial u_\varphi}{\partial z} \right)\hat{e}_r \;+\; \left( \frac{\partial u_r}{\partial z} - \frac{\partial u_z}{\partial r} \right)\hat{e}_\varphi \;+\; \left( \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r\,u_\varphi) - \frac{1}{r}\frac{\partial u_r}{\partial \varphi} \right)\hat{e}_z. [/math]

Sustitución de nuestro campo

En nuestro caso [math]u_\varphi \equiv 0[/math], [math]u_z \equiv 0[/math], y [math]u_r[/math] depende sólo de [math]r[/math] (no depende de [math]\varphi[/math] ni de [math]z[/math]). Por tanto:

• [math](\nabla \times \vec{u})_r = \frac{1}{r}\frac{\partial 0}{\partial \varphi} - \frac{\partial 0}{\partial z} = 0.[/math]

• [math](\nabla \times \vec{u})_\varphi = \frac{\partial u_r}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial r} = 0 - 0 = 0.[/math] (porque [math]u_r[/math] no depende de [math]z[/math])

• [math](\nabla \times \vec{u})_z = \frac{1}{r}\left(\frac{\partial}{\partial r}(r \cdot 0) - \frac{\partial u_r}{\partial \varphi}\right) = \frac{1}{r}(0 - 0) = 0.[/math] (porque [math]u_\varphi = 0[/math] y [math]u_r[/math] no depende de [math]\varphi[/math])

Por tanto:

[math] \nabla \times \vec{u}(r,\varphi) = \vec{0} [/math]

en todo el dominio. Módulo del rotacional y puntos con mayor rotacional

El módulo es

[math]\lvert \nabla \times \vec{u} \rvert = 0[/math]

en todos los puntos. No hay puntos con mayor rotacional: el campo es irrotacional en todo el anillo.

Interpretación del resultado

Un campo puramente radial que depende sólo del radio (sin componente angular ni variación angular) suele ser irrotacional — no existe circulación local alrededor de los puntos. Aquí la deformación es expansión radial (ya vimos que la divergencia es positiva), pero sin giro local.

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11 11 Densidad

Si la densidad de la placa viene dada por

[math] d(\rho,\theta) = 1 + e^{\rho^2}\cos\theta, [/math]

calcular la masa aproximando la integral numéricamente.

El dominio es la media luna [math]\rho \in [1,2][/math], [math]\theta \in [0,\pi][/math] (misma geometría de los apartados anteriores).

La masa [math]M[/math] se obtiene integrando la densidad sobre el área (usar coordenadas polares, elemento de área [math]dA = \rho\, d\rho\, d\theta[/math]):

[math] M = \int_{\theta=0}^{\pi} \int_{\rho=1}^{2} \left( 1 + e^{\rho^2}\cos\theta \right)\rho \, d\rho \, d\theta. [/math]

Separamos la integral en dos términos:

[math] M = \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \rho \, d\rho \, d\theta \;+\; \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} e^{\rho^2}\cos\theta \, \rho \, d\rho \, d\theta. [/math]

Observa que [math]\int_{0}^{\pi} \cos\theta \, d\theta = 0[/math]. Por tanto el segundo término se anula y

[math] M = \int_{0}^{\pi} d\theta \int_{1}^{2} \rho \, d\rho = \pi \cdot \left[ \frac{\rho^2}{2} \right]_{\rho=1}^{2} = \pi \cdot \frac{4 - 1}{2} = \frac{3\pi}{2}. [/math]

Resultado

[math] M = \frac{3\pi}{2} \approx 4.71238898038469. [/math]

Resolución con Matlab:

f = @(th,r) (1 + exp(r.^2).*cos(th)).*r;

M = integral2(f, 0, pi, 1, 2);

12 12 Interpretación del trabajo

Interpretar este trabajo con alguna aplicación. Por ejemplo, suponiendo que el dominio es una parte de la corteza terrestre y que el desplazamiento es provocado por las ondas S en terremotos.