Diferencia entre revisiones de «La Cicloide (Grupo 49)»

Revisión del 18:52 5 dic 2025

1 Introducción

Se considera la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas, donde R es un número positivo fijado:
[math] γ(t) = (x(t), y(t)) = (R(t-sint),R(1-cost)) = (3(t-sint),3(1-cost))[/math], [math] t ∈ (0,2π)[/math]

2 Representación de la curva

Se dibuja la curva empleando el siguiente código en MATLAB:

Figura 1. Representación del cicloide

% Datos
R=3;
t=linspace(0,2*pi,100); %dominio
% Ecuaciones parametricas
X=R*(t-sin(t));
Y=R*(1-cos(t));
%Dibujo
figure;
plot(X,Y,'red','LineWidth',1);
axis equal;
grid on;
title('La Cicloide');
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');

3 Vector velocidad y aceleración

3.1 Cálculo de los vectores velocidad y aceleración

Se sabe que la velocidad es la derivada de la curva respecto de t, por tanto:
Vector velocidad:
[math] γ'(t)= (x’(t)\vec i + y’ (t)\vec j) = (3 (1-cos t )\vec i + 3 (sin t)\vec j) [/math]
Y por consiguiente, la aceleración es la derivada de la velocidad respecto de t:
Vector aceleración:
[math] γ''(t)= (x’’(t)\vec i + y’’ (t)\vec j) = (3 (sint )\vec i + 3 (cos t)\vec j) [/math]

3.2 Representación de los vectores velocidad y aceleración

Representación de la velocidad en MATLAB:

Figura 2. Representación de la velocidad

R=3;
% Dominio
t=linspace(0,2*pi,100); 
% Ecuaciones paramétricas
X=R*(t-sin(t)); 
Y=R*(1-cos(t)); 
% Vectores de la velocidad
vx=R*(1-cos(t)); 
vy=R*(sin(t)); 
% Dibujo
figure;
hold on
plot(X,Y,'red','LineWidth',3);
axis equal;
grid on;
title('La Cicloide');
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
% Dibujo vectores velocidad
for i=1:3:100
    quiver(X(i),Y(i),vx(i),vy(i),1,'color','green','LineWidth',0.7,'MaxHeadSize',0.3);
end
axis([-1,max(X)+2,-2,max(Y)+2])
legend('Cicloide','Vectores de velocidad','location','best');
hold off

Representación de la aceleración en MATLAB:

Figura 3. Representación de la aceleración

R=3;
% Dominio
t=linspace(0,2*pi,100); 
% Ecuaciones paramétricas
X=R*(t-sin(t)); 
Y=R*(1-cos(t)); 
% Vectores aceleración
ax=R*(sin(t)); 
ay=R*(cos(t)); 
% Dibujo
figure;
hold on
plot(X,Y,'red','LineWidth',3);
axis equal;
grid on;
title('La Cicloide');
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
%Dibujo vector aceleración
for j=1:3:100
    quiver(X(j),Y(j),ax(j),ay(j),1,'color','m','LineWidth',0.7,'MaxHeadSize',0.3);
end
axis([-1,max(X)+2,-2,8])
legend('Cicloide','Vectores de aceleración','location','best');
hold off

4 Longitud de la curva

4.1 Cálculo de la longitud de la curva de manera teórica

Se define la longitud de la curva como:
[math] ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(3-3cost)^2 +(3sent)^2}dt [/math]
Como es demasiado complicado de calcular la integral de manera teórica se emplea MATLAB.

4.2 Cálculo de la longitud de la curva con el 'Método del rectángulo' en MATLAB

5 Vector tangente y normal de la curva

5.1 Cálculo de la tangente

Para poder calcular la tangente se comienza con el módulo de la velocidad:
[math] |γ′(t)|= \sqrt{9((1- cost)^2+sen^2t)} [/math]
Ahora, sabiendo su resultado, se define el vector tangente como:
[math] \vec t(t) = \frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} = \frac{3((1-cost)\vec i + (sint)\vec j)}{3(\sqrt{2-2cost})} = \frac{(1-cost)\vec i + (sint)\vec j}{\sqrt{2-2cost}}[/math]

5.2 Cálculo de la normal

Producto vectorial [math]\vec v × \vec a [/math] :
[math]\vec v × \vec a=\begin{bmatrix} \vec i& \vec j& \vec k\\ 1-cost& sent &0\\ sent & cost & 0 \end{bmatrix} = 9(cost-cos^2t-sen^2t)=9(cost-1)= -9(1-cost)\vec k [/math]
Módulo de [math]\vec v × \vec a [/math] :
[math] |\vec v × \vec a|= \sqrt{9^2 (cost-1)^2}= 9\sqrt{cos^2t-2cost+1}= 9(1-cost) [/math]
Vector binormal:
[math]\vec b= \frac{\vec v × \vec a}{|\vec v × \vec a|}= \frac{-9(1-cost)}{ 9(1-cost)}=-1=-\vec k [/math]
Vector normal:
[math] \vec n(t) = \vec b× \vec t=\frac{1}{\sqrt{2+2cost}}\begin{bmatrix} \vec i& \vec j& \vec k\\ 0& 0 &-1\\ 1-cost& sent & 0 \end{bmatrix} = \frac{(-sint)\vec i + (1-cost)\vec j}{\sqrt{2-2cost}} [/math]

6 Curvatura

Se conoce la fórmula de la curvatura de manera geométrica como:
[math] \kappa\ (t)=\frac{|\vec v × \vec a|}{|\vec v|^3}=\frac{9(1-cost)}{(3 \sqrt2 \sqrt{1-cost})^3}= \frac{3(1-cost)}{3( \sqrt2 \sqrt{1-cost})^3}= \frac{1-cost}{6\sqrt2(1-cost)\sqrt{1-cost}}= \frac{1}{6\sqrt2\sqrt{1-cost}} [/math]
Sin embargo, esta solo determina cuanto se curva a cicloide, por tanto empleamos la siguiente fórmula:
[math] \kappa\ (t)=\frac{x'(t)y''(t) - x''(t)y'(t)}{(x'(t)^2 + y'(t)^2)^\frac{3}{2}}= \frac{(3(1-cost))((3cost))-((3sent))((3sent))}{((3sin(t)^2)(3cos(t)^2))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{6\sqrt2\sqrt{1-cost}} [/math]

6.1 Representación de la curvatura

Figura 4. Representación de la curvatura

% Parámetros
% Rango de t
t=linspace(0,2*pi,100);  
% Curvatura de la cicloide
k= (-1)./(6*sqrt(2)*(sqrt(1-cos(t))));
% Dibujo de la curvatura
hold on
plot(t,k,'b','LineWidth',2);
axis equal;
grid on;
title('Curvatura de la Cicloide');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold off;

7 La Cicloide en la ingeniería civil

7.1 Museo del Arte Kimbell

Uno de los ejemplos más famosos del uso de la cicloide en al arquitectura moderna. El arquitecto Louis Kahn y el ingeniero civil August Komendant, diseñaron el techo del museo compuesto de una serie de bóvedas de cañón, las cuales eran cicloides.

7.2 Cycloïd Piazza

Una instalación creada por Raphaël Zarka, fue inagurada en 2024 en la plaza del Centre Pompidou de París. La estructura es una escultura formada por superficies curvas basadas en la cicloide.

7.3 Hopkins Center for the Arts

8 Bibliografía

https://arquitecturaviva.com/works/museo-de-arte-kimbell-fort-worth#lg=1&slide=0 https://purodiseno.lat/tendencias/un-artista-diseno-una-espectacular-pista-de-skate-en-el-centro-pompidou-para-los-juegos-olimpicos-paris-2024/