Diferencia entre revisiones de «Onda Longitudinal plana (Grupo 60)»

Revisión del 11:54 5 dic 2025

1 Introducción

Una onda longitudinal plana es un tipo de onda mecánica que se caracteriza por su modo de vibración, las partículas de un medio vibran y se desplazan en la misma dirección en la que se propaga la onda. Como resultado las partículas se agrupan más (se comprime el medio) o menos (se expande el medio) uniformemente a lo largo del medio.

En este trabajo se estudia la propagación de la onda longitudinal plana en una placa, definida en el dominio rectangular [math][0, 4]\times[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}][/math], cuando se le aplica una fuerza desde uno de sus extremos.

Una onda plana está definida por la expresión general: [math]\vec{u}(\vec{r_0}, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r_0} - ct)[/math]

Donde [math]\vec{r_0}(x,y)[/math] es el vector posición de los puntos de la placa en reposo, [math]\vec{a}[/math] es la amplitud de la onda, [math]\vec{b}[/math] es el vector de propagación y [math]c[/math] es la velocidad de propagación de la onda.

Luego, ya conociendo las ecuaciones principales del movimiento, se considera el vector de posición de los puntos de la placa para cualquier momento del movimiento ondulatorio: [math]\vec{r}(x,y,t)= \vec{r_0}(x,y)+\vec{u}(x,y,t)[/math]

Particularizando para los valores: [math]\vec{a} = \frac{\vec{i}}{10}, \quad \vec{b} = \pi \vec{i}, \quad t = 0[/math] , se obtiene el campo de desplazamientos de la onda longitudinal plana: [math]\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}[/math]

Además, se define el campo de temperatura en la placa por la expresión: [math]T(\rho, \theta) = e^{-\theta}[/math]

Los objetivos principales de este estudio incluyen el cálculo de los operadores diferenciales fundamentales como el gradiente de temperatura ,la divergencia y el rotacional del campo de desplazamientos. Determinaremos el tensor de deformaciones y el de tensiones considerando que es un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo. Analizaremos las curva de nivel de temperatura y verificaremos la ortogonalidad del gradiente respecto a estas curvas. Además, identificaremos las zonas de la placa donde se concentran las mayores tensiones.

Como herramienta de cálculo y de representación se ha utilizado MATLAB.

2 Mallado del sólido

La gráfica muestra el mallado cuyo dominio rectangular es [math][0, 4] \times [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}][/math] , se ha generado un mallado con separación h= 0,1 en ambas direcciones. Para obtener la gráfica hemos utilizado el siguiente código en MATLAB.

Mallado

Código

%Parámetros del dominio y definición de los vectores
ymin=-0.5;
ymax=0.5;
xmin=0;
xmax=4;
h=0.1;

x=xmin:h:xmax;
y=ymin:h:ymax;

[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Representación
figure(1);
hold on

plot(X,Y,'b-','LineWidth',1); %mallado vertical
plot(X',Y','b-','LineWidth',1); %mallado horizontal
plot(X,Y,'k.','MarkerSize',8); %puntos 
axis equal; axis tight; grid on; %ejes iguales; cuandrícula activada
xlabel('x'); ylabel('y'); %nombres de los ejes
title('Mallado'); %título de la gráfica

hold off

3 Campo de Temperatura

El campo de temperatura está definido por: [math]T(\rho, \theta) = e^{-\theta}[/math]

En la formula observamos que el campo solo depende de \(\theta \), esto significa que la temperatura varía con la orientación. A medida que aumenta \(\theta \), la temperatuta disminuye exponencialmente. Esto se observa muy bien en la siguiente representación.

%Pasamos las coordenadas cartesianas a polares
rho= sqrt(X.^2+Y.^2); 
theta=atan2(Y,X);
T=exp(-theta); %Función temperatura

%Representación
figure(2);

pcolor(X, Y, T);
shading interp;
ylabel(colorbar, 'Temperatura'); 
axis equal; axis tight; grid on;
title('Campo de Temperatura T(rho, theta) = e^{-\theta}');
xlabel('x'); ylabel('y');

4 Gradiente de Temperatura y Curvas de Nivel

La función de temperatura esta definida por: [math]T(\rho, \theta) = e^{-\theta}[/math]. Como esta en coordenadas polares debemos pasarlas a cartesianas para poder trabajar en MATLAB, usando, [math]x= \rho\cos\theta , \quad y = \rho\sin\theta [/math]

El gradiente de un campo escalar representa la dirección de mayor crecimiento de una función, además indica la rapidez de este crecimiento. El gradiente es ortogonal a las curvas de nível.

En coordenadas polares el gradiente se expresa de la siguiente forma: [math] \nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho}\,\mathbf{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial T}{\partial \theta}\,\mathbf{e}_{\theta} [/math]

Como T depende únicamente de \(\theta \), derivando: [math] \frac{\partial T}{\partial \rho} = 0, \qquad \frac{\partial T}{\partial \theta} = -e^{-\theta} [/math]

Entonces, el gradiente resulta: [math] \nabla T = -\frac{e^{-\theta}}{\rho}\,\mathbf{e}_\theta [/math]

Las curvas de nivel son lineas donde la temperatura es constante. En este caso: Si [math] T= C = Cte [/math] , entonces [math] e^{-\theta} = C [/math]. Despejando \(\theta \) : [math] \theta = -\ln C [/math]

Esto significa que para cada valor de temperatura C hay un único angulo \(\theta \) .Como \(\rho\) no aparece el la ecuación, la distancia al origen no influye en la temperatura, por lo que las curvas de nivel parten del origen.

%Cálculo numérico del gradiente de la temperatura
[dTx,dTy] = gradient(T,h,h);

%Representación
figure(3)
[C, h_contour] = contourf(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 0.1 , 'Color', 'k');
hold on
colorbar; 
axis equal;grid on;
quiver(X,Y,dTx,dTy,'MarkerSize',10,'color','r');

title('Gradiente de Temperatura y Curvas de Nivel');
xlabel('x'); ylabel('y');

5 Campo de Desplazamiento

En este apartado, calcularemos y representaremos sobre el mallado de los puntos de la placa en reposo el campo vectorial desplazamiento [math]\vec{u}(\vec{r_0}, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r_0} - ct)[/math]

Se representa el mallado en azul y el campo vectorial desplazamiento en rojo. Para observar más claramente el campo desplazamiento se adjunta una segunda imagen en la que se ha duplicado su módulo y ampliado la imagen.

[math]\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}[/math]

Ux=cos(pi.*X)/10; % componente X del desplazamiento
Uy=zeros(size(Ux)); % componente Y del desplazamiento

%Representación
figure(4)
hold on
plot(X,Y,'b-','LineWidth',0.2); %mallado vertical
plot(X',Y','b-','LineWidth',0.2); %mallado horizontal
quiver(X,Y,Ux,Uy,0,'r','LineWidth',1);
title('Campo desplazamiento');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;grid on;
hold off

A continuación, se adjunta el código con el que se ha calculado y representado el campo desplazamiento y el mallado.

Como se puede observar, las partículas "huirían" del entorno de las rectas [math]x=1.5 , x=3.5[/math] para "reunirse" en el entorno de las rectas [math]x=0.5 , x=2.5[/math]. En los siguientes apartados se sacarán más conclusiones sobre este movimiento, relacionados con este comentario.

6 Desplazamiento del sólido

Una vez calculado el campo desplazamiento, es interesante observar como ha afectado este movimiento a la placa. La mejor forma es observando la posición de los puntos previa al desplazamiento y la posición después del desplazamiento.

La ecuación del vector posición de un punto es la siguiente [math]\vec{r}(x,y,t)= \vec{r_0}(x,y)+\vec{u}(x,y,t)[/math], como se comentó previamente en la Introducción.

En la segunda imagen se puede apreciar más claramente el desplazamiento de los puntos, ya que se ha duplicado el módulo del desplazamiento para una mejor visualización

[math]\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}[/math]

Duplicando el módulo: [math]\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{5} \vec{i}[/math]

% Xn y Yn son las desplazadas
Xn=X+Ux; Yn=Y+Uy;

figure(5)

%Representación antes del desplazamiento
subplot(1,2,1)
plot(X,Y,'.r','MarkerSize',8); 
title('Antes del desplazamiento');
xlabel('x'); ylabel('y');
grid on;axis equal;axis tight;

%Reprersentación después del desplazamiento

subplot(1,2,2)
plot(Xn,Yn,'.r','MarkerSize',8); 
title('Después del desplazamiento'); 
xlabel('x'); ylabel('y');
grid on;axis equal; axis tight;

Efectivamente se puede observar lo comentado en el apartado anterior. Próximamente, esto se relacionará con el término divergencia.

7 Divergencia y gradiente del campo de desplazamiento

La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante a través de una superficie. Si el flujo es entrante entorno a un punto se dice que en ese punto hay un "sumidero" , en cambio, si el flujo es saliente, hablamos de una "fuente", por el comportamiento de las partículas alrededor de ese punto. Cuando el flujo es saliente, la divergencia es positiva, si es entrante, la divergencia es negativa. Además, cuánto mayor es el valor absoluto de la divergencia, más intensa es la acción de la fuente que "aleja" las partículas de su alrededor, o con la que el sumidero "absorbe" las partículas a su alrededor.

La siguiente es la fórmula de la divergencia [math]\nabla \cdot \vec{U} = \frac{\partial U_x}{\partial x} + \frac{\partial U_y}{\partial y} + \frac{\partial U_z}{\partial z}[/math]

El gradiente de un campo escalar representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función, apunta a los puntos de la gráfica a los cuales la gráfica tiene un mayor incremento. La magnitud del gradiente es la pendiente de la gráfica en esa dirección.

[math]\nabla u(x,y,z) = \frac{\partial u}{\partial x}\,\hat{i} + \frac{\partial u}{\partial y}\,\hat{j}[/math]

Los componentes del gradiente en coordenadas son los coeficientes de las variables presentes en la ecuación del espacio tangente al gráfico.

figure(6)

%Cálculo numérico del gradiente del desplazamiento
[dUx,dUy] = gradient(Ux,h,h);

%Representación del campo gradiente del desplazamiento
subplot(1,2,1)
quiver(X, Y, dUx, dUy, 'r', 'LineWidth', 1);
axis equal; grid on; axis tight;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo gradiente del desplazamiento U(x,y)');

%Representación de la divergencia
subplot(1,2,2)
div_U = divergence(X, Y, Ux, Uy);
pcolor(X, Y, div_U);
shading interp;
colorbar;
axis equal; grid on; axis tight;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Divergencia del campo de desplazamiento U(x,y)');

8 Rotacional del campo de desplazamiento

El rotacinal se calcula como: [math] \nabla \times \vec{u} = \begin{vmatrix} \mathbf{e}_x & \mathbf{e}_y & \mathbf{e}_z \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_x & u_y & u_z \end{vmatrix} = \mathbf{0} [/math]

Particularizando con nuestro campo, tenemos: [math] u_x = \frac{\cos(\pi x)}{10}, \quad u_y = 0, \quad u_z = 0 [/math]

Entonces: [math] \nabla \times \vec{u} = \mathbf{0} [/math]

Como estamos trabajando con una onda longitudinal plana, las partículas de esta onda no rotan alrededor de un punto, sino que se mueven en dirección de propagación. Al realizar los cálculos anteriores se confirma lo explicado, llegando a la conclusión de que el rotacional es cero, este campo no presenta giro.

9 Tensor de deformaciones

Sigma_11 = -(3*pi/10) * sin(pi * X); % Tensión normal en dir i
Sigma_22 = -(pi/10) * sin(pi * X);   % Tensión normal en dir j (igual a la de k)

figure(8);
subplot(1, 2, 1);
pcolor(X, Y, Sigma_11);
shading interp; colorbar;
axis equal; grid on
title('Tensión Normal en i');

subplot(1, 2, 2);
pcolor(X, Y, Sigma_22);
shading interp; colorbar;
axis equal; grid on
title('Tensión Normal en j');

10 Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i

Las tensiones tangenciales son aquellas que sus componentes de fuerza que actúan de forma paralela al plano, indican un corte o cizalla. Dado que en este caso lo estamos calculando con respecto a planos ortogonales a planos principales como el i, j o k da 0. En el caso que se tratara de algún plano con un ángulo distinto, este resultado no tiene por qué ser 0.

La magnitud de la tensión tangencial es: [math]\left| \sigma \cdot \vec{i} - (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i} \right|[/math]

[math]\mathbf{1. ~Tensión~ Total}~(\sigma \cdot \vec{i}): \quad \sigma \cdot \vec{i} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{22} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \sigma_{11} \vec{i}[/math]

[math]\mathbf{2. ~Tensión~ Normal}~( (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i}): \quad (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i} = \sigma_{11} \vec{i}[/math]

[math]\mathbf{3. ~Tensión~ Tangencial}: \quad (\sigma_{11} \vec{i}) - (\sigma_{11} \vec{i}) = \vec{0}[/math]

11 Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j

En este caso, ocurre exactamente igual al plano ortogonal a i. La magnitud de la tensión tangencial es: [math]\left| \sigma \cdot \vec{j} - (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j} \right|[/math]

[math]\mathbf{1. ~Tensión~ Total}~(\sigma \cdot \vec{j}): \quad \sigma \cdot \vec{j} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{22} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \sigma_{22} \\ 0 \end{pmatrix} = \sigma_{22} \vec{j}[/math]

[math]\mathbf{2. ~Tensión~ Normal}~( (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j}): \quad (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j} = \sigma_{22} \vec{j}[/math]

[math]\mathbf{3. ~Tensión~ Tangencial}: \quad (\sigma_{22} \vec{j}) - (\sigma_{22} \vec{j}) = \vec{0}[/math]

12 Masa de la placa

Para calcular la masa de la placa hay que tener en cuenta la fórmula para sacar la integral de un campo escalar [math]f[/math] en a lo largo de una superficie [math]S[/math]

Animación que muestra el desarrollo exponencial de la anomalía de densidad a lo largo del tiempo.

[math] \iint_{S} f dS = \iint_{D} f(\vec{r}(u,v)) \left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial u}(u,v) \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}(u,v) \right| dudv = \iint_{D} f(\vec{r}(u,v)) |\vec{r}_u \times \vec{r}_v| dudv [/math]

Donde [math] \left| \vec{r}_u \times \vec{r}_v \right| [/math] (también llamado Jacobiano) se trata de un factor de escala que cambia la medición de una región plana a una curva.

En este caso como el mallado se trata de una superficie plana, el jacobiano es constante, por lo que se le considera que es igual a 1.

Dicho esto se sustituye la formula con los datos que nos dan:

Campo escalar (densidad):[math]f(\rho, \theta) = 1+e^{\rho^2 \cos \theta}[/math]

Jacobiano: 1

Superficie:[math][0, 4]\times[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}][/math]

Como la región de la placa está en cartesianas y el campo escalar densidad en polares, se cambia la expresión de la densidad para expresarla en cartesianas. Pero al dar la superficie en cartesianas, el campo tiene que cambiarse

Para cambiarlo se hace la siguiente conversión:

[math] e^{\rho^2 \cos \theta} \longrightarrow e^{\rho^2 \frac{x}{\rho}} \longrightarrow e^{x \rho} \longrightarrow e^{x \sqrt{x^2+y^2}}[/math]

Siendo la fórmula final

[math] \text{masa} = \int_{0}^{4} \int_{-1/2}^{1/2} \left(1 + e^{x \sqrt{x^2 + y^2}}\right) \ dx dy[/math]

Dando un resultado de

[math] \mathbf{\text{masa} \approx 1,199,011.7874}[/math]

En la imagen se puede ver que cuanto más avanza hacia el final el mallado, más aumenta de densidad.

%Definir la densidad d(x,y), función anónima

d = @(x,y) 1 + exp(x.*sqrt(x.^2 + y.^2));

%Calculamos la masa total con integral2
M=integral2(d, 0, 4, -0.5, 0.5);

%Mostramos el resultado
fprintf('La masa total de la placa es aproximadamente: %.6f\n', M);