Revisión del 10:43 5 dic 2025

1 Introducción

El vórtice de Rankine es un modelo simplificado de rotación de fluidos. Es muy útil para la modelización de tornados y huracanes, con centros

2 Campo de velocidades

2.1 Cálculo de la circulación

Empezamos calculando la circulación del vórtice proveído, un tornado intenso de categoria EF4. Sabiendo que [math] R=250m [/math] y [math] v_{\theta}(R)=90m/s=\frac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\rho [/math] podemos calcular que [math] \Gamma=\frac{90*2\pi*250^{2}}{250}=45000\pi [/math]

2.2 Módulo de la velocidad

Después, tras obtener este dato, podemos graficar en matlab la tabla que relaciona el módulo de la velocidad respecto a la distancia al centro, usando el código aquí debajo:

Grafico del módulo de la velocidad respecto a la distancia al centro

x=linspace(0,1000,2000);
y=[];
for i=x;
    if i>250;
        y=[y,(45000*pi)/(2*pi*i)];
    else
        y=[y,(45000*pi*i)/(2*pi*250*250)];
    end
end
plot(x,y);
axis([0,1000,0,100])
xlabel('Distancia al centro')
ylabel('Velocidad')

Sabemos que el módulo de la velocidad es [math]v(\rho)=v_{\theta}(\rho)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}\rho & \rho \leq 250 \\\frac{\Gamma }{2\pi \rho} & \rho \gt 250 \\\end{Bmatrix}[/math] y por tanto, debemos separar el gráfico en dos partes: uno para el caso [math]\rho \le 250[/math] y otro para el caso [math]\rho \gt 250[/math]

2.3 Campo de velocidades

Para representar el campo de velocidades podemos representarlo en un plano 2D en vez de una figura 3D debido a que la velocidad se nos da en coordenadas polares y la coordenada z es siempre 0 y por tanto podemos obviar su existencia y operar como si fueran coordenadas polares en el plano z=0. Para representarlo, usamos el código aquí enseñado para poder representar el campo vectorial, con colores distintos para interior y exterior del vórtice

Campo de velocidades del Vórtice de Rankine

rho = linspace(0.1, sqrt(800^2+800^2), 100); 
tht = linspace(0, 2*pi, 100); 
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); 
x = Mrho .* cos(Mtht); 
y = Mrho .* sin(Mtht); 
Vtheta = 45000*pi ./ (2 * pi * 250^2) .* Mrho; 
Vtheta(Mrho > 250) = 45000*pi ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > 250)); 
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= 250), y(Mrho <= 250), Vx(Mrho <= 250), Vy(Mrho <= 250), 1, 'r'); 
quiver(x(Mrho > 250), y(Mrho > 250), Vx(Mrho > 250), Vy(Mrho > 250), 1, 'b'); 
hold off;
axis equal
axis([-800,800,-800,800]);
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine');
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq 250)', 'Exterior del vórtice (r > 250)');

3 Divergencia y rotacional

3.1 Cálculo de la divergencia

Para calcular analíticamente la divergencia del campo [math]\overrightarrow{v}[/math] usamos la fórmula de la divergencia en coordenadas cilíndricas y calculamos para ambos casos posibles.
En el caso de que [math]\rho \le 250[/math] tenemos que [math]\overrightarrow{v}=\frac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\rho \overrightarrow{e_{\theta}}=\frac{9}{25}\rho\overrightarrow{e_{\theta}}[/math] y aplicando la fórmula de la divergencia obtenemos [math]\nabla \bullet \overrightarrow{v}=\frac{1}{\rho}(\frac{\partial \rho v_{\rho}}{\partial \rho}+\frac{\partial v_{\theta}}{\partial \theta}+\frac{\partial \rho v_{z}}{\partial z})=\frac{1}{\rho}(\frac{\partial(\frac{9}{25}\rho) }{\partial \theta})=0[/math]
Por el otro lado tenemos la rama en la que [math]\rho \lt 250[/math] y simplificando por esta rama obtenemos [math]\overrightarrow{v}=\frac{\Gamma}{2\pi \rho}\overrightarrow{e_{\theta}}=\frac{22500}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}[/math] y aplicando la misma fórmula de antes obtenemos [math]\nabla \bullet \overrightarrow{v}=\frac{1}{\rho}(\frac{\partial \rho v_{\rho}}{\partial \rho}+\frac{\partial v_{\theta}}{\partial \theta}+\frac{\partial \rho v_{z}}{\partial z})=\frac{1}{\rho}(\frac{\partial(\frac{25000}{\rho}) }{\partial \theta})=0[/math]
Como ambas ramas dan el mismo resultado podemos afirmar claramente que [math]\nabla \bullet \overrightarrow{v}=0 [/math]
Este resultado se podia ver claramente con un poco de conocimiento de la fórmula y de derivadas parciales, ya que se puede ver que la componente [math]\theta[/math] de la velocidad sólo depende de [math]\rho[/math] y no de [math]\theta[/math]
Significado físico del resultado
La divergencia indica si entra más o menos flujo en una región. Si este resultado es 0 significa que el flujo es constante. Esto es típico de modelos ideales, tales como el que estamos estudiando, en el que el fluido ni se comprime ni se expande.

3.2 Cálculo del rotacional

Para el cálculo del rotacional podemos usar los valores de [math]\overrightarrow{v}[/math] que hemos previamente calculado ya.
En el caso [math]\rho \le 250[/math] tenemos que [math]\nabla \times \overrightarrow{v}=\begin{vmatrix}\overrightarrow{e_{\rho}} & \rho \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\\frac{\partial }{\partial \rho} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z}\\0 &\frac{9}{25}\rho^{2}&0\end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\frac{18}{25}\rho \overrightarrow{e_{z}}=\frac{18}{25}\overrightarrow{e_{z}}[/math]
Y en el caso [math]\rho \lt 250[/math] tenemos que [math]\nabla \times \overrightarrow{v}=\begin{vmatrix}\overrightarrow{e_{\rho}} & \rho \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\\frac{\partial }{\partial \rho} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z}\\0 &22500&0\end{vmatrix}=\overrightarrow{0}[/math]
Por tanto tenemos[math]\nabla \times \overrightarrow{v}=\begin{Bmatrix}\frac{18}{25}\overrightarrow{e_{z}} & r\leq R \\\overrightarrow{0} & r\gt R \\\end{Bmatrix}[/math] Para representar el rotacional usamos el siguiente código:

Representación del rotacional del vórtice de Rankine

rho = linspace(0.1, 800, 100); 
tht = linspace(0, 2*pi, 100); 
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht);
x = Mrho .* cos(Mtht); 
y = Mrho .* sin(Mtht); 
z=18/25.*ones(size(y));
Vx=zeros(size(z));
Vy=zeros(size(z));
Vz=18/25.*ones(size(z));
Vz(Mrho > 250)=0;
quiver3(x,y,z,Vx,Vy,Vz);
title('Representación grafica del rotacional del vórtice de Rankine')

3.3 Magnitud de la vorticidad

La magnitud de la vorticidad es el valor del módulo del rotacional del vórtice. Ya que el rotacional solo tenia un componente en [math]\overrightarrow{e_{z}}[/math], es muy fácil de obtener su valor, representado aquí debajo con el siguiente código:

Representación de la vorticidad del vórtice de Rankine

r=linspace(0,250,250);
th=linspace(0,2*pi,360);
[R,TH]=meshgrid(r,th);
X=R.*cos(TH);
Y=R.*sin(TH);
Z=(18/25).*ones(size(X));
hold on
surf(X,Y,Z,'EdgeColor','None');
r=linspace(250,1000,750);
th=linspace(0,2*pi,360);
[R,TH]=meshgrid(r,th);
X=R.*cos(TH);
Y=R.*sin(TH);
Z=zeros(size(X));
surf(X,Y,Z,'EdgeColor','None');
hold off
axis equal
axis([-500,500,-500,500]);
colorbar;
legend('Ojo del vórtice (r \leq 250)', 'Exterior del vórtice (r > 250)');

Se puede ver claramente que la vorticidad está concentrada en el núcleo del tornado, y por tanto en la región exterior es cero. El significado físico de esto se explica en el siguiente apartado aplicado a un barco pequeño.

3.3.1 Efecto en un barco pequeño

La vorticidad nos indica cuanto rota sobre si mismo un objeto en esa zona del campo. Por tanto se pueden identificar dos situaciones distintas del barco en el vórtice: cuando el barco esta dentro del núcleo ([math]\rho \leq 250[/math]) y cuando está fuera del núcleo ([math]\rho \gt 250[/math]).
Para el caso del interior del núcleo tenemos que la vorticidad vale [math]\frac{18}{25}[/math]. Este resultado nos indica que el barco rota sobre si mismo con esa intensidad.
Por el contrario, en el exterior del núcleo la vorticidad vale [math]0[/math] y por tanto el barco no rotaria sobre si mismo.

4 Campo de presión y gradiente

El campo de presiones del vórtice viene dado por [math]p(\rho,z)=\begin{Bmatrix}P_{0}+\frac{1}{2}d_{aire}v_{\theta}^{2}-d_{aire}gz & \rho \leq 250 \\P_{\infty}-\frac{1}{2}d_{aire}v_{\theta}^{2}-d_{aire}gz & \rho \gt 250 \\\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}92000+0,07938\rho^{^2}-12,642z & \rho \leq 250 \\101325-\frac{506250000}{\rho^{2}}-12,642z & \rho \gt 250 \\\end{Bmatrix}[/math]
Tras haber simplificado el campo de presión usando los datos de nuestro vórtice podemos representar gráficamente el campo escalar de presiones usando el siguiente código:

Representación gráfica del campo de presiones del vórtice de Rankine

r=linspace(0,1000,1000);
z=linspace(0,2800,2800);
[Mr,Mz] = meshgrid(r,z);
Mp=92000+0.07938.*Mr.^2-12.642.*Mz;
Mp(Mr>250)=92000-506250000./(Mr(Mr>250).^2)-12.642.*Mz(Mr>250);
hold on
pcolor(Mr,Mz,Mp);
shading flat
contour(Mr,Mz,Mp,15,'k');
hold off
colorbar
xlabel('\rho')
ylabel('z')
title('Campo de presiones')

4.1 Variación de presiones

Para calcular la variación de presiones entre el centro del ojo y el exterior según el modelo usamos la siguiente fórmula [math]\Delta P=P(R^{+},0)-P(0,0)[/math]. Sustituyendo con los valores de nuestro vórtice obtenemos [math]\Delta P=101325-\frac{22500^{2}}{250^{2}}-12,642*0-92000-0,07938*0^2-12,642*0=93225-92000=1225[/math]
Comparándolo con el valor dado [math]P_{\infty}-P_{0}=101325-92000=9325[/math]
Se ve claramente que los resultados son muy distintos. Esto se puede deber a diversos motivos como el hecho de que el modelo del vórtice de Rankine considera el aire como un fluido incompresible, pero en la vida real en este tipo de depresiones, el aire se comprime aumentando aún más la presión. Estos modelos son útiles para analizar de manera simple un evento como este, pero no es suficientemente parecido a la realidad. si calculamos su error relativo [math]\frac{9325-1225}{9325}=0,8686[/math]. Eso es un error de un 86,86% cuando lo aceptable suele ser un máximo de un 20%.

4.2 Gradiente de presión

El gradiente de presión es una herramienta muy útil para estudiar las fuerzas que actúan sobre el aire. Usando la fórmula del gradiente en coordenadas cilíndricas [math]\nabla P=\frac{\partial P}{\partial \rho}\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial \theta}\overrightarrow{e_{\theta}}+\frac{\partial P}{\partial z}\overrightarrow{e_{z}}[/math] lo podemos calcular en ambos casos.
En el caso de que [math]\rho \leq 250[/math] obtenemos [math]\nabla P=0,15876 \rho \overrightarrow{e_{\rho}}-12,642\overrightarrow{e_{z}}[/math]
Y en el caso de que [math]\rho \gt 250[/math] obtenemos [math]\nabla P=\frac{1,0125*10^{9}}{\rho^{3}}\overrightarrow{e_{\rho}}-12,642\overrightarrow{e_{z}}[/math]
Por tanto en general el gradiente de presiones de nuestro vórtice de Rankine es [math]\nabla P=\begin{Bmatrix}0,15876\rho \overrightarrow{e_{\rho}}-12,642\overrightarrow{e_{z}} & \rho \leq 250 \\\frac{1,0125*10^{9}}{\rho^{3}} \overrightarrow{e_{\rho}}-12,642\overrightarrow{e_{z}} & \rho \gt 250 \\\end{Bmatrix}[/math]

Representación del gradiente de presiones de un vórtice de Rankine

r=linspace(0,500,50);
z=linspace(0,500,50);
[Mr,Mz]=meshgrid(r,z);
Vr=0.15876.*Mr;
Vz=-12.642.*ones(size(Vr));
Vr(Mr>250)=(1.0125*10^9)./(Mr(Mr>250).^3);
quiver(Mr,Mz,Vr,Vz,2);
xlabel('\rho')
ylabel('z')
axis([0,300,0,300])
title('Gradiente de presiones en un vórtice de Rankine')

Según se puede ver en la representación gráfica el gradiente apunta predominantemente en la dirección [math]\overrightarrow{e_{\rho}}[/math], que es alejándose del centro del vórtice. También tiene un pequeño componente en [math]\overrightarrow{e_{z}}[/math] aunque es constante e invariable.

4.3 Superficies isobáricas

Para representar las superficies isobáricas pedidas usamos el siguiente código

Representación de las superficies isobáricas

Isobara sola

r=linspace(0,1000,1000);
th=linspace(0,2*pi,360);
[Mr,Mth]=meshgrid(r,th);
Mz=(0.07938.*Mr.^2-3000)/12.642;
Mz(Mr>250)=(6325-(506250000./Mr(Mr>250).^2))./12.642;
Mx=Mr.*sin(Mth);
My=Mr.*cos(Mth);
hold on
mesh(Mx,My,Mz);
Mz=(0.07938.*Mr.^2-5000)/12.642;
Mz(Mr>250)=(4325-(506250000./Mr(Mr>250).^2))./12.642;
mesh(Mx,My,Mz);
Mz=(0.07938.*Mr.^2-7000)/12.642;
Mz(Mr>250)=(2325-(506250000./Mr(Mr>250).^2))./12.642;
mesh(Mx,My,Mz);
Mz=(0.07938.*Mr.^2-8000)/12.642;
Mz(Mr>250)=(1325-(506250000./Mr(Mr>250).^2))./12.642;
mesh(Mx,My,Mz);
legend('Isobara 950mbar','Isobara 970mbar','Isobara 990mbar','Isobara 1000bar')
title('Superficies isobáricas de distintas presiones')
view(3)
axis equal
grid

4.4 Fuerza destructiva hacia una superficie

Tomando una casa con pared de [math]50m^{2}[/math] a una distancia [math]\frac{3}{4}R=187,5m[/math] del centro del vórtice dado, podemos obtener la fuerza ejercida sobre la pared, orientada perpendicularmente al tornado usando el gradiente de presiones, y solo su componente [math]\overrightarrow{e_{\rho}}[/math] y resolviendo el siguiente problema [math]F=A*\int_{\rho}^{R}\nabla P_{\rho} d\rho=50*\int_{187,5}^{250}0,15876\rho d\rho=50*[0,07938\rho^{2}]_{187,5}^{250}=50*0,07938*[250^{2}-187,5^{2}]=108527,3438N=10,85tf[/math].
Asi obtenemos que sobre la fachada de la casa dada a la distancia dada se ejerce una fuerza de 10,85 toneladas fuerza sobre ella.