Revisión del 13:50 4 dic 2025

La catenaria es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la gravedad. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud L.
La comprensión de la catenaria es crucial en la ingeniería, ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas.
El estudio de la catenaria constituye, por tanto, un ejemplo perfecto de cómo las leyes físicas y los modelos matemáticos se integran en la ingeniería moderna para resolver problemas reales con precisión y elegancia.

1 Dibujo de la curva

1.1 Descripción de la curva

Representación de la catenaria

La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

La curva es simétrica respecto al eje [math]x = 0[/math]. debido a que [math]cosh(t)[/math] es par.
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola.
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que [math]cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})[/math]

1.2 Código y representación de la curva

Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:

clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;

2 Vectores aceleración y velocidad

2.1 Cálculo de los vectores

Siendo [math] γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) [/math] una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto:

• Su vector velocidad [math] γ'(t) [/math] será igual a:
  

• Su vector aceleración [math] γ''(t) [/math] será igual a:
  

2.2 Interpretación geométrica

Representación de los vectores velocidad y aceleración

Podemos observar que el vector velocidad [math] γ'(t) [/math] es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva.

Por otra parte, el vector aceleración [math] γ''(t) [/math] nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante.

Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro.

2.3 Código y representación de los vectores

Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:

clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
A1 = linspace(0, 0, 20);
A2 = (1 / a) * cosh(t / A);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, A1, A2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');

3 Longitud de la curva

3.1 Cálculo de la longitud

La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera:

La longitud de la catenaria en el intervalo (-1,1) es aproximadamente 2,0373 unidades.

3.2 Código y representación de la longitud

Representación longitud de la curva

clc,clear;
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t / 3) .^2);
intervalo = (1 - (-1)) / 80;
X = linspace(-1, 1 - intervalo, 80);
valor = sum(f(X));
integral_rectangulo = intervalo * valor;
t = linspace(1, -1, 500);
y = f(t);
figure;
hold on;
plot(t, y, 'LineWidth', 2);
for i = 1:80
    x_plot = [X(i), X(i), X(i) + intervalo, X(i) + intervalo];
    y_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
    fill(x_plot, y_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeColor', 'r');
end
title('Aproximación de la integral de la catenaria');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectangulos');
hold off;
fprintf('El resultado de la integral es: %.6f\n', integral_rectangulo)

Mediante este cálculo en Matlab nos da que el resultado de la integral es 2.037255 unidades ya que lo hemos aproximado a seis decimales, un valor prácticamente idéntico al calculado anteriormente mediante integración.

4 Vectores tangente y normal

4.1 Cálculo de vectores

Sea [math] γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) [/math] una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces:

El vector tangente [math] \vec{t}(t) [/math] es igual a:
[math] \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} [/math]. En este caso: [math] \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} [/math]
El vector normal [math] \vec{n}(t) [/math] es igual a:
[math] \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) [/math], donde [math] \vec{b}(t) [/math] es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), [math]\vec{b}(t)=\vec{k}[/math]. De esta forma:
[math] \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)= \begin{equation} \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 0 & 0 & 1\\ sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0 \end{vmatrix} \end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} [/math]

4.2 Interpretación de los vectores

Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal:

En primer lugar, el vector tangente [math] \vec{t}(t) [/math] indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario.

Asimismo, el vector normal [math] \vec{n}(t) [/math], también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto vectorial [math] \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)[/math].

El vector binormal [math]\vec{b}(t) [/math] es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

4.3 Código MatLab (Curva y vectores)

Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:

% Creamos las variables
n = 25;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')

5 Curvatura

5.1 Explicación de la curvatura de la catenaria

6 Circunferencia osculatriz

6.1 Interpretación geométrica

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

• el mismo punto,
• la misma dirección del vector tangente,
• y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de estudio que se nos pide es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

6.2 Centro de la circunferencia osculatriz

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:

[math] x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right). [/math]

[math] x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right). [/math]

La curvatura de una curva plana [math]\gamma(t) = (x(t),y(t))[/math] viene dada por

[math] \kappa(t) = \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|} {\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}. [/math]

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos

[math] \kappa(t) = \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)} {\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}. [/math]

Como [math]1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)[/math], queda

[math] \kappa(t) = \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)} = \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right). [/math]

El radio de curvatura es

[math] R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right). [/math]

En el punto [math]t_0 = -0.5[/math] resulta

[math] R = R(t_0) = 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right) = 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right) \approx 3.08. [/math]

6.3 Representación gráfica y código

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2);  % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
       'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');

7 Información sobre la catenaria

La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

• En los cables principales de puentes colgantes y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
• En líneas eléctricas aéreas, cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
• En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a compresión, de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

8 Ejemplos en ingeniería civil

La catenaria es una curva fundamental y muy común en la ingeniería civil porque describe la forma natural que adopta un cable o cadena flexible sometido únicamente a su propio peso. Esta propiedad le otorga un papel central en el diseño de estructuras donde los elementos trabajan principalmente a tracción.

8.1 La catenaria en ingeniería civil

8.1.1 Puentes Colgantes y cables

Aunque es común asociar los puentes colgantes con la catenaria, desde el punto de vista de la ingeniería estructural, el cable solo adopta esta forma purista y = A * cosh(x/A) cuando soporta una carga proporcional a su propia longitud de arco. Esto se observa en pasarelas de tablero flexible y ligero, como el Puente Tibetano de Canillo en Andorra, donde el peso dominante es el del propio cable y la pasarela sigue su curvatura. Esto contrasta con los grandes puentes colgantes de tablero rígido y horizontal (Akashi Kaikyo), donde la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la proyección horizontal, obligando al cable a adoptar una forma parabólica en lugar de una catenaria. No obstante, el cálculo inicial y las propiedades de la catenaria son la base para el diseño.

• 

  Puente Tibetano situado en Andorra

• 

  Puente Akashi Kaikyo

8.1.2 Arcos con forma de catenaria invertida

Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y la Sagrada Familia de Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos. Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.

• 

  Fachada Sagrada Familia

• 

  Arco Gateway en San Luis.

9 Semejanzas catenaria y parábola

La catenaria [math](γ(t) = A/cosh(t/A))[/math] y la parábola [math](y = A + x^2/A)[/math] presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas. Justificación matemática El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice [math](x≈0)[/math]. La aproximación [math]A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A[/math] demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.

9.1 Código Matlab comparación Catenaria vs Parábola

Comparación catenaria frente a parábola

% Apartado 9: Dibujo de la curva y comparación con la parábola

clear; clc; close all;

% 1. Definición de parámetros
a = 3;                  % Valor de A fijado en el enunciado
t = linspace(-1, 1, 200); % Parámetro t en el intervalo (-1, 1)

% 2. Cálculo de la Catenaria; x(t) = t, y(t) = A*cosh(t/A)
x = t;
y= a * cosh(t / a);

% 3. Cálculo de la Parábola de comparación; y = A + (x^2)/A
% Nota: Usamos x_cat como la 'x' para la ecuación explícita
ypar = a + (x.^2) / a;

% 4. Generación de la Gráfica
figure('Name', 'Trabajo H: Catenaria vs Parabola', 'NumberTitle', 'off');
hold on; grid on; axis equal;

% Dibujar Catenaria (Línea azul sólida, más gruesa)
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Catenaria: y = A \cdot cosh(x/A)');

% Dibujar Parábola (Línea roja discontinua)
plot(x, ypar, 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Parábola: y = A + x^2/A');

% 5. Decoración y Formato
xlabel('x (metros)');
ylabel('y (metros)');
title(['Comparación Catenaria vs Parábola (a = ' num2str(a) ')']);
legend('Location', 'North'); % Muestra la leyenda arriba para no tapar las curvas

hold off;

10 Superficie de revolución

En este apartado extendemos el estudio de la catenaria al espacio tridimensional [math]R^3[/math]. Partimos de una parametrización específica de la curva dada por [math]γ(t)=(0, A \cosh(t/A), t)[/math], definida en el intervalo [math] t ∈(-1, 1)[/math] y manteniendo el valor de la constante [math]A=3[/math]. Esta expresión sitúa la catenaria en el plano [math]x_1=1[/math], orientada de tal forma que la variable [math]t[/math] actúa como la coordenada vertical [math]x_3[/math]. El objetivo principal es generar la superficie de revolución resultante al girar dicha curva alrededor del eje vertical [math]x_1=x_2=0[/math]. Para su representación gráfica se sugiere el uso de coordenadas cilíndricas, lo que da lugar geométricamente a una superficie conocida como catenoide.

Superficie del Catenoide

10.1 Código de Matlab

% Representación de la superficie de revolución (Catenoide)

% 1. Definición de parámetros
a = 3;                  
tmin = -1;             
tmax = 1;              

% 2. Creación del mallado (Grid)
% Creamos un vector para t (altura) y otro para theta (ángulo de giro)
num_points = 75;        
t = linspace(tmin, tmax, num_points);
theta = linspace(0, 2*pi, num_points);

% Matrices de coordenadas
[T, THETA] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización de la superficie (Cilíndricas -> Cartesianas)
R = a * cosh(T ./ a); 

X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);
Z = T;  

% Representación gráfica
figure('Name', 'El Catenoide', 'NumberTitle', 'off');
surf(X, Y, Z);

% Visualización
shading interp;         
colormap jet;           
light               
lighting phong;         
axis equal;              
grid on;
box on;

% Etiquetas y Título
xlabel('Eje X_1');
ylabel('Eje X_2');
zlabel('Eje X_3 (Eje de revolución)');
title(['Superficie de revolución de la Catenaria (Catenoide) con A = ', num2str(a)]);

11 Distribución de la densidad