Diferencia entre revisiones de «G-19: Sistema de masas y muelles»
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| + | xp=(xx+h*K1/2); | ||
| + | K2=[-k1/m1*xp(4)+k2/m1*(xp(5)-xp(4));-k2/m2*(xp(5)-xp(4))+k3/m2*(xp(6)-xp(5));-k3/m3*(xp(6)-xp(5))-k4/m3*xp(6);xp(1);xp(2);xp(3)]; | ||
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| + | xx=xx+h/2*(K1+K2); | ||
| + | x(:,n+1)=xx; | ||
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plot(t,x(5,:)); | plot(t,x(5,:)); | ||
Revisión del 17:59 4 mar 2014
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Modelo masa-resorte. Grupo 19-B |
| Asignatura | Ecuaciones Diferenciales |
| Curso | Curso 2013-14 |
| Autores | Javier Abad, Jesús Castaño, Ignacio Embid, Ángela Pozo, Javier Pérez, Cristino Pérez |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
En este trabajo vamos estudiar el comportamiento del sistema formado por 3 masas y 4 muelles de constantes k1, k2, k3 y k4, limitados por paredes verticales en ambos extremos.
Contenido
1 Ecuaciones del movimiento
Se van a considerar 3 grados de libertad x1, x2, x3, que van a ser los desplazamientos de las masas respecto de sus posiciones de equilibrio. Estableciendo [math]F=m*a[/math] y aplicando la ley de Hooke obtenemos:
m1: [math]m_1x_1'' = - k_1x_1 + k_2(x_2 - x_1)[/math] m2: [math]m_2x_2'' = - k_2(x_2 - x_1) - k_3(x_2 - x_3)[/math] m3: [math]m_3x_3’’= -k_3(x_3-x_2)- k_4x_3[/math]
2 Resolución de sistemas
Si en el instante t= 0 las tres masas están desplazadas 0.5, 1 y 0.8 metros hacia la derecha de la posición de equilibrio y se sueltan repentinamente, sin velocidad, vamos a calcular la posición x1(t), x2(t), x3(t), con respecto a su estado de equilibrio. Teniendo en cuanta los siguiente datos [math]k_1 = 4N/m[/math]; [math]k_2 = 2N/m[/math]; [math]k_3 = 1N/m[/math]; [math]k_4 = 3N/m[/math]; [math]m_1 = 2kg[/math]; [math]m_2 = 1kg[/math];[math]m_3 = 3kg[/math]; que la distancia entre las paredes es de 12 metros y que en equilibrio las tres masas están en las posiciones [math]x_1 = 2.5m[/math] ; [math]x_2 = 4m[/math]; y [math]x_3 = 8m[/math].
Resolución por el método de Euler modificado:
%euler modificado
%Datos
t0=0;
tf=10;
x0=[0,0,0,0.5,1,0.8]';
k1=4;
k2=2;
k3=1;
k4=3;
m1=2;
m2=1;
m3=3;
%Discretización
h=0.1;
N=(tf-t0)/h;
%vector tiempo y matriz posicion
t=t0:h:tf;
x=zeros(6,N+1);
%Inicializamos
x(:,1)=x0;
xx=x0;
% Nota: la funcion no depende del tiempo luego el tiempo no esta presente
%Interacciones
for n=1:N
K1=[-k1/m1*xx(4)+k2/m1*(xx(5)-xx(4));-k2/m2*(xx(5)-xx(4))+k3/m2*(xx(6)-xx(5));-k3/m3*(xx(6)-xx(5))-k4/m3*xx(6);xx(1);xx(2);xx(3)];
xp=(xx+h*K1/2);
K2=[-k1/m1*xp(4)+k2/m1*(xp(5)-xp(4));-k2/m2*(xp(5)-xp(4))+k3/m2*(xp(6)-xp(5));-k3/m3*(xp(6)-xp(5))-k4/m3*xp(6);xp(1);xp(2);xp(3)];
xx=xx+h/2*(K1+K2);
x(:,n+1)=xx;
end
plot(t,x);
Resolución por el método de Runge-kutta:
%runhekuter4
%Datos
t0=0;
tf=10;
x0=[0,0,0,0.5,1,0.8]';
k1=4;
k2=2;
k3=1;
k4=3;
m1=2;
m2=1;
m3=3;
%Discretización
h=0.025;
N=(tf-t0)/h;
%vector tiempo y matriz posicion
t=t0:h:tf;
x=zeros(6,N+1);
%Inicializamos
x(:,1)=x0;
xx=x0;
% Nota: la funcion no depende del tiempo luego el tiempo no esta presente
%Interacciones
for n=1:N
K1=[-k1/m1*xx(4)+k2/m1*(xx(5)-xx(4));-k2/m2*(xx(5)-xx(4))+k3/m2*(xx(6)-xx(5));-k3/m3*(xx(6)-xx(5))-k4/m3*xx(6);xx(1);xx(2);xx(3)];
xp=(xx+h*K1/2);
K2=[-k1/m1*xp(4)+k2/m1*(xp(5)-xp(4));-k2/m2*(xp(5)-xp(4))+k3/m2*(xp(6)-xp(5));-k3/m3*(xp(6)-xp(5))-k4/m3*xp(6);xp(1);xp(2);xp(3)];
xp=(xp+h*K2/2);
K3=[-k1/m1*xp(4)+k2/m1*(xp(5)-xp(4));-k2/m2*(xp(5)-xp(4))+k3/m2*(xp(6)-xp(5));-k3/m3*(xp(6)-xp(5))-k4/m3*xp(6);xp(1);xp(2);xp(3)];
xp=(xp+h*K3/2);
K4=[-k1/m1*xp(4)+k2/m1*(xp(5)-xp(4));-k2/m2*(xp(5)-xp(4))+k3/m2*(xp(6)-xp(5));-k3/m3*(xp(6)-xp(5))-k4/m3*xp(6);xp(1);xp(2);xp(3)];
xx=xx+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
x(:,n+1)=xx;
end
plot(t,x);
3 Interpretación Gráfica
4 Variaciones en la velocidad y la posición
4.1 Caso a)
Se desplazan las masas, 0.5m a la izquierda la primera, 1m a la derecha la segunda y 0.5m a la izquierda la tercera. Las tres masas se sueltan con una velocidad inicial de 1m/s hacia la derecha. Por el método del trapecio:
%trapecio
%Datos
t0=0;
tf=10;
x0=[1,1,0.5,-0.5,1,-0.5]';
k1=4;
k2=2;
k3=1;
k4=3;
m1=2;
m2=1;
m3=3;
%DiscretizaciÛn
h=0.2;
N=(tf-t0)/h;
%vector tiempo y matriz posicion
t=t0:h:tf;
x=zeros(6,N+1);
%A=matriz coeficientes
A=[0,0,0,-(k1+k2)/m1,k2/m1,0;0,0,0,k2/m2,-(k2+k3)/m2,k3/m2;0,0,0,0,k3/m3,-(k3+k4)/m3;1,0,0,0,0,0;0,1,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0];
%Inicializamos
x(:,1)=x0;
%Interacciones
for n=1:N
x(:,n+1)=inv(eye(size(A))-h/2*A)*(x(:,n)+h/2*A*x(:,n));
end
hold on
plot(t,x(4,:));
plot(t,x(5,:));
plot(t,x(6,:));
hold off
Posiciones relativas de las masas por el método de euler modificado.
%euler modificado
%Datos
t0=0;
tf=10;
x0=[-1,0,0.5,0.5,1,-0.5]';
k1=4;
k2=2;
k3=1;
k4=3;
m1=2;
m2=1;
m3=3;
%DiscretizaciÛn
h=0.05;
N=(tf-t0)/h;
%vector tiempo y matriz posicion
t=t0:h:tf;
x=zeros(6,N+1);
%Inicializamos
x(:,1)=x0;
xx=x0;
% Nota: la funcion no depende del tiempo luego el tiempo no esta presente
%Interacciones
for n=1:N
K1=[-k1/m1*xx(4)+k2/m1*(xx(5)-xx(4));-k2/m2*(xx(5)-xx(4))+k3/m2*(xx(6)-xx(5));-k3/m3*(xx(6)-xx(5))-k4/m3*xx(6);xx(1);xx(2);xx(3)];
xp=(xx+h*K1/2);
K2=[-k1/m1*xp(4)+k2/m1*(xp(5)-xp(4));-k2/m2*(xp(5)-xp(4))+k3/m2*(xp(6)-xp(5));-k3/m3*(xp(6)-xp(5))-k4/m3*xp(6);xp(1);xp(2);xp(3)];
xx=xx+h/2*(K1+K2);
x(:,n+1)=xx;
end
subplot(2,1,1)
plot(x(4,:),x(6,:));
subplot(2,1,2)
hold on
plot(t,x(4,:));
plot(t,x(5,:));
plot(t,x(6,:));
hold off
