Diferencia entre revisiones de «La Cicloide (GRUPO 65)»

Revisión del 15:38 3 dic 2025

Se considera una curva en un plano de dimensión 2 dada por la parametrización:

[math] 𝛾(t) = (x(t),y(t)) = (R(t-sint),R(1-cost)), t∈(0,2π) [/math]

Siendo R un número positivo fijo. En este caso R=3

1 G. La Cicloide

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

[math]\gamma(t) = (x(t), y(t)) = (R(t - \sin t), R(1 - \cos t)), \quad t \in (0, 2\pi)[/math]

donde [math]R[/math] es un número positivo fijado. En este trabajo tomamos [math]R = 3[/math].

1.1 Dibujar la curva

La curva representa el trayecto de un punto en el borde de una rueda de radio [math]R=3[/math] que gira sin deslizar.

Gráfica de la Cicloide (R=3) generada en MATLAB

% --- 1. Gráfica de la Cicloide ---

R = 3;
t = linspace(0, 2*pi, 1000);

% Parametrización
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

figure(1);
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Cicloide (R=3)');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal; grid on; xlim([0, 2*pi*R]);

1.2 Vectores velocidad y aceleración

Calculamos analíticamente los vectores derivando la parametrización: El vector velocidad corresponde a la primera derivada del vector inicial con respecto al parámetro t. La parametrización se muestra a continuación:

• Velocidad: [math]\gamma'(t) = (3(1 - \cos t), 3\sin t)[/math]

El vector aceleración viene dado por la segunda derivada de la cicloide con respecto al parámetro t. El vector calculado es el siguiente:

• Aceleración: [math]\gamma''(t) = (3\sin t, 3\cos t)[/math]

A continuación, el código para dibujarlos en un punto arbitrario (por ejemplo, [math]t = \pi/2[/math]):

% --- 2. Vectores Velocidad y Aceleración ---
t_p = pi/2; % Punto de ejemplo
P_vec = [R*(t_p - sin(t_p)), R*(1 - cos(t_p))];

% Cálculo de vectores
Vel = [R*(1 - cos(t_p)), R*sin(t_p)];
Acc = [3*sin(t_p), 3*cos(t_p)];

figure(1); hold on;
quiver(P_vec(1), P_vec(2), Vel(1), Vel(2), 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.5, 'DisplayName', 'Velocidad');
quiver(P_vec(1), P_vec(2), Acc(1), Acc(2), 'g', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.5, 'DisplayName', 'Aceleración');
legend show;

1.3 Longitud de la curva

La longitud de la curva se calcula mediante la integral:

[math]L = \int_0^{2\pi} \|\gamma'(t)\| dt = \int_0^{2\pi} 3\sqrt{(1-\cos t)^2 + \sin^2 t} \, dt[/math]

Simplificando el integrando obtenemos [math]6\sin(t/2)[/math]. Resolviendo la integral:

[math]L = \int_0^{2\pi} 6\sin(t/2) dt = [-12\cos(t/2)]_0^{2\pi} = 24[/math]

Cálculo numérico (Método del Rectángulo):

% --- 3. Longitud de Arco (Método Rectángulo) ---
N = 10000; 
h = (2*pi) / N;
t_rect = 0:h:(2*pi-h);

dx = R * (1 - cos(t_rect));
dy = R * sin(t_rect);
ds = sqrt(dx.^2 + dy.^2);

Longitud_Aprox = sum(ds * h);
fprintf('Longitud Aproximada: %.5f\n', Longitud_Aprox);
fprintf('Longitud Teórica: 24\n');

1.4 Vectores tangente y normal

• Tangente unitario: [math]\vec{t}(t) = (\sin(t/2), \cos(t/2))[/math]
• Normal unitario: [math]\vec{n}(t) = (\cos(t/2), -\sin(t/2))[/math] (apuntando hacia el centro de curvatura).

% --- 4. Vectores Tangente y Normal ---
figure(2);
plot(x, y, 'b'); hold on; axis equal; grid on;
title('Vectores Tangente (Magenta) y Normal (Cian)');

t_vals = 1:1:5; 
for k = 1:length(t_vals)
    tk = t_vals(k);
    Pk = [R*(tk - sin(tk)), R*(1 - cos(tk))];
    
    vk = [R*(1 - cos(tk)), R*sin(tk)];
    Tk = vk / norm(vk);      % Tangente
    Nk = [Tk(2), -Tk(1)];    % Normal
    
    quiver(Pk(1), Pk(2), Tk(1), Tk(2), 0.5, 'm', 'LineWidth', 2);
    quiver(Pk(1), Pk(2), Nk(1), Nk(2), 0.5, 'c', 'LineWidth', 2);
end

1.5 Curvatura

La curvatura [math]\kappa(t)[/math] para [math]R=3[/math] viene dada por:

[math]\kappa(t) = \frac{1}{4R\sin(t/2)} = \frac{1}{12\sin(t/2)}[/math]

% --- 5. Gráfica de la Curvatura ---
t_k = linspace(0.1, 2*pi-0.1, 100); 
kappa = 1 ./ (12 * sin(t_k / 2));

figure(3);
plot(t_k, kappa, 'r-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t'); grid on;

1.6 Circunferencia osculatriz en t=4

Para el punto [math]P = \gamma(4)[/math]:

• Radio de curvatura: [math]\rho = 12\sin(2) \approx 10.91[/math]
• Centro de curvatura: Se calcula numéricamente desplazando [math]P[/math] en dirección normal.

% --- 6. Circunferencia Osculatriz (t=4) ---
t0 = 4;
P0 = [R*(t0 - sin(t0)), R*(1 - cos(t0))];
rho = 12 * sin(t0/2);
N0 = [cos(t0/2), -sin(t0/2)]; 
Centro = P0 + rho * N0;

figure(4);
plot(x, y, 'b'); hold on; axis equal; grid on;
theta = linspace(0, 2*pi, 200);
xc = Centro(1) + rho * cos(theta);
yc = Centro(2) + rho * sin(theta);
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.5);
plot(P0(1), P0(2), 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');
title('Circunferencia Osculatriz en t=4');

1.7 Información sobre la curva

La cicloide es una curva fundamental en la historia de la física y la matemática. Describe dos fenómenos clave:

• **La Braquistócrona:** Es la curva de descenso más rápido entre dos puntos bajo la acción de la gravedad.
• **La Tautócrona:** El periodo de oscilación de una partícula que desliza sobre una cicloide invertida es independiente de su amplitud.

En ingeniería, se utiliza en el diseño de engranajes cicloidales, los cuales sufren menos desgaste por rozamiento que los engranajes convencionales.

1.8 Estructura civil

Un ejemplo destacado del uso de arcos cicloidales es el **Museo de Arte Kimbell** en Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn. La estructura de la cubierta está formada por bóvedas con perfil de cicloide que optimizan la distribución de la luz natural.

Bóvedas cicloidales del Museo de Arte Kimbell

1.9 Superficie reglada en R3

Consideramos la superficie:

[math]\gamma(u, t) = (u, 3(t - \sin t), 3(1 + \cos t))[/math]

% --- 9. Superficie Reglada ---
u = 0:0.1:1;
t_surf = 0:0.1:2*pi;
[U, T] = meshgrid(u, t_surf);

X1 = U;
X2 = R * (T - sin(T));
X3 = R * (1 + cos(T));

figure(5);
surf(X1, X2, X3);
shading interp; colormap jet;
title('Superficie Reglada Cicloidal');
axis tight; view(45, 30);

1.10 Cálculo de la masa

Dada la densidad [math]f(x_1, x_2, x_3) = (1 + x_1)(1 + x_2)x_3[/math], calculamos la masa mediante la integral de superficie. El elemento de área diferencial es [math]dS = 6\sin(t/2) dt du[/math].

% --- 10. Cálculo de Masa ---
fun_densidad = @(u, t) (1 + u) .* (1 + R*(t - sin(t))) .* (R*(1 + cos(t))) .* (2*R*sin(t/2));
Masa_Total = integral2(fun_densidad, 0, 1, 0, 2*pi);
fprintf('Masa total: %.4f\n', Masa_Total);

Resultado aproximado: La masa calculada es [math]750.58[/math] unidades.