Diferencia entre revisiones de «Sistema de muelles y masas (Grupo 3B)»

Revisión del 17:12 3 mar 2014

Muchos modelos de vibraciones se modelizan con sistemas de muelles y masas.

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1 MODELIZACIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES

Se modeliza el sistema de ecuaciones diferenciales para el desplazamiento de 3 masas desde la posición de equilibrio. Los grados de libertad que se utilizan son x1, x2 y x3, siendo estos la distancia de cada masa a su posición de equilibrio (Se toma el desplazamiento positivo hacia la derecha).
Se desprecia la fuerza de rozamiento, por lo que se supone que deslizan sobre una superficie horizontal y lisa, y por tanto las únicas fuerzas a tener en cuenta son las ejercidas por los muelles. Según la ley de Hooke, la fuerza producida por un muelle es proporcional a su elongación.
Por tanto las fuerzas aplicadas a la primera masa serán: : [math] F1=-k1x1 [/math] : [math] F2=k2(x2-x1) [/math] Sobre la segunda masa: : [math] F3=-k2(x2-x1) [/math] : [math] F4=-k3x2 [/math] Y las fuerzas que actúan en la tercera masa: : [math] F5=-k3(x3-x2) [/math] : [math] F6=-k4x3 [/math]

Donde k1, k2, k3 y k4 son las constantes elásticas del movimiento de cada muelle.

Aplicando la segunda Ley de Newton, [math] F=mx'' [/math], se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: [math] m1x1''=-k1x1+k2(x2-x1)[/math]: [math] m2x2''=-k2(x2-x1)-k3(x2-x3)[/math]: [math] m3x3''=-k3(x3-x2)-k4x3[/math]

2 RESOLUCIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES

En el instante t=0, las tres masas están desplazadas 0.5,1 y 0.8 metros hacia la derecha respecto de la posición de equilibrio y se sueltan repentinamente,sin velocidad.Se resuelve el sistema de ecuaciones diferenciales utilizando dos métodos numéricos:

• Método de Runge-Kutta de cuarto orden.
  
• Método de Euler modificiado de segundo orden.
  

2.1 Método Runge-Kutta

Para poder aplicar este método, se necesita reducir el orden de la ecuación, descomponiendo el sistema en seis ecuaciones de primer orden. Para ello se realizan los siguientes cambios de variable: [math] x1’= z1[/math]: [math] z1’= x1’’[/math]: [math] x2’= z2[/math]: [math] z2’= x2’’[/math]: [math] x3’= z3[/math]: [math] z3’= x3’’[/math]:

Sustituyendo los datos proporcionados en el enunciado:
m1=2 kg, k1=4 N/m, m2=1kg, k2=2 N/m, m3=3kg, k3=1 N/m.

Se obtiene el sistema de ecuaciones: [math] x1’= z1[/math]: [math] z1’= x1’’=-3x1+x2[/math]: [math] x2’= z2[/math]: [math] z2’= x2’’=-3x2+2x1+x3[/math]: [math] x3’= z3[/math]: [math] z3’= x3’’=-(4/3)x3+(1/3)x2[/math]:

El código en MATLAB del método sería:

% Las 6 filas que uso corresponden a x1, x2, x3, x1', x2' y x3' en ese orden
clear all
h=0.025;
y0=[0.5 1 0.8 0 0 0;-0.5 1 -0.5 1 1 1;0.5 1 -0.5 -1 0 0.5]'; % Matriz con las condiciones iniciales de cada apartado
t0=0;
tf=20;
N=(tf-t0)/h;
t=t0:h:tf;
y=zeros(6,N+1);
A=[0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 0 1;-3 1 0 0 0 0;2 -3 1 0 0 0;0 1/3 -4/3 0 0 0];
yy=y0(:,1); % Cambiar el 1 por un 2 o un 3 si se quiere ver el resultado de los otros 2 apartados,
%             aunque el primero es el unico que se hace con RK4
 
y(:,1)=yy;
 
for i=1:N
% Calculamos k1=f(tn,yn)
k1=A*yy;
% Calculamos k2=f(tn+h/2,yn+1/2*h*k1)
k2=A*(yy+1/2*h*k1);
% Calculamos k3=f(tn+h/2,yn+1/2*h*k2)
k3=A*(yy+1/2*h*k2);
% Calculamos k4=f(tn+h,yn+h*k3)
k4=A*(yy+h*k3);
% Meto los datos en el vector
yy=yy+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);
y(:,i+1)=yy;
end
 
y=y(1:3,:); % Para coger solo los datos de la posicion
y(1,:)=y(1,:)+ones(1,N+1)*2.5;
y(2,:)=y(2,:)+ones(1,N+1)*4;
y(3,:)=y(3,:)+ones(1,N+1)*8;
 
 
plot(y,t,':')
xlabel('Posicion de la masa')
ylabel('Tiempo')
legend('x1(t)','x2(t)','x3(t)')

Se obtiene la siguiente gráfica tiempo-posición:

Archivo:.jpg

2.2 Método Euler Modificado

Al igual que con el método de Runge-Kutta, es necesario reducir el orden de la ecuación por lo que realizamos el mismo cambio de variable y por tanto se obtiene el mismo sistema de ecuaciones.

El código en MATLAB sería:

% Resolver Sistema de ecuaciones con Euler Modificado

% Las 6 filas que usamos corresponden a x1, x2, x3, x1', x2' y x3' en ese orden

clear all
h=0.1;
y0=[0.5 1 0.8 0 0 0;-0.5 1 -0.5 1 1 1;0.5 1 -0.5 -1 0 0.5]'; % Matriz con las condiciones iniciales de cada apartado
t0=0;
tf=20;
N=(tf-t0)/h;
t=t0:h:tf;
y=zeros(6,N+1);
A=[0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 0 1;-3 1 0 0 0 0;2 -3 1 0 0 0;0 1/3 -4/3 0 0 0];
yy=y0(:,1); % Cambiar el 1 por un 2 o un 3 si se quiere ver el resultado de los otros 2 apartados,
%             aunque el primero es el unico que se hace con RK4

y(:,1)=yy;


for i=1:N
% Calculamos k1=h*f(tn,yn)
k1=A*yy;
% Calculamos k2=h*f(tn+h/2,yn+1/2*k1)
k2=A*(yy+h*k1);
% Meto los datos en el vector
yy=yy+(h/2)*(k1+k2);
y(:,i+1)=yy;
end

y=y(1:3,:); % Para coger solo los datos de la posicion

y(1,:)=y(1,:)+ones(1,N+1)*2.5;
y(2,:)=y(2,:)+ones(1,N+1)*4;
y(3,:)=y(3,:)+ones(1,N+1)*8;

plot(y,t)
xlabel('Posicion de las masas')
ylabel('Tiempo')
legend('x1(t)','x2(t)','x3(t)')

Se obtiene la siguiente gráfica tiempo-posición:

Archivo:.jpg

3 EFECTO DE LA VELOCIDAD INICIAL EN LA TRAYECTORIA

Del mismo modo que en el caso anterior, las tres masas parten de una posición diferente a la del equilibrio, pero en este caso se impone una velocidad inicial. Se analiza la trayectoria de las masas en dos supuestos distintos.