Diferencia entre revisiones de «El vórtice de Rankine (g.34)»
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Como podemos observar por la expresión del campo de la velocidad, <math>\mathbf{v} = v_\theta(\rho) \, \mathbf{e}_\theta</math>, la velocidad depende de la coordenada radial y no de <math>z</math>. Además en la ecuación principal de la velocidad, que recordemos:<math>v_\theta(\rho) =\begin{cases} \dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \\[2mm]\dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho > R\end{cases}</math> , se puede apreciar cómo en sí misma no se puede apreciar ninguna <math>z</math>. Es por ello que el campo vectorial de v es estrictamente horizontal, y está “conviviendo” en un plano bidimensional. Además al no tener la z, la estructura del campo vectorial es la misma a cualquier altura z. | Como podemos observar por la expresión del campo de la velocidad, <math>\mathbf{v} = v_\theta(\rho) \, \mathbf{e}_\theta</math>, la velocidad depende de la coordenada radial y no de <math>z</math>. Además en la ecuación principal de la velocidad, que recordemos:<math>v_\theta(\rho) =\begin{cases} \dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \\[2mm]\dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho > R\end{cases}</math> , se puede apreciar cómo en sí misma no se puede apreciar ninguna <math>z</math>. Es por ello que el campo vectorial de v es estrictamente horizontal, y está “conviviendo” en un plano bidimensional. Además al no tener la z, la estructura del campo vectorial es la misma a cualquier altura z. | ||
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vR = 90; % v tang en rho=R (m/s) | vR = 90; % v tang en rho=R (m/s) | ||
Revisión del 17:37 2 dic 2025
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | El Vórtice de Rankine (Grupo 34) |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2025-26 |
| Autores | Miguel Gómez-Hidalgo Rivas Haytam Imhah Chatoual Darío Pérez Pablo Ramírez Serrano Jorge Machín Menés |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
1 Introducción
El Vórtice de Rankine es un modelo matemático, ideado por William John Macquorn Rankine, ingeniero y físico escocés. Su diseño estuvo sujeto a la imperiosa necesidad de explicar de manera simplificada los fluidos rotatorios. Este modelo, aplicado a la vida cotidiana permite la descripción de la estructura básica de fenómenos meteorológicos como tornados y huracanes o en ciertos casos puede explicar ciertos aspectos de la ingeniería como la aerodinámica, ayudando a la creación de sistemas como las turbinas o ventiladores. En este trabajo, haremos algunos cálculos interesantes para la comprensión de este modelo. Además, utilizaremos códigos de Matlab para la representación de funciones y campos vectoriales de manera gráfica.
2 Circulación
Dada la función que representa la velocidad del vórtice [math]v_\theta(\rho) = \begin{cases} \dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \\[2mm] \dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho \gt R \end{cases} [/math], para la situación [math]\rho = \text{R}[/math], tenemos la expresión [math]v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\, \rho \;=\; \frac{\Gamma}{2\pi R} [/math]. Según los datos que nos proporcionan [math](R=250 m; v_{\theta}= 90 m/s )[/math], nos daría un resultado de: [math]\Gamma = 1.4137 \times 10^{5} \ \mathrm{m^2/s} [/math]
% Parámetros
R = 250; % Radio del núcleo (m)
vR = 90; % Velocidad tangencial en rho = R (m/s)
Gamma = 2*pi*R*vR; % Circulación total
% Dom
rho = 0:1:1000; % Distancia radial desde 0 a 1000 m
%Campo de velocidad tangencial según Rankine
vtheta = zeros(size(rho));
inside = (rho <= R);
vtheta(inside) = (Gamma/(2*pi*R^2)) * rho(inside);
outside = (rho > R);
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*rho(outside));
vtheta(1) = 0; % Velocidad nula en el centro
%% Gráfica del perfil de velocidad
figure('Color', 'w', 'Position', [200 200 700 450]);
plot(rho, vtheta, 'b-', 'linewidth', 2);
hold on
plot(R, vR, 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r', 'Markersize', 8, ...
'DisplayName', sprintf('(R, v_R) = (%d m, %d m/s)', R, vR));
xlabel('\rho (m)', 'FontSize', 12);
ylabel('v_\theta(\rho) (m/s)', 'FontSize', 12);
title(sprintf('Vórtice de Rankine - R = %d m, v_\\theta(R) = %d m/s, \\Gamma = %.2e m²/s', ...
R, vR, Gamma), 'FontSize', 12);
% Leyenda
legend('v_\theta(\rho)', '\rho = R', sprintf('(R, v_R) = (%d, %d)', R, vR), ...
'Location', 'NorthEast');
% Configuración de ejes
grid on
xlim([0 1000]);
ylim([0 max(vtheta)*1.15]);
% Información en
fprintf('\n=== VÓRTICE DE RANKINE ===\n');
fprintf('Radio del núcleo: R = %.0f m\n', R);
fprintf('Velocidad en R: v_R = %.0f m/s\n', vR);
fprintf('Circulación: Γ = %.4e m²/s\n', Gamma);
fprintf('Velocidad máxima: v_max = %.2f m/s (en ρ = R)\n', vR);
fprintf('\nComportamiento:\n');
fprintf('- Interior (ρ ≤ R): v_θ ∝ ρ\n');
fprintf('- Exterior (ρ > R): v_θ ∝ 1/ρ\n');
3 Representación de $\vec{v}$
Como podemos observar por la expresión del campo de la velocidad, [math]\mathbf{v} = v_\theta(\rho) \, \mathbf{e}_\theta[/math], la velocidad depende de la coordenada radial y no de [math]z[/math]. Además en la ecuación principal de la velocidad, que recordemos:[math]v_\theta(\rho) =\begin{cases} \dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \\[2mm]\dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho \gt R\end{cases}[/math] , se puede apreciar cómo en sí misma no se puede apreciar ninguna [math]z[/math]. Es por ello que el campo vectorial de v es estrictamente horizontal, y está “conviviendo” en un plano bidimensional. Además al no tener la z, la estructura del campo vectorial es la misma a cualquier altura z.
R = 250; % r del núcleo (m)
vR = 90; % v tang en rho=R (m/s)
Gamma = 2*pi*R*vR;
% Dom
[x, y] = meshgrid(-800:40:800, -800:40:800);
rho = sqrt(x.^2 + y.^2); % dist rad
theta = atan2(y, x); % áng polar
% Campo de v_theta
vtheta = zeros(size(rho));
% Región interna flujo como sol
inside = rho <= R & rho ~= 0;
vtheta(inside) = (Gamma./(2*pi*R^2)) .* rho(inside);
% Región externa irrotacional
outside = rho > R;
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*rho(outside));
%%Componentes cartesianas de la velocidad
% Direcciones tangenciales
u = -vtheta .* sin(theta); % componente en x
v = vtheta .* cos(theta); % componente en y
% Gráfica quiver
figure('Color','w','Position',[200 200 700 550])
hold on
% Parte interna del vórtice (color azul)
quiver(x(inside), y(inside), u(inside), v(inside), ...
'Color',[0 0.3 1], 'LineWidth',1.2)
% Parte externa del vórtice (color rojo)
quiver(x(outside), y(outside), u(outside), v(outside), ...
'Color',[1 0 0], 'LineWidth',1.2)
% Círculo marcando el ojo
th = linspace(0,2*pi,300);
plot(R*cos(th), R*sin(th), 'k--', 'LineWidth',1.4)
axis equal
xlabel('x (m)')
ylabel('y (m)')
title('Campo vectorial del vórtice de Rankine (plano horizontal)')
legend('Interior del ojo','Exterior del vórtice','Radio del núcleo')
grid on
