Revisión del 16:49 2 dic 2025

1 Dibujo de la curva

1.1 Descripción de la curva

Representación de la catenaria

La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
[math]γ(t)= (t, a * cosh(\frac{t}{a}))[/math], con [math] a = 3[/math].
La curva es simétrica respecto al eje [math]x = 0[/math]. debido a que [math]cosh(t)[/math] es par.
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola.
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que [math]cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})[/math]

1.2 Código y representación de la curva

Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:

clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
a = 3;
x = t;
y = a * cosh(t / a);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, a * cosh(t / a))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;

2 Vectores aceleración y velocidad

2.1 Cálculo de los vectores

2.2 Código y representación de los vectores

3 Longitud de la curva

3.1 Cálculo de la longitud

3.2 Código y representación de la longitud

4 Vectores tangente y normal

4.1 Cálculo de vectores

5 Curvatura

5.1 6.1 Interpretación geométrica

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto dado es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con la curva:

• el mismo punto,
• la misma dirección del vector tangente,
• y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos aproximar la catenaria mediante un arco de circunferencia, lo que permite simplificar ciertos cálculos geométricos o de esfuerzos en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de interés es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

5.2 6.2 Curvatura y radio de curvatura en [math]P=\gamma(-0.5)[/math]

Primero calculamos las derivadas de la catenaria:

[math]x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh(t/3),[/math]

[math]x(t) = 0,\qquad y(t) = \frac{1}{3}\cosh(t/3).[/math]

La curvatura de una curva plana [math]\gamma(t) = (x(t),y(t))[/math] viene dada por

[math]\kappa(t) = \dfrac{|x'(t)y(t) - y'(t)x(t)|}{\big(x'(t)^2 + y'(t)^2\big)^{3/2}}.[/math]

En nuestro caso resulta

[math]\kappa(t) = \dfrac{\frac{1}{3}\cosh(t/3)}{\big(1+\sinh^2(t/3)\big)^{3/2}} = \dfrac{1}{3}\operatorname{sech}^2\left(\dfrac{t}{3}\right),[/math]

donde [math]\operatorname{sech}(u)=1/\cosh(u).[/math]

El radio de curvatura es

[math]R(t) = \dfrac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\dfrac{t}{3}\right).[/math]

En el punto [math]t_0=-0.5[/math] obtenemos

[math]R = R(t_0) = 3\cosh^2\left(\dfrac{-0.5}{3}\right) = 3\cosh^2\left(\dfrac{1}{6}\right)\approx 3.08.[/math]

5.3 6.3 Centro de la circunferencia osculatriz

El punto de la catenaria que nos interesa es

[math]P = \gamma(-0.5) = \big(-0.5,\;3\cosh(-0.5/3)\big) = \big(-0.5,\;3\cosh(1/6)\big)\approx(-0.50,\;3.04).[/math]

El vector tangente unitario se obtiene normalizando la velocidad:

[math]T(t) = \dfrac{\gamma'(t)}{|\gamma'(t)|} = \left(\operatorname{sech}\left(\dfrac{t}{3}\right),\;\tanh\left(\dfrac{t}{3}\right)\right).[/math]

Un vector normal unitario (perpendicular al tangente) es

[math]N(t) = \big(-T_y(t),\,T_x(t)\big) = \left(-\tanh\left(\dfrac{t}{3}\right),\;\operatorname{sech}\left(\dfrac{t}{3}\right)\right).[/math]

El centro de la circunferencia osculatriz se obtiene desplazando el punto P en la dirección del vector normal una distancia igual al radio de curvatura:

[math]Q(t) = \gamma(t) + R(t)\,N(t).[/math]

En [math]t_0=-0.5[/math] resulta

[math]Q = P + R\,N(t_0) \approx (0.009,\;6.08).[/math]

Por tanto, la circunferencia osculatriz en el punto [math]P=\gamma(-0.5)[/math] tiene centro aproximado [math]Q\approx(0.009,\;6.08)[/math] y radio [math]R\approx 3.08.[/math]

5.4 6.4 Representación gráfica y código

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

A = 3;

% Malla de puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2);
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
       'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');

6 Información sobre la catenaria

7 Ejemplos en ingeniería civil

8 Semejanzas catenaria y parábola

9 Superficie de revolución

10 Distribución de la densidad