Diferencia entre revisiones de «Espiral de Ekman (Grupo 55, Retiro)»

Revisión del 21:39 30 nov 2025

1 Resolucion de [math]\vartheta[/math]

El valor de [math]\vartheta[/math] es importante para la definición de la espiral de Ekman, ya que determina la fase inicial fijada por la dirección del viento respecto a la fuerza de Coriolis.

Considerando una localidad de las Islas Canarias, con coordenadas aproximadas 30º10′24.2″N, 15º30′26.5″W, asumiendo una viscosidad turbulenta de 0.05 m²/s, una velocidad del viento de 12 m/s que sopla de Norte a Sur, una velocidad superficial inducida de aproximadamente 0.15 m/s y un desvío aproximado de 45º (hacia la derecha respecto a la dirección del viento) del flujo supercial. Usamos los siguientes valores:

• [math]z = 0[/math].
• [math]\frac{v(z)}{u(z)} = 1 = \tan(45º) [/math].
• [math]f \gt 0[/math] ya que estamos en el norte, y por lo tanto [math]sgn(f) = 1[/math].

Resolviendo nos queda:

Como tanto [math]u(z)[/math] como [math]v(z)[/math] son negativos, la solución correcta para [math]\vartheta[/math] es:

2 Flujo Neto

El objetivo de este apartado es determinar el flujo neto de agua que atraviesa una pared vertical y demostrar que dicho flujo se orienta hacia el oeste, perpendicular al viento predominante. Para ello, consideramos una pared de agua cuya normal está dada por el vector genérico [math] \vec{n} = \cos(\alpha)\,\vec{i} + \sin(\alpha)\,\vec{j}[/math],donde [math] \alpha \in [0,2\pi) [/math] es un ángulo fijo. La pared tendrá una anchura [math]L = 10\ \text{m}[/math] y la profundidad será infinita [math] z \in [0,-\infty)[/math]. Para hallar el flujo usaremos la fórmula del flujo conociendo el campo vectorial [math]\vec{v} = u(z)\,\vec{i} + v(z)\,\vec{j}[/math],y un vector perpendicular a la superficie [math]\vec{n} = \cos(\alpha)\,\vec{i} + \sin(\alpha)\,\vec{j}[/math]: [math]\Phi = \int_0^{L} \int_{-\infty}^{0} (\vec{v} \cdot \vec{n}) \, dz \, dL[/math]

El resultado del producto vectorial[math](\vec{v} \cdot \vec{n})[/math]es:

[math]\vec{v}\cdot\vec{n} = u(z)\cos(\alpha) + v(z)\sin(\alpha)[/math]

[math]\vec{v}\cdot\vec{n} = V_0 e^{z/d_E} \left[ \cos(\alpha)\cos\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right) + \sin(\alpha)\sin\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right) \right][/math]

[math]\vec{v}\cdot\vec{n} = V_0 e^{z/d_E} \cos\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta - \alpha \right).[/math]

Ahora la integral doble sería:

[math]\Phi = \int_0^{L} \int_{-\infty}^{0} V_0 e^{z/d_E} \cos\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta - \alpha \right) \, dz \, dL[/math]

[math]\Phi = L V_0 \int_{-\infty}^{0} e^{z/d_E} \cos\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta - \alpha \right) \, dz.[/math]

Para resolver lo que queda de integral usaremos la integración por partes:

[math] \int u \, dv = uv - \int v \, du [/math]

[math] u = \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right), \quad \implies \quad du = -\frac{1}{d_E} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz [/math]

[math]dv = e^{\frac{z}{d_E}} dz \implies \quad v = d_E e^{\frac{z}{d_E}} [/math]

Aplicamos la integración por partes: [math] \Phi = L V_0 \left[ d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - \int d_E e^{\frac{z}{d_E}} \left(-\frac{1}{d_E} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ -\alpha\right)\right) dz \right] [/math]

Si simplificamos: [math] \Phi = L V_0 \left[ d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) + \int e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz \right] [/math]

Ahora nos queda otra integral:

[math] I_2 = \int e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz [/math]

Utilizando integral por partes otra vez [math] I_2 = d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - \int d_E e^{\frac{z}{d_E}} \frac{1}{d_E} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz[/math]

[math] I_2 = d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - \int e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz [/math]

Como la ultima integral es igual a la primera:

[math] I_2 = d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right)-I [/math]

Esta la sustituimos en [math]\Phi [/math]

[math] \Phi = L V_0 \left[ d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) + d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - I \right] [/math]

Como [math] \Phi=I = \int_{-\infty}^0 e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz [/math]

Entonces [math] 2I =V_{0} d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) + d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right)[/math]

Solo nos queda evaluar la integral entre [math] z=0 [/math] y [math] z=-\infty[/math]

[math] z =0:[/math]

[math]e^{\frac{z}{d_E}} = 1, \quad \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) = \cos(ϑ - \alpha), \quad \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) = \sin(ϑ - \alpha) [/math]

Y para [math] z =-\infty [/math] todos los [math] e^{\frac{z}{d_E}} \to 0 [/math] entonces se anulan

Entonces el flujo nos quedaría:

[math] \Phi = L V_0 d_E \left[ \cos(ϑ - \alpha) + \sin(ϑ - \alpha) - \frac{1}{2} \left(\cos(ϑ - \alpha) + \sin(ϑ - \alpha)\right) \right] [/math]

[math] \Phi = \frac{L V_0 d_E}{2} \left[\cos(ϑ - \alpha) + \sin(ϑ - \alpha)\right] [/math]

3 Curvatura y torsión para la espiral de Ekman

La curvatura y la torsión son elementos de una curva que son muy útiles para entender como se comporta. La curvatura expresa cuanto cambia la dirección de la trayectoria en cada punto, mientras que la torsión mide cuanto cambia el plano de curvatura a lo largo de la curva. Matemáticamente se expresan de la siguiente manera:

Torsión:

[math]\tau(z) = \frac{[\vec{v}(z),\, \vec{a}(z),\, \vec{a}'(z)]}{|\vec{v}(z) \times \vec{a}(z)|^{2}}[/math]

Curvatura:

[math]\kappa(z) = \frac{|\vec{v}(z) \times \vec{a}(z)|}{|\vec{v}(z)|^{3}}[/math]

Consideramos la curva de Ekman parametrizada por la profundidad:

[math]\vec r(z)=\big(u(z),\,v(z),\,z\big),[/math]

donde

[math]u(z)=\operatorname{sgn}(f)\,V_0 e^{z/d_E}\cos\!\left(\frac{z}{d_E}+\theta\right),v(z)=V_0 e^{z/d_E}\sin\!\left(\frac{z}{d_E}+\theta\right),[/math]

[math]d_E=\sqrt{\frac{2\nu_e}{|f|}},A(z)=V_0 e^{z/d_E}.[/math]

Derivadas de la curva

Definimos [math]\varphi(z)=\frac{z}{d_E}+\theta.[/math]

Entonces

[math]\vec r'(z)= \begin{pmatrix} \dfrac{\operatorname{sgn}(f)\,A}{d_E}\left(\cos\varphi-\sin\varphi\right)\\[6pt] \dfrac{A}{d_E}\left(\sin\varphi+\cos\varphi\right)\\[6pt] 1 \end{pmatrix},[/math]

[math]\vec r''(z)=\begin{pmatrix}-\dfrac{2\,\operatorname{sgn}(f)\,A}{d_E^{2}}\sin\varphi\\[6pt]\dfrac{2A}{d_E^{2}}\cos\varphi\\[6pt] 0\end{pmatrix},[/math]

[math]\vec r'''(z)=\begin{pmatrix}-\dfrac{2\,\operatorname{sgn}(f)\,A}{d_E^{3}}\left(\sin\varphi+\cos\varphi\right)\\[6pt] \dfrac{2A}{d_E^{3}}\left(\cos\varphi-\sin\varphi\right)\\[6pt] 0\end{pmatrix}.[/math]

Notas finales

• El signo de la torsión depende del hemisferio (\(\operatorname{sgn}(f)\)).
• Hacia gran profundidad \(A(z)\to 0\), por lo que:

[math]\kappa(z)\to 0,\qquad\tau(z)\to \operatorname{sgn}(f)\frac{1}{d_E}.[/math]

• Cerca de la superficie las funciones crecen porque la velocidad inducida por el viento es mayor.