Diferencia entre revisiones de «La Cicloide (Grupo 49)»

Revisión del 13:52 28 nov 2025

1 Introducción

Se considera la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas, donde Res un número positivo fijado:
[math] γ(t) = (x(t), y(t)) = (R(t-sint),R(1-cost)) = (3(t-sint),3(1-cost))[/math], [math] t ∈ (0,2π)[/math]

2 Representación de la curva

% Datos
R=3;
t=linspace(0,2*pi,100); %dominio
% Ecuaciones parametricas
X=R*(t-sin(t));
Y=R*(1-cos(t));
%Dibujo
figure;
plot(X,Y,'red','LineWidth',1);
axis equal;
grid on;
title('La Cicloide');
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');

3 Vector velocidad y aceleración

3.1 Cálculo de los vectores velocidad y aceleración

Vector velocidad:
[math] γ'(t)= (x’(t)\vec i + y’ (t)\vec j) = (3 (1-cos t )\vec i + 3 (sin t)\vec j) [/math]
Vector aceleración:
[math] γ''(t)= (x’’(t)\vec i + y’’ (t)\vec j) = (3 (sint )\vec i + 3 (cos t)\vec j) [/math]

3.2 Representación de los vectores velocidad y aceleración

Representación de la velocidad en MATLAB:

R=3;
t=linspace(0,2*pi,100); % Dominio
X=R*(t-sin(t)); % Ecuaciones paramétricas
Y=R*(1-cos(t)); % Ecuaciones paramétricas
vx=R*(1-cos(t)); % Vectores de la velocidad
vy=R*(sin(t)); %Vectores de la velocidad
% Dibujo
figure;
hold on
plot(X,Y,'red','LineWidth',3);
axis equal;
grid on;
title('La Cicloide');
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
 % Dibujo vectores velocidad
for i=1:3:100
    quiver(X(i),Y(i),vx(i),vy(i),1,'color','green','LineWidth',0.7,'MaxHeadSize',0.3);
end
axis([-1,max(X)+2,-2,max(Y)+2])
legend('Cicloide','Vectores de velocidad','location','best');
hold off

Representación de la aceleración en MATLAB:

R=3;
t=linspace(0,2*pi,100); % Dominio
X=R*(t-sin(t)); % Ecuaciones paramétricas
Y=R*(1-cos(t)); % Ecuaciones paramétricas
ax=R*(sin(t)); % Vectores aceleración
ay=R*(cos(t)); % Vectores aceleración

% Dibujo
figure;
hold on
plot(X,Y,'red','LineWidth',3);
axis equal;
grid on;
title('La Cicloide');
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
% Dibujo vector aceleración
for j=1:3:100
    quiver(X(j),Y(j),ax(j),ay(j),1,'color','m','LineWidth',0.7,'MaxHeadSize',0.3);
end
axis([-1,max(X)+2,-2,8])
legend('Cicloide','Vectores de aceleración','location','best');
hold off

4 Longitud de la curva

4.1 Cálculo de la longitud de la curva de manera teórica

Longitud de la curva:
[math] ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(3-3cost)^2 +(3sent)^2}dt [/math]

4.2 Cálculo de la longitud de la curva con el 'Método del rectángulo' en MATLAB

5 Vector tangente y normal de la curva

5.1 Cálculo de la tangente

Módulo de la velocidad:
[math] |γ′(t)|= \sqrt{9((1- cost)^2+sen^2t)} [/math]
Vector tangente:
[math] \vec t(t) = \frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} = \frac{3((1-cost)\vec i + (sint)\vec j)}{3(\sqrt{2-2cost})} = \frac{(1-cost)\vec i + (sint)\vec j}{\sqrt{2-2cost}}[/math]
Producto vectorial [math]\vec v × \vec a [/math] :
[math]\vec v × \vec a=\begin{bmatrix} \vec i& \vec j& \vec k\\ 1-cost& sent &0\\ sent & cost & 0 \end{bmatrix} = 9(cost-cos^2t-sen^2t)=9(cost-1)= -9(1-cost) [/math]
Módulo de [math]\vec v × \vec a [/math] :
[math] |\vec v × \vec a|= \sqrt{9^2 (cost-1)^2}= 9\sqrt{cos^2t-2cost+1}= 9(1-cost) [/math]
Vector binormal:
[math]\vec b= \frac{\vec v × \vec a}{|\vec v × \vec a|}= \frac{-9(1-cost)}{ 9(1-cost)}=-1=-\vec k [/math]
Vector normal:
[math] \vec n(t) = \vec b× \vec t=\frac{1}{\sqrt{2+2cost}}\begin{bmatrix} \vec i& \vec j& \vec k\\ 0& 0 &-1\\ 1-cost& sent & 0 \end{bmatrix} = \frac{(-sint)\vec i + (1-cost)\vec j}{\sqrt{2-2cost}} [/math]

6 Curvatura

[math] \kappa\ (t)=\frac{|\vec v × \vec a|}{|\vec v|^3}=\frac{9(1-cost)}{(3 \sqrt2 \sqrt{1-cost})^3}= \frac{3(1-cost)}{3( \sqrt2 \sqrt{1-cost})^3}= \frac{1-cost}{6\sqrt2(1-cost)\sqrt{1-cost}}= \frac{1}{6\sqrt2\sqrt{1-cost}} [/math]

7 La Cicloide en la ingeniería civil

7.1 Museo del Arte Kimbell

Uno de los ejemplos más famosos del uso de la cicloide en al arquitectura moderna. El arquitecto Louis Kahn y el ingeniero civil August Komendant, diseñaron el techo del museo compuesto de una serie de bóvedas de cañón, las cuales eran cicloides.

8 Bibliografía

https://arquitecturaviva.com/works/museo-de-arte-kimbell-fort-worth#lg=1&slide=0