Revisión del 19:40 27 nov 2025

1 Dibujo de la curva

1.1 Descripción de la gráfica

En la parte derecha, se muestra la gráfica de la curva catenaria objeto de estudio:
[math]γ(t)= (t, Acosh(\frac{t}{A}))[/math], con [math] A=3[/math].
Es una curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas, tal que [math] γ(t)=(x_1(t),x_2(t)). [/math] Respecto a sus características generales, su gráfica es muy similar a la de una parábola -- esta comparación será realizada y detallada más adelante --. Esencialmente es la gráfica de la función [math]f(x)= 3cosh(\frac{x}{3}))[/math], en el intervalo [math] x\in [-1,1][/math] , teniendo en cuenta que el campo escalar [math] x_1(t)=t [/math]. De esta forma, la curva alcanza un mínimo en [math] t=0 (x=0)[/math].

Representación de la catenaria

1.2 Código de Matlab

A continuación se presenta el código de Matlab empleado para realizar la gráfica de la curva catenaria.

clear,clc;
%Intervalo de la parametrización
t=linspace(-1,1,2000);
%Parametrización
A=3;
x=t;
y=A*cosh(t/A);
%Dibujo de la curva
figure
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('La Catenaria: \gamma(t)=(t,Acosh(t/A))');

2 Vectores velocidad y aceleración

Representación de la catenaria y sus vectores velocidad y aceleración

2.1 Cálculo de los vectores

Sea [math] γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) [/math] una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces:

- Su vector velocidad [math] γ'(t) [/math] será igual a:
[math] γ'(t)=x_1'(t)\vec{i}+x_2'(t)\vec{j}[/math]. En este caso: [math] γ'(t)=\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}[/math]

- Su vector aceleración [math] γ''(t) [/math] será igual a:
[math] γ'(t)=x_1''(t)\vec{i}+x_2''(t)\vec{j}[/math]. En este caso: [math] γ''(t)=\frac{1} {A} cosh(\frac{t}{A})\vec{j}[/math]

2.2 Interpretación de los vectores velocidad y aceleración (a partir de la gráfica)

Podemos observar que el vector velocidad [math] γ'(t) [/math] nos informa de la dirección y el sentido de la curva (es un vector tangente en cada punto de la curva). Igualmente, su módulo (que no es constante) nos informa acerca de la velocidad escalar con la que nos movemos a lo largo de la curva.

Por otra parte, el vector aceleración [math] γ''(t) [/math] nos aporta información acerca de cómo varía el vector velocidad en cada punto de la curva. Se puede apreciar que este vector sólo tiene dirección [math]\vec{j}[/math], visto que el vector velocidad es constante en la dirección [math]\vec{i}[/math], pero depende de t en la dirección [math]\vec{j}[/math].

2.3 Código de Matlab

A continuación se presenta el código de Matlab para la creación de la gráfica con el dibujo de la curva catenaria y sus vectores velocidad y aceleración.

n=20;
t=linspace(-1,1,n);
A=3;
x=t;
y=A*cosh(t/A);

%vectores velocidad y aceleración
V1=linspace(1,1,n);
V2=sinh(t/A);
A1=linspace(0,0,n);
A2=(1/A)*cosh(t/A);
figure
hold on
plot(x,y,'r','LineWidth',2); %curva
quiver(x,y,V1,V2,'m'); %velocidad
quiver(x,y,A1,A2,'k'); %aceleracion
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('La catenaria, sus vectores velocidad y aceleración: \gamma(t), \gamma`(t), \gamma``(t)');
legend('\gamma(t)', '\gamma`(t)','\gamma``(t)')

3 Longitud de la curva

La longitud de una curva parametrizada según un parámetro t en un intervalo [math] t\in [a,b][/math] es: [math] L=\int_{a}^{b}|γ′(t)|=[/math], donde [math] |γ'(t)|[/math] es el módulo del vector velocidad.

Por ende, sea la curva en este caso la catenaria, parametrizada tal que: [math]γ(t)= (t, Acosh(\frac{t}{A})), t\in [-1,1][/math] Sabiendo que [math] A=3[/math] y [math] L [/math] es la longitud de la curva:

[math] L=\int_{-1}^{1}|γ'(t)|=\int_{-1}^{1}\sqrt {(x´(t))^2 +(y´(t))^2}dt=\int_{-1}^{1}\sqrt{1+sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1}\sqrt{cosh^2(\frac{t}{3})}dt= \int_{-1}^{1}\cosh(\frac{t}{3})dt = 3(sinh(\frac{1}{3})-sinh(\frac{-1}{3}))= 6sinh(\frac{1}{3}) = 2.075733 [/math]

Por lo tanto, la longitud de la curva catenaria en el intervalo [math] t\in [-1,1][/math] es de 2.075733 unidades.

Cálculo de la longitud de la curva en el intervalo [-1,1] usando el método del rectángulo

3.1 Código de Matlab

clear,clc;

%definición de variables
a=-1;
b=1;
n=125;
A=3;
t=linspace(a,b,n);
f=@(t) (cosh(t/A)).^2;
suma=0;

%dibujo de la gráfica del módulo del vector velocidad
figure
hold on
plot(t,f(t),'b','LineWidth',2);

%cálculo de la integral y dibujo de los rectángulos
for i=1:(n-1)
    h=t(i+1)-t(i); %longitud del intervalo t(i+1)-t(i)
    xmed=(t(i+1)+t(i))/2; %punto medio del intervalo t(i+1)-t(i)
    ymed=f(xmed);
    area=h*ymed; %fórmula del método del rectángulo
    suma=suma+area;

    %dibujo de los rectángulos
    x_rect=[t(i),t(i+1),t(i+1),t(i),t(i)];
    y_rect=[0,0,f(t(i+1)),f(t(i)),0];
    plot(x_rect,y_rect,'m','LineWidth',1);
end

hold off
legend('Módulo de \gamma´(t)','Rectángulos')

%dibujo de los rectángulos
fprintf ('La longitud es %f.\n ',suma)

4 Vectores tangente y normal

Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal

4.1 Cálculo de los vectores

Sea [math] γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) [/math] una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces:

- Su vector tangente [math] \vec{t}(t) [/math] es igual a:
[math] \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} [/math]. En este caso: [math] \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} [/math]
- Su vector normal [math] \vec{n}(t) [/math] es igual a:
[math] \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) [/math]. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana, [math]\vec{b}(t)=\vec{k}[/math]. De esta forma:
[math] \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)= \begin{equation} \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 0 & 0 & 1\\ sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0 \end{vmatrix} \end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} [/math]

4.2 Interpretación de los vectores tangente y normal (a partir de la gráfica)

Por un lado, el vector tangente [math] \vec{t}(t) [/math] nos describe la dirección de la curva (algo que se puede observar en la gráfica); es el vector velocidad dividido por su módulo. De esta forma, es un vector unitario.

Por otro lado, el vector normal [math] \vec{n}(t) [/math] apunta hacia el centro de la circunferencia que mejor se adapta a la curva y también es unitario. Su definición viene determinada por el producto vectorial [math] \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)[/math], donde [math]\vec{b}(t) [/math] es el vector binormal de la curva. Este vector es ortogonal al plano formado por los vectores y tangente, que en este caso es el plano XY, pues la catenaria es una curva plana.

4.3 Código de Matlab

n=20;
t=linspace(-1,1,n);
A=3;
x=t;
y=A*cosh(t/A);

%vectores tangente y normal
T1=sech(t/A);
T2=tanh(t/A);
N1=-tanh(t/A);
N2=sech(t/A);
figure
hold on
plot(x,y,'r','LineWidth',2); %curva
quiver(x,y,T1,T2,'b'); %vector tangente
quiver(x,y,N1,N2,'m'); %vector normal
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
title('La catenaria, sus vectores tangente y normal');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')

5 Fenómenos que describe

6 Ejemplos en la ingeniería civil

El uso de la catenaria en la ingeniería ha sido variado. Probablemente una de las aproximaciones más interesantes por su tamaño y antiguedad sea el Gran Arco de Ctesifonte, perteneciente a la antigua persia. En España se debe destacar a Antonio Gaudí, que utilizó esta curva en buena parte de su obra, por ejemplo en la casa Milà. Cèsar Martinell también utilizó la catenaria para hacer arcos, como se puede ver en el interior del Sindicato de Trabajadores Agrícolas de Rocafort de Queraltcon.

7 Comparación con la parábola

Una vez representada la gráfica de la catenaria es normal preguntarse por las similitudes que puede llegar a tener con la parábola, puesto que a simple vista se asemejan. Ahora bien, visualizar las diferencias es sencillo si se representan en una misma gráfica. Por ejemplo, dada la parábola de ecuación [math]y = A+\frac{x^2}{A}[/math] y la catenaria de parametrización [math]γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,Acosh(\frac{t}{A}))[/math], para [math] A=3 [/math] y [math] t∈[-1,1] [/math] se puede observar en la imagen que ambas tienen forma de U, pero tienen distintas curvaturas, siendo la parábola más cerrada que la catenaria.

Comparación con la parábola

clear,clc;
A=3;
%Intervalo de parametrización
t=linspace(-1,1,100);

%%PARÁBOLA
%Parametrización
xp=t;
yp=3+(t.^2)/3;
%Dibujo de la curva
hold on
plot(xp,yp,'g','LineWidth',2);


%%CATENARIA
%Parametrización
x=t;
y=A*cosh(t/A);
%Dibujo de la curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2 );

title('Comparación parábola y catenaria');
legend('Parábola y=A+x^2/A','Catenaria');

8 El catenoide

8.1 Representación tridimensional

Teniendo en cuenta la parametrización [math]γ(t) = (x_1(t),x_2(t),x_3(t)) = ( 0, Acosh(\frac{t}{A}), t)[/math] si rotamos la catenaria alrededor del eje vertical ([math]x_1 = x_2 = 0[/math]) se genera una superficie de revolución: el catenoide.

Para representar la superficie se puede parametrizar la curva en cilíndricas:

[math] \begin{cases} x_1 = ρcos(θ) \\ x_2 = ρsin(θ) \\ x_3 = t \end{cases} \; θ \in [0, 2π] ;\,t \in [-1, 1] \\ [/math]

Siendo [math]ρ = Acosh(\frac{t}{A})[/math] y para [math] A=3 [/math] el código de la representación es:

Representación en R3

clear,clc;
%%Representación en R3
%Parámetros
A=3;
t=linspace(-1,1,100);
theta phi=linspace(0, 2*pi, 100);

%Mallado
[Mt,Mth]=meshgrid(t, phi);

%Parametrizamos la curva en cilíndricas
R=A*cosh(Mt/A);
X=R.*cos(Mth);
Y=R.*sin(Mth);
Z=Mt;

%Gráfico
surf(X, Y, Z);
shading flat
title('Catenoide');

8.2 Ejemplos en la ingeniería

Por otro lado, el catenoide es una superficie minimal, esto es, que minimiza el área entre las superficies con el mismo borde. El Teatro Nacional de Taichung, diseñado por Toyo Ito, puede que sea una de las mejores representaciones de esta superficie en arquitectura, al estar compuesto por unos 58 catenoides interconectados. Por otro lado, otros arquitectos como Frei Otto destacan por el uso de superficies minimales, que podrían llegar a aproximarse al catenoide, como el Pabellón Japonés para la Expo 2000 de Hannover, que diseñó Shigeru Ban con Frei Otto como consultor.

9 Distribución de la densidad