Diferencia entre revisiones de «La Clotoide (Grupo 58)»
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| + | Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo: | ||
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| + | % Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (rojo) | ||
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Revisión del 18:05 27 nov 2025
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | La clotoide. Grupo 58 |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2025-26 |
| Autores | Israel Redondo Briceño Lucia Pertusa Diaz Marta Hernandez Bargueño Felipe Gonçalves Soares Diego Ranera Delgado |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
1 Introducción.
La clotoide, o espiral de Euler, es una curva que se puede definir como una sucesión de curvas tangentes en el origen al eje de abscisas, cuyo radio de curvatura disminuye inversamente proporcional a distancia recorrida sobre la curva, formando un tramo espiral. Esta curva cumple con una serie de propiedades matemáticas que iremos viendo su cumplimiento conforme vamos presentando el trabajo. Con la herramienta de MatLab realizaremos los cálculos representaremos la curva de forma gráfica para su mejor visualización.
En cada apartado se hará una breve introducción de las fórmulas empleadas, así como su desarrollo. Para el estudio de sus propiedades nos vamos a centrar en los vectores de velocidad, aceleración, tangentes y normal, preparando estos para su posterior aplicación y enfoque en la ingeniería civil.
2 Dibujo de la curva.
La expresión matematica de la clotoide es:
[math] \gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4) [/math]
La representación gráfica de la curva se ha hallado mediante el siguiente código:
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 4;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);
% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);
% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);
% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));
% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end
% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y, 'g','linewidth',1.5);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;3 Velocidad y aceleración.
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad [math] \dot{\gamma } [/math] y aceleración [math] \ddot{\gamma } [/math]
[math]
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
[/math]
[math]
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
[/math]
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)
% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)
hold on;
plot(x,y,'g','LineWidth',2);
% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (rojo)
for i = 1:4:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);
% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'r', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end
% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
