Diferencia entre revisiones de «Modelo Lokta-Volterra. Grupo 8»
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* ''dXp/dt'' y ''dXd/dt'' representa el crecimiento de las dos poblaciones en el tiempo; | * ''dXp/dt'' y ''dXd/dt'' representa el crecimiento de las dos poblaciones en el tiempo; | ||
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Revisión del 12:20 27 feb 2014
Las ecuaciones de Lotka-Volterra o ecuaciones 'predador-presa', son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden no lineales que se usan para el modelado de dos o más poblaciones que interactúan, presas y depredadores.Las ecuaciones fueron propuestas de forma independiente por Alfred J. Lotka y Vito Volterra en 1900.
Tales ecuaciones se definen como:
- [math]\frac{dXp}{dt} = AXp-BXdXp[/math]
- [math]\frac{dXd}{dt} = -CXd+DXpXd[/math]
donde
- Xd es el número de algún predador ;
- Xp es el número de sus presas ;
- dXp/dt y dXd/dt representa el crecimiento de las dos poblaciones en el tiempo;
- t representa el tiempo; y
- AXp es la tasa de natalidad de la presa;
- BXdXp es la tasa de mortalidad de la presa;
- CXd es la tasa de natalidad de la presa;
- DXpXd es la tasa de natalidad de la presa;
1 Explicación de las ecuaciones
Usando las series de Taylor obtenemos una solución lineal a las ecuaciones:
- [math]f(x,y) = A_0 - A_1 x - A_2 y[/math]
- [math]g(x,y) = B_0 + B_1 x - B_2 y[/math].
Con estos coeficientes se puede estudiar los modelos de competición, enfermedad y mutualismo (biología) en un ecosistema.
1.1 Presa
- [math]\frac{dx}{dt} = \alpha x - \beta x y[/math]
Se asume que las presas tienen suministro de comida ilimitado por tiempo definido, y se reproducen exponencialmente a menos que exista algún predador. Este crecimiento exponencial está representado en la ecuación por el término αx. El término de la ecuación βxy viene a representar el encuentro de las dos especies y su interacción. Si x o y son cero no existe interacción.
Podemos interpretar la ecuación como el cambio del número de presas viene dado por su propio crecimiento menos la tasa de encuentros con predadores.
1.2 Depredador
- [math]\frac{dy}{dt} = \delta xy - \gamma y[/math]
En esta ecuación, δxy representa el crecimiento de los depredadores (fíjese en la similitud con la ecuación para las presas, pero en este caso para el crecimiento de los depredadores es necesario usar la razón a la que se consumen las presas, x). γy representa la muerte natural de los depredadores de forma exponencial; a más depredadores es necesario que el número de víctimas o presa aumente para mantener la población.
Podemos interpretar la ecuación como el crecimiento de los depredadores por la caza de presas menos la muerte natural de éstos
