Diferencia entre revisiones de «Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)»

Revisión del 14:01 25 nov 2025

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas

Introducción Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica. Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas

1.1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\)

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\) y las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\), las líneas coordenadas son:

• Línea coordenada \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):

[math] \gamma_u(w): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{w^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = wv \\ x_3 = z \end{cases} [/math]

• Línea coordenada \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):

[math] \gamma_v(w): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{u^2 - w^2}{2}\right) \\ x_2 = uw \\ x_3 = z \end{cases} [/math]

• Línea coordenada \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):

[math] \gamma_z(w): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = uv \\ x_3 = w \end{cases} [/math]
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

1.2 MATLAB: Códigos y gráficas

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas: 1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor. 2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

1.3 Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D 

clear;clc 
figure; 
hold on; 

%Vectores 
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u 
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v 

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)  
v_fixed = 1; 
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2; 
x2_u = u .* v_fixed; 
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2); 

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)  
u_fixed = 1; 
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2; 
x2_v = (u_fixed) .* v; 
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2); 

%Edición de la gráfica 
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v'); 
xlabel('Eje X'); 
ylabel('Eje Y'); 
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'}); 
grid on;

1.4 Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores

% Rango de variables 
u = linspace(0, 2, 10); 
v = linspace(0, 2, 10); 

% Creación de mallas  
[U, V] = meshgrid(u, v); 

% Ajuste del origen común 
u_const = 0;  
v_const = 0;  

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común) 
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo 
x2_f1 = u .* V; 
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3 

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común) 
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo 
x2_f2 = U .* v; 
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3 

% Crear una figura combinada 
figure; 

% Superficie de línea coordenada de u 
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2); 
hold on; 

% Superficie de línea coordenada de v 
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2); 

% figura combinada 
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z'); 
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v'); 
axis equal; 
grid on; 
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v'); 
hold off;

2 Matrices de cambio de base

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas. La matriz \( Q\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

[math] Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. [/math]

[math] Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. [/math]

La matriz inversa \( Q^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( Q\) es igual a su traspuesta, por lo que:

[math] Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. [/math]

[math] Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. [/math]