Diferencia entre revisiones de «Órbita lunar»
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Considerando un planeta y una luna aislados en el universo, la parametrización de la órbita plana que describe la trayectoria elíptica se puede considerar como un sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden: | Considerando un planeta y una luna aislados en el universo, la parametrización de la órbita plana que describe la trayectoria elíptica se puede considerar como un sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden: | ||
| − | \[x''=-G \frac{mx}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}\ | + | \[\left\{\begin{matrix}\ x''=-G \frac{mx}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}\ , & t\in [0,T]\\ y''=-G \frac{my}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}\ , & \end{matrix}\right.\] |
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Revisión del 14:11 26 feb 2014
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Órbita lunar. Grupo 5-B |
| Asignatura | Ecuaciones Diferenciales |
| Curso | Curso 2013-14 |
| Autores | Francisco Durán Muñoz, Javier Bosch Martínez, Manuel López Martín, Miguel García García, Emilio Valero Muñoz-Rojas, Javier Tordera Garrido |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Rotación es el movimiento de cambio de orientación de un cuerpo o un sistema de referencia de forma que una línea (llamada eje de rotación) o un punto permanece fijo.
Considerando un planeta y una luna aislados en el universo, la parametrización de la órbita plana que describe la trayectoria elíptica se puede considerar como un sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden:
\[\left\{\begin{matrix}\ x=-G \frac{mx}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}\ , & t\in [0,T]\\ y=-G \frac{my}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}\ , & \end{matrix}\right.\]
1 1.Reducción de un sistema
Consiste en reducir una ecuación de orden n, a n ecuaciones de orden 1. Como en este caso tenemos un sistema de 2 ecuaciones de orden 2, nos quedará un nuevo sistema formado por 4 ecuaciones de orden 1.
2 2.Método de Euler modificado
El método de Euler se basa en aproximar el valor de la función a la tangente en cada punto, cuanto más cercanos cojamos los puntos, mayor será la aproximación al resultado real, haciéndolo más exacto .El método de Euler modificado es utilizado para resolver ecuaciones diferenciales no lineales, se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes.
La fórmula es la siguiente: \[y_{n+1}= y_{n}+h\cdot \frac{[(f(x_{n},y_{n}+f(x_{n+1},y_{n+1})]}{2}\] Donde \[y_{n+1}= y_{n}+h\cdot f(x_{n},y_{n})\]
3 3.Método Runge-Kutta
Comparando los resultados obtenidos en la gráfica mediante ambos métodos numéricos, sea Euler y Runge-Kutta, se observa que las soluciones a través del método Runge-Kutta son más exactos y precisos, pues la diferencia entre máximos es menor, lo que significa que se ajusta más en los resultados a un intervalo mas aproximado.
En el método de Euler la precisión depende de la variable h, cuanto menor sea con respecto al intervalo más convergente es el sistema y por consiguiente más preciso es este método. Sin embargo con el método de Runge-Kutta se pueden obtener buenas aproximaciones a pesar de darle grandes valores a h.
Respecto a la dificultad que se presenta a la hora de usar el método del trapecio para resolver este sistema es que a este método, a pesar de ser más exacto, le surge el inconveniente y la dificultad de despejar Yn+1. También debe tenerse en cuenta que Euler y Runge-Kutta son métodos explícitos, sin embargo el método del trapecio como el método teta, son implícitos y no lineales, y para resolverlos tendríamos que convertirlos en explícitos de la manera ya comentada que tan laboriosa resulta a veces.
