Revisión del 01:30 19 mar 2025

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Ecuación del calor. Grupo MAMBD
Asignatura	EDP
Curso	2024-25
Autores	Matilde Rubio Arranz, Antonio Lozano Fernández, Marcos Gil García, Bárbara Jiménez Pérez y Daniel Marcos Viña
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Contenido

1 Introducción
2 Solución de la ecuación del calor empleando la convolución
3 Delta de dirac como función de condición inicial
4 Regularidad y dimensiones

1 Introducción

En el siguiente trabajo, se busca explorar el comportamiento de la solución a la ecuación del calor para regiones no acotadas, así como la distribución de dicha solución en según que dimensiones.

El problema del calor viene dado por:

[math]u_t - \Delta u = 0[/math]

Donde [math]u(x, t)[/math] representa la temperatura del medio en función del tiempo y de la posición.

Como estamos en un medio infinito, tendremos que mirar como una perturbación térmica puntual se difunde con el tiempo. Para ello usamos la solución fundamental:

[math]G(x,t)=\frac{1}{(4\pi t)^{n/2}}e^{-\frac{|x|^2}{4t}},[/math]

2 Solución de la ecuación del calor empleando la convolución

Planteamos un problema particular para la ecuación del calor en una dimensión, dada por [math]u_t-u_{xx}=0[/math]. Definimos la temperatura en el instante inicial

[math]u_0(x)=\left\{\begin{array}{ll} 5, & x\in[-3,-2]\cup[-1,1]\cup[2,3]\\ 0, & \text{en otro caso} \end{array}\right. ,[/math]

Con el tiempo, el calor empieza a difundirse según la ecuación dada, cuya solución viene dada por la convolución

[math]u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty} G(x-y,t)u_0(y) dy=\frac{1}{\sqrt{4 \pi t}}\int_{-\infty}^{\infty} u_0(y)e^{-\frac{(x-y)^2}{4t}}.[/math]

Dibujando la solución para diferentes tiempos, obtenemos lo siguiente:

Vídeo de la difusión del mensaje en la barra de metal con [math] t \in [0, 10] [/math], en 1 dimensión.

Se aprecia como, conforme avanza el tiempo, la solución tiende a cero y pierde su forma (de tres picos) dada por la condición inicial. Al inicio, las regiones calientes se distinguen claramente, pero poco a poco el calor se extiende a las áreas frías, mostrando como el calor comienza a difundirse por el resto del espacio hasta que la temperatura se ha distribuido de manera uniforme.

Difusión del mensaje en la barra de metal

clc 
clear all 
close all 

imp = 6;
T=[0.001,0.01,0.1];
a = [-3, -1, 2];  % Inicio de los segmentos de calor
b = [-2,  1, 3];  % Fin de los segmentos de calor
tf = max(T); 
div = 10^-3; 

X = -10:div:10;  

% Función de solución fundamental de la ecuación del calor en 1D
Phi = @(x,t) (1./((4*pi*t).^(1/2)) .* exp(-abs(x).^2./(4*t))); 

U = zeros(length(X), length(T));  % Matriz para almacenar soluciones en diferentes tiempos

% Cálculo de la solución usando la integral de convolución
for j = 1:length(X)
    for i = 1:length(T)
        integral_sum = 0;
        for k = 1:length(a) 
            Y = a(k):div:b(k); 
            integral_sum = integral_sum + trapz(Y, Phi(X(j)*ones(1,length(Y)) - Y, T(i)*ones(1,length(Y))));
        end
        U(j,i) = 5 * integral_sum; 
    end
end

% Dibujar todas las soluciones en una misma gráfica
figure
hold on
colors = ['r', 'g', 'b'];

for i = 1:length(T) 
    plot(X, U(:,i), colors(i), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', "t = " + num2str(T(i)) + " s") 
end

xlim([-10 10])  
ylim([0 5.5]) 
xlabel('Posición x') 
ylabel('Temperatura U(x,t)') 
title("Difusión térmica del mensaje en la barra de metal") 
legend show 
grid on 
hold off

t_values = logspace(-3, 1, 50); % Valores de tiempo en escala logarítmica
colors = 'r'; % Color de la curva

% Condición inicial: Representación simplificada de un mensaje con calor
u0 = zeros(size(x));
u0(x > -3 & x < -2) = 5; % Letra "segmento 1"
u0(x > -1 & x < 1) = 5;  % Letra "segmento 2"
u0(x > 2 & x < 3) = 5;  % Letra "segmento 3"

% Configurar video
video = VideoWriter('difusion_termica.avi');
video.FrameRate = 10;
open(video);

% Figura para la animación
figure;
hold on;
xlabel('Posición x');
ylabel('Temperatura u(x, t)');
title('Evolución de la difusión térmica');
grid on;
axis([x_min x_max 0 5]); % Fijar dimensiones de la cuadrícula en X y Y

for i = 1:length(t_values)
    t = t_values(i);
    sigma = sqrt(2 * t) / dx; % Relación con la solución analítica
    u_t = imgaussfilt(u0, sigma); % Aproximación de difusión
    
    plot(x, u_t, 'Color', colors, 'LineWidth', 2);
    legend(sprintf('t = %.4f', t));
    axis([x_min x_max 0 5]); % Mantener eje Y fijo en cada iteración
    drawnow;
    
    % Capturar frame para el video
    frame = getframe(gcf);
    writeVideo(video, frame);
    clf;
end

close(video);
hold off;

3 Delta de dirac como función de condición inicial

Partimos de:

En este caso, tenemos la solución fundamental de la ecuación del calor en 1D. La pregunta que surge aquí es por qué solo tiene un pico. La respuesta a la pregunta es sencilla: La condición inicial es una delta de dirac que actúa como fuente puntual inicial de calor, por lo que al partir de una función cuyo máximo valor se concentra en un punto la función solución adquiere esta forma.

Evolución de la solución de la ecuación del calor con fuente puntual.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def heat_kernel(x, t, alpha=1):
    """Solución fundamental de la ecuación del calor (distribución gaussiana)."""
    return (1 / np.sqrt(4 * np.pi * alpha * t)) * np.exp(-x**2 / (4 * alpha * t))

# Discretización del espacio y tiempos
x_values = np.linspace(-5, 5, 100)
t_values = [0.01, 0.1, 0.5, 1, 2]  # Diferentes tiempos para visualizar la evolución

plt.figure(figsize=(8,6))
for t in t_values:
    u_values = heat_kernel(x_values, t)
    plt.plot(x_values, u_values, label=f't = {t}')

plt.xlabel('Posición x')
plt.ylabel('Temperatura u(x,t)')
plt.title('Evolución de la solución de la ecuación del calor con fuente puntual')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

4 Regularidad y dimensiones

Vamos a explorar que ocurre al pasar a dos dimensiones (2D), analizando como la difusión del calor se dispersa más rápido en 2D debido a la propagación en múltiples direcciones.

En 1D, la ecuación del calor viene dada por [math]u_t-u_{xx}=0[/math]. Sabemos que dicha ecuación tiene un efecto regularizador, es decir, aunque la condición inicial tenga discontinuidades, la solución se vuelve suave para [math]t\gt0[/math]. Por otro lado, la difusión en 1D ocurre a lo largo de una sola dirección (el eje [math]x[/math]) y la solución se suaviza a una determinada velocidad en el tiempo.

Veamos que ocurre en 2D. Ahora, nuestra ecuación es [math]u_t-u_{xx}-u_{yy}=0[/math]. La temperatura inicial se define ahora como:

[math]u_0(x)=\left\{\begin{array}{ll} 5, & (x,y)\in([-3,-2]\cup[-1,1]\cup[2,3])\times([-3,-2]\cup[-1,1]\cup[2,3])\\ 0, & \text{en otro caso} \end{array}\right. ,[/math]

Generalizando a [math]n[/math] dimensiones, la ecuación del calor vendrá dada por: [math]u_t - \Delta u = 0[/math], cuya solución fundamental (análoga a la hallada para una dimensión) se distribuye como una gaussiana en varias variables ([math]n[/math]):

[math]u(x,t) = \frac{1}{(4\pi t)^{n/2}} e^{-\frac{|x|^2}{4 t}}[/math]

El efecto regularizador de la ecuación sigue presente en cualquier dimensión [math]n[/math]. Sin embargo, en dimensiones más altas, esta dispersión es más rápida, ya que [math](4\pi t)^{n/2}[/math] en la solución fundamental crece cuando lo hace [math]n[/math]; nos surge entonces la pregunta de cómo podemos comparar el tiempo de dispersión en distintas dimensiones.

En \( n \) dimensiones, el calor decae como \(u(x,t) \sim t^{-n/2}\), lo que reafirma que este se disipa más rápido a medida que aumenta la dimensión del espacio. Si queremos comparar el tiempo característico de disipación \( t_d \) en distintas dimensiones, llegamos a la relación \( t_d(n) \sim \frac{t_d(1)}{n/2} \), que nos dice que el tiempo de disipación en dimensión \( n \) es inversamente proporcional a \( n/2 \).

Vídeo de la difusión del mensaje en la barra de metal con [math] t \in [0, 10] [/math], dimensión 2 (2D).

Comparemos así la gráfica superior con la hallada para el análisis en dos dimensiones. Podemos apreciar fácilmente como para un mismo periodo de tiempo el calor en cada punto del espacio es menor en esta gráfica que en la anterior pues en 1D, el calor solo se propaga en una dirección, lo que complica la disipación tal y como vemos, pues al aumentar un grado de libertad, para \( t=10 \) el calor en el sistema es casi impredecible.

clc 
clear all 
close all 

a=-4; b=4;                      % Intervalo de definición de la x ([a,b]^2) 
div=0.05;                       % División del vector en x 
X=a:div:b;                      % Vector de X 
[X1,X2]=meshgrid(X,X);          % Creación de la malla en x 

% Definir las condiciones iniciales
U0 = zeros(size(X1));
U0((X1 > -3) & (X1 < -2) & (X2 > -1) & (X2 < 1)) = 5; % Letra 1
U0((X1 > -1) & (X1 < 1) & (X2 > -2) & (X2 < 2)) = 5;  % Letra 2
U0((X1 > 2) & (X1 < 3) & (X2 > -1) & (X2 < 1)) = 5;  % Letra 3

% Solución de la ecuación del calor mediante convolución con la solución fundamental
norma2=@(x1,x2)sqrt(x1.^2+x2.^2);  % Función norma 
Phi2 = @(x1,x2,t)(1./((4*pi*t)).*exp(-norma2(x1,x2).^2./(4*t))); % Solución fundamental en 2D

% Parámetros de animación
T_max = 10;        % Tiempo máximo de simulación
num_frames = 100;  % Número de cuadros en la animación
T_values = linspace(0.001, T_max, num_frames);

% Crear objeto de video
video_filename = 'heat_equation_2D.mp4';
vid = VideoWriter(video_filename, 'MPEG-4');
vid.FrameRate = 20; % FPS del video
open(vid);

figure;
cmap = hot;
clim = [0, 5]; % Fijar la escala de colores entre 0 y 5
for i=1:length(T_values)
    U = conv2(U0, Phi2(X1,X2,T_values(i)), 'same') * div^2; % Convolución discreta
    
    surf(X1,X2,U)
    shading interp 
    colorbar;
    colormap(cmap);
    caxis(clim); % Mantener la escala de colores fija
    xlabel('X') 
    ylabel('Y') 
    zlabel('Temperatura') 
    title("Evolución en 2D para t="+num2str(T_values(i),'%.3f')+' s') 
    axis([-4 4 -4 4 0 5]);
    frame = getframe(gcf);
    writeVideo(vid, frame);
end

close(vid);

disp(['Video guardado como: ', video_filename]);

Diferencia entre revisiones de «Ecuación del calor (Grupo MAMBD))»

Revisión del 01:30 19 mar 2025

Contenido

1 Introducción

2 Solución de la ecuación del calor empleando la convolución

3 Delta de dirac como función de condición inicial

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 En este caso, tenemos la solución fundamental de la ecuación del calor en 1D. La pregunta que surge aquí es por qué solo tiene un pico. La respuesta a la pregunta es sencilla: La condición inicial es una delta de dirac que actúa como fuente puntual inicial de calor, por lo que al partir de una función cuyo máximo valor se concentra en un punto la función solución adquiere esta forma.