Revisión del 00:56 19 mar 2025

1 Introducción

El desarrollo de la ecuación del calor se atribuye principalmente al matemático y físico francés Joseph Fourier, quien en 1822 publicó su obra Théorie analytique de la chaleur. En este trabajo formuló una ecuación diferencial en derivadas parciales que describe la propagación del calor por difusión en un medio continuo. En esta ocasión, profundicemos en dos aspectos de este modelo.

Desde un punto de vista físico, estas ecuaciones permiten la modelización de fenómenos como el calentamiento de materiales o la difusión de solutos en fluidos estacionarios. Sin embargo, la influencia de la física es más profunda: de hecho, el coeficiente de difusión lleva su nombre por la interpretación física de su acción en el sistema. ¿Cuál es este efecto, y por qué se lo denota de esta forma?

Planteemos también el paso entre problemas de dominio acotado y los de no acotado. ¿Podemos aproximar las soluciones del sistema no acotado mediante las del acotado? Y de ser así, ¿qué condiciones de frontera en una dimensión funcionan mejor?

2 Solución acotada vs Solución no acotada

Demos por conocidos el uso de separación de variables para resolver problemas de autofunciones en caso acotado y el manejo de la solución fundamental junto con la convolución para el sistema no acotado. Para comparar todas las soluciones correspondientes, consideremos sistema [math] 1-[/math]dimensional, con una gaussiana [math] e^{-x^2} [/math] como condición inicial. Justificamos físicamente como el uso de un láser para calentar un punto de una tira fina de metal. Considerando que los fotones puedan desviarse como una distribución normal por el teorema central del límite, es un montaje experimental factible y regular. ¿Y qué condiciones de frontera?

Si consideramos de Dirichlet, a una tira de longitud [math] 2a [/math] le colocaremos en los extremos un material que se mantenga siempre a la misma temperatura, pongamos que a una temperatura nula. El sistema resulta

[math]\quad \begin{align} \begin{cases} u_{t} - u_{xx} = 0 \quad &\forall t \gt 0, x\in [-a,a],\\ u(-a,t) = u(a,t) = 0 \quad &\forall t \gt 0, \\ u(x,0) = e^{-x^2} \quad &\forall x\in [-a,a]. \end{cases} \end{align} [/math]

La solución al resolver el problema de autofunciones viene dada por

[math]\quad u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty A_{n} \cos\left(\frac{\pi}{a}(n - \frac{1}{2}) x\right) e^{-\dfrac{\pi^2}{a^2}\left(n - \frac{1}{2}\right)^2 t}, \quad \text{ donde } \quad A_n = \frac{\int_{-a}^{a} u(x,0) \cos\left(\frac{\pi}{a}(n - \frac{1}{2}) x\right)dx}{\int_{-a}^{a} \cos^2\left(\frac{\pi}{a}(n - \frac{1}{2}) x\right)dx}. [/math]

Consideremos ahora condiciones de frontera Neumann, con un flujo nulo que físicamente viene de poner extremos aislantes. Para cierto [math] b \gt 0,[/math] y no necesariamente igual que con [math] a [/math]. Consideraremos la ecuación del calor

[math]\quad \begin{align} \begin{cases} u_{t} - u_{xx} = 0 \quad &\forall t \gt 0 , x\in [-b,b],\\ u_x(-b,t) = u_x(b,t) = 0 \quad &\forall t \gt 0, \\ u(x,0) = e^{-x^2} \quad &\forall x\in[-b,b]. \end{cases} \end{align} [/math]

De nuevo podemos resolver el sistema, por ser homogéneo, mediante separación de variables, obteniendo

[math]\quad u(x,t) = \sum_{m=0}^\infty B_{m} cos\left(\frac{m\pi}{b} x\right) e^{-\dfrac{m^2\pi^2}{b^2} t},\quad \text{ donde } \quad B_m = \frac{\int_{-b}^{b} u(x,0) \cos\left(\frac{m\pi}{b} x\right)dx}{\int_{-b}^{b} \cos^2\left(\frac{m\pi}{b}x\right)dx}. [/math]

Un último detalle antes de proceder a los errores es la obtención simbólica de la solución no acotada.

[math]\quad \begin{align} \begin{cases} u_{t} - u_{xx} = 0 \quad &\forall t\gt0, x\in \mathbb{R},\\ u(x,0) = e^{-x^2} \quad &\forall x\in \mathbb{R} \end{cases} \end{align} \quad \Longrightarrow \quad u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi t}}e^{\frac{-x^2}{4t}} * e^{-x^2} = \frac{e^{\frac{-x^2}{4t+1}}}{\sqrt{4t+1}}. [/math]

Queremos comprobar cuán bien aproximan las soluciones del caso acotado Dirichlet y Neumann a la obtenida por la solución fundamental. Para ello, escojamos un tiempo máximo [math]t_{max} [/math] hasta el cuál tomaremos el error en norma [math] L^{\infty} [/math]. Queremos estudiar:

• El efecto de aumentar el rango de definición con [math] a,b [/math].
• El efecto de aumentar el número de términos en las series de los sistemas acotados.

2.1 Análisis de los errores

Representación gráfica de las soluciones del problema acotado ([math]a = b = 20[/math]) y no acotado truncando las series de Fourier en su término [math]100[/math], para un tiempo máximo de [math]1[/math]; y de sus errores. Nótese el orden de magnitud de los errores -pequeño-, los picos generados por los errores numéricos dados por la fórmula del trapecio y la suavidad en la frontera dada por las condiciones en esta.

Consideramos los parámetros, donde [math] n [/math] es el término de la serie de Fourier donde truncamos:

• [math] a = b = 20, [/math]
• [math] t_{max} = 1, [/math]
• [math] n = 100. [/math]

Con [math] t_{max} [/math] fijo podemos observar que al aumentar [math]a, b[/math] y [math]n[/math] el error entre las soluciones acotadas y no acotada disminuye. Nótese que se estanca a partir de cierto [math]n[/math]. De hecho, el error llega a aumentar a partir de ciertos [math] a,b [/math] si truncamos demasiado pronto o demasiado tarde por la aproximación del trapecio para particiones del espacio demasiado bastas -no observado por pericia en código final-.

Al ampliar el tiempo con la [math]n[/math] y fijada la longitud, al hacer más grande [math]t_{max}[/math] los errores máximos no aumentan. En cambio, si tomamos el máximo error para diferentes tiempos vemos con suficiente precisión que no hay diferencia pero que para truncamientos precoces Neumann tiene ligeramente menor error.

3 Coeficiente de difusión

Solución fundamental de la ecuación del calor unidimensional para distintos valores del coeficiente de difusión. La representación gráfica parte del tiempo inicial [math][/math] 0.01, [math][/math] esperando una delta de Dirac en el instante inicial. Nótese que en este tiempo, a mayor coeficiente de difusión más se ha difundido el calor en el sistema, lo que se nota especialmente en el valor máximo observado y su disminución cuanto más crece el coeficiente.

Vamos a interpretar como influye exactamente el coeficiente de difusión en la solución de la ecuación del calor. Imaginemos por un segundo que tenemos varias barras (cada una de un material diferente) y queremos estudiar como se difunde el calor a través de cada una de ellas. Usando Matlab podemos calcular y representar fácilmente la solución del problema para diferentes valores del coeficiente de difusión, que denotaremos por [math][/math] D [math][/math].

1. 1. Interpretemos el valor de [math][/math] D [math][/math] aprovechando el montaje físico anterior. Numéricamente vemos que cuanto mayor es este coeficiente más rápido se difunde el calor, evidenciado en la caída de la solución en tiempos cada vez más cortos.

Solución fundamental de la ecuación del calor unidimensional para distintos valores del coeficiente de difusión. La representación gráfica parte del tiempo inicial [math][/math] 0.01, [math][/math] esperando una delta de Dirac en el instante inicial. Nótese que en este tiempo, a mayor coeficiente de difusión más se ha difundido el calor en el sistema, lo que se nota especialmente en el valor máximo observado y su disminución cuanto más crece el coeficiente.

Como se puede observar en la animación, fijado un tiempo, a medida que crece el valor del coeficiente de difusión el pico de la solución fundamental se va haciendo más cada vez más pequeño, es decir, a mayor coeficiente de difusión, menor es el tiempo que tarda en expandirse el calor. De hecho, podemos observar este hecho directamente de la expresión de la solución fundamental del calor. La solución de la ecuación del calor unidimensional en una barra de longitud \( L = 1 \), con coeficiente de difusión \( D \) y condición inicial dada por una función gaussiana \( f(x) = e^{-x^2} \), se expresa como una serie de Fourier:

1. 1. En el caso unidimensional acotado con solución

[math] u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n e^{-D (n\pi)^2 t} \sin(n\pi x), [/math]

[Solución que depende de D]- [Viendo la solución del apartado 3 me estoy dando cuenta que también depende de la longitud de la barra, si estuviésemos trabajando con el problema acotado podríamos ver como afectan estos dos parámetros al tiempo de difusión]

Tomando el límite de D tendiendo a [math][/math] \infty [math][/math] vemos que u(x,t) tiende a 0, fijado un t determinado. Por tanto, podemos concluir que la solución del calor alcanzará el estado estacionario antes si su coeficiente del calor es mayor.

1. 1. Podemos ver que un mayor coeficiente [math][/math] D [math][/math] acelera el decaimiento de la exponencial por lo que tendrá un efecto similar justificando su nombre.

4 Códigos

%%% Código generado junto con Chat GPT para la representación de la solución fundamental de la ecuación del calor unidimensional para distintos valores del coeficiente de difusión

clc
clear all
close all

% Vector de valores de D (coeficiente de difusión)
DD = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10];

% Nombre del archivo GIF de salida
output_gif = 'Fundamental.gif';

% Crear la figura
figura = figure(1);
grid on;
view(3);

% Bucle para iterar sobre cada valor de D
for i = 1:length(DD)
    D = DD(i);

    % Función fundamental de la ecuación del calor
    phi_D = @(x, t) exp(-x.^2./(4*D*t))./sqrt(4*D*pi*t);

    % Definición de la malla
    xx = -1:0.01:1;         % Rango de x
    tt = 10^(-2):0.01:1;   % Rango de t
    [X, T] = meshgrid(xx, tt); % Malla de coordenadas
    PHI_D = phi_D(X, T);   % Evaluación de la función

    % Graficar la superficie
    clf;
    surf(X, T, PHI_D);
    shading flat
    shading interp
    colormap('jet')
    xlabel('x');
    ylabel('t');
    zlabel('$\Phi_D(x,t)$', 'Interpreter', 'latex');
    title(['Solución fundamental de la ecuación del calor, cuando D=', num2str(D)])
    axis([-1, 1, 0, 1, 0, 3])
    drawnow;

    % Captura de la imagen para el GIF
    frame = getframe(figura);
    img = frame2im(frame);
    [imind, cm] = rgb2ind(img, 256);

    % Escribir la imagen en el archivo GIF
    if i == 1
        imwrite(imind, cm, output_gif, 'gif', 'LoopCount', Inf, 'DelayTime', 0.7);
    else
        imwrite(imind, cm, output_gif, 'gif', 'WriteMode', 'append', 'DelayTime', 0.7);
    end

end

Soluciones de la ecuación del calor unidimensional para distintos valores del coeficiente de difusión.

%%% Código generado junto con Chat GPT para la representación de la soluciones de la ecuación del calor unidimensional para distintos valores del coeficiente de difusión

clc
clear all
close all

% Vector de valores de D (coeficiente de difusión)
DD = [1,10,20,30,40,50,60,70,80,90,100];

% Función gaussiana
gaus = @(x) (exp(-x.^2));

% Nombre del archivo GIF de salida
output_gif = 'Convoluciones_teorica.gif'; 

% Crear la figura
figura = figure(1);
grid on;
view(3);

% Bucle para iterar sobre cada valor de D
for h = 1:length(DD)
    D = DD(h);

    % Funciones fundamentales y convolución
    phi_D = @(x, t) exp(-x.^2./(4*D*t))./sqrt(4*D*pi*t);
    convo = @(x,t) (exp(-x.^2./(4*D.*t+1))/sqrt(4*D.*t+1));

    % Definición de la malla
    xx = -10:0.1:10;        % Rango de x
    tt = 10^(-2):0.01:1;   % Rango de t

    % Inicialización de la matriz de convolución
    conv = zeros(length(xx), length(tt));

    % Cálculo de la convolución
    for j = 1:length(tt) 
        auxt = tt(j);
        for i = 1:length(xx)
            auxx = xx(i);
            val_conv(i,j) = convo(auxx, auxt);
        end
    end

    % Graficar la superficie
    clf;
    hold on;
    view(3);
    surf(xx, tt, val_conv.');
    xlabel('x');
    ylabel('t');
    zlabel('$\Phi_D(x,t)*N(x)$', 'Interpreter', 'latex');
    shading flat;
    shading interp;
    colormap('jet');
    title(['Soluciones en dominio no acotado, cuando D=', num2str(D)]);
    axis([-10, 10, 0, 1, 0, 1]);
    hold off;
    drawnow;

    % Captura de la imagen para el GIF
    frame = getframe(figura);
    img = frame2im(frame);
    [imind, cm] = rgb2ind(img, 256);

    % Escribir la imagen en el archivo GIF
    if h == 1
        imwrite(imind, cm, output_gif, 'gif', 'LoopCount', Inf, 'DelayTime', 0.7);
    else
        imwrite(imind, cm, output_gif, 'gif', 'WriteMode', 'append', 'DelayTime', 0.7);
    end

end

%%% Código generado junto con Chat GPT para la representación de los errores entre las soluciones 

function [Diff12,Difft1,Difft2] = errores2(n_max, a, b,t_max)

% Función como condición inicial: una función Gaussiana
gaus = @(x) (exp(-x.^2));
u0 = @(x) exp(-x.^2);  
D = 1;  % Coeficiente de difusión

% Funciones fundamentales y convolución para el modelo de difusión
phi_D = @(x, t) exp(-x.^2./(4*D*t))./sqrt(4*D*pi*t);  
convo = @(x,t) (exp(-x.^2./(4*D.*t+1))/sqrt(4*D.*t+1));  

% Definición de la malla (espacio y tiempo)
xx = -a:0.01:a;  
tt = 10^(-2):0.01:t_max;  
[X, T] = meshgrid(xx, tt);  

% Inicialización de la matriz de convolución
conv = zeros(length(xx), length(tt));  

% Cálculo de la convolución
for j = 1:length(tt)  
    auxt = tt(j);  
    for i = 1:length(xx)  
        auxx = xx(i);  
        val_conv(j,i) = convo(auxx, auxt);  
    end
end

% Inicialización de la matriz de resultados para la solución Dirichlet
res_dir = zeros(length(xx), length(tt)); 

% Cálculo de la solución directa
for n=1:n_max  
    A(n) = trapz(xx, u0(xx) .* cos((pi/a)*(n - 1/2) * xx)) /...
        trapz(xx, cos((pi/a)*(n - 1/2) * xx).^2);
end

% Evaluación de la solución directa en el dominio espacio-temporal
for j = 1:length(tt)  
    auxt = tt(j);  
    for i = 1:length(xx) 
        auxx = xx(i);  
        u = 0;  

        % Sumar los términos de la serie de Fourier
        for n=1:n_max
            u = u + A(n) .* cos((pi/a)*(n - 1/2) * auxx) .*...
                exp(-((pi^2 / a^2) * (n - 1/2)^2) .* auxt);  
        end
        res_dir(i,j) = u;  
    end
end

% Inicialización de la matriz de resultados para la solución en frontera Neumann
res_neu = zeros(length(xx), length(tt));

% Cálculo de la solución en frontera Neumann
for n=1:n_max  
    B(n) = trapz(xx, u0(xx) .* cos((n*pi/b) * xx)) /...
        trapz(xx, cos((n*pi/b) * xx).^2);
end

% Evaluación de la solución en frontera Neumann en el dominio espacio-temporal
for j = 1:length(tt)  
    auxt = tt(j);  
    for i = 1:length(xx)  
        auxx = xx(i); 
        u = trapz(xx, u0(xx))./(2.*b);  

        % Sumar los términos de la serie de Fourier
        for n=1:n_max
            u = u + B(n) .* cos((n*pi/b) * auxx) .* exp(-((n^2 * pi^2 / b^2)) .* auxt);  
        end
        res_neu(i,j) = u;  
    end
end

% Transponer los resultados para compararlos con la convolución
U1 = res_dir.'; 
U2 = res_neu.';  

% Calcular las diferencias entre las soluciones y la convolución
Diff12 = abs(U1 - U2);  
Difft1 = abs(val_conv - U1);  
Difft2 = abs(val_conv - U2);  

end

5 Referencias

• Sandro Salsa, Gianmaria Verzini. Partial Differential Equations in Action From Modelling to Theory ([1]).